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多面体紙工作

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Apr 29, 2013

ケプラーの星型８面体は正８面体の各面に正４面体を載せたのと同じ立体であるので、
正８面体の体積と正４面体の体積が分かれば、その合成により求められる。

辺の大きさをaとして

正８面体の体積　　　(√2/3)a^3 　（　a^3 は　aの3乗とする）
正４面体の体積　　　(√2/12)a^3

同じ辺の大きさで比較して
正８面体の体積はは正４面体の体積の４倍である。

以上のことから、ケプラーの星型8面体の体積は　√2a^3　であることが分かる。

ケプラーの星型８面体の頂点を直線で結ぶと正6面体（立方体）が形成されるので

　この方法で求めるには、その削り取られた部分の体積を知らねばならない。

これは、下図の４面体の体積を求めると、不思議なことに正４面体の体積と同じ結果が出る。

凹み部_4面体'.JPG

上の図で、ABDCの立体は、立方体から削り取られた４面体をコピー用紙で作り、埋め合わせた様子を表示している。（ADの長さは√2a　OCの長さ＝OBの長さ＝（√2/2）a　）

逆に、立方体の体積からケプラーの星型8面体の体積を引くと、削り取られた12箇所の４面体の体積の合計が算出される。

その1/12が正４面体の体積と同じ数値になっている。

これに関連した実験を　Aug.30.2011　に行っている。

「違った形の多面体の体積が等しいことを砂で実験する」として、記事を書いている。

そのときに実験器具に使った多面体が、下図のようなものであった。

砂実験.JPG

この右図が正８面体の1/4のものであって、これを４個合わせると正８面体が合成されることが発見されて、ケプラーの星型８面体は不思議な立体であると感慨深く感じた。

　以上のことは、実際に計算して確かめたのであるが、計算式の羅列は一般の読者には不要の長物と考えて省略します。

削り取られた4面体と正４面体の体積が等しいことだった。

不思議な結果が、実感できますヨ！

不思議な計算吟味

0　立方体の体積　　　（√2a)^3=2√2a^3

1　削り取られた４面体の体積

2　立方体からケプラーの星型８面体を差し引く、体積計算

すべて、想定したとおりの結果が出ます。

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