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2022/02/02

異なる素数の平方の和となる最小の素数は?

テーマ：数学(322)

カテゴリ：数学と算数

前回の記事が異なる2つの素数のべき乗の和は素数になる？ならない？最小の素数は？
というお話でございましたが

今回は平方に限定して和を取る素数の個数を増やしてみたいと思いますよ
ではではどんどん確認していきますよ

異なる2つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
13
2 ^ 2 +3 ^ 2 =
これは調べるまでもなく最小値且つ素数ですな

異なる3つの素数の2乗の和となる最小の素数は？

3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 =
これも調べるまでもなくという結果の式ですな

ちなみに2^2 を残してしまうと残りが奇数素数の2乗が偶数個となりますから
式全体としては偶数になってしまいますので
2^2は含めない形の式が最小値の候補となりますな
その形の式ではこれが最小値ですので調べるまでもないですな
この考察から素数個数が奇数の場合には2^2を残さない式が最小値になりますな

この小学生レベルの結果でございますが
なんととある大学の理系学部のHPに演習問題として掲載されておりますよ
「異なる3つの素数の平方の和は素数になり得ない」という命題の証明問題でございますよ
もちろん83という素数が示す通りこの問題自体が間違っているのは明らかですな
証明内容を読んでみましたが、いやいやちょっと待ってくれと突っ込みたくなる内容でしたよ

大学の学問という数学は極めて受動的な態度で学習する傾向が高いので

この問題はまさにその典型と言えるでしょうな

異なる4つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
199
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 =
これも調べるまでもなくという結果の式ですな

異なる5つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
373
(9, 25, 49, 121, 169)
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 =
これも奇数個の場合の2^2を含めない最小値の式そのままですな

異なる6つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
569
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +19 ^ 2 =
ここで初めて最小となる式よりも大きい式が素数となる結果となりましたな
まぁさすがに常に最小となる式が素数になるというようなことは考えられませんので
もう少し先まで調べてみたいと思いますよ
ちなみにその次に大きい素数はちょっと面白いですぞ

617
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 =

2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 =

この617という素数は2通りの素数の2乗の和の組み合わせができますよ
ほんまかいな？ということで、２つの式をWindows10の電卓アプリにペーストしてみてましたが。確かに同じ617の値になりますな。
このような特徴をもつ素数が他にもあるのかどうか？また別の機会に調べてみたいと思いますよ

また２つの式を簡単にすると
7 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2
=11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2
=579
ということですな
両辺を比較しやすく少し書き足しますと…

素数ｐ	7	11		13		17	19
ｐ²	49	121		169		289	361
579=	7^2	+		13^2		+	19^2
=		11^2	+	13^2	+	17^2

というなかなか美しい関係になっておりますな
素数関連の小ネタとして覚えておきたい式ですな
またこの式の計算値である579も覚えやすいのですが
しかし579は素数ではないのが非常に惜しいような気がしますな・・

このような形が成り立つ素数の組み合わせは他にもあると思いますので
そちらも調べてみたいと思いますよ

異なる7つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
1543
5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
この式は3^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加したという形ですので候補の式としては最小値ではないですな

この１つ抜く素数を選ぶ場合、大きい素数から選択したほうが式全体としては小さい結果になりますな
ですので7番目の19^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加した次の式ですな
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =

こう考えると、1543の式は、8番目の最小値ということになりますな
最小値候補の式の件数は少ないので実際に検証してみましょう

最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 =
1023(≠素数　3が約数)

2番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =
1191(≠素数　3が約数)

3番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1263(≠素数　3が約数)

4番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1383(≠素数　3が約数)

5番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1431(≠素数　3が約数)

6番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1503(≠素数　3が約数)

7番目の最小値となる式は
3 ^ 2 +7^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1527(≠素数　3が約数)

ということでどれも素数ではないので
8番目の最小値の1543が最小の素数と確認できましたな

ちなみに検証した式は全て3が約数となっておりますがそれは証明が可能でございますな
先に指摘した「大学の理系学部の演習問題」の証明の中の主張が適用できるケースとなりますな

簡単に言うと3以外のすべての素数pについて　 p²≡1(mod.3)となるので
3以外の「3の倍数となる個数の素数」の平方の和を考えると
p₁²+p₂²+p₃²+・・・・p²≡3n≡0(mod.3)
となりますな。よって・・・
3の平方と3以外の異なる6つの素数の平方の和（計７つの和）は必ず3が約数になりますな

異なる8つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
1531
2 ^ 2 +3 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
この式は5^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加したという形ですな
最小値ではないですが他の最小値候補の件数は少ないのでまた検証してみましょう

最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 =
1027(≠素数　13*79)

2番目の最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =
1195(≠素数　5が約数)

3番目の最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1267(≠素数　=7*181)

4番目の最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1387(≠素数　=19*73)

5番目の最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1435(≠素数　5が約数)

6番目の最小値となる式は
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =
1507(≠素数　=11*137)

ということで7番目の最小値の1531が最小の素数と確認できましたな
ちなみに8つの和の最小値の素数が、7つの和の最小値の素数よりも小さいという結果になるのですな・・・

異なる9つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
2393
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 =
この数字については前々回の記事で取り上げておりますな
この式も最小値であることは一目瞭然という形でございますな

異なる10つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
3877
2 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =
これは3^2と29^2を抜いてから31 ^ 2 と37 ^ 2を加えた10個となりますな
ちょっと簡単には最小値であると確認することは一見には難しいように見えますな

ですがプログラムによって組み合わせで考えられる式を
元に値の小さい順から素数を探し出させた結果でございますので
相違はありませんよ

また7つのケースについて「大学の理系学部の演習問題」の主張の一部を用いて説明したことが10つのケースでも適用できますので
最小値となる式は2^2を含める、かつ3^2を含めない形となりますな
つまり
2 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 =
が最小値でして3349となりますが
これは17*197 と素数ではありませんな

答えとした3877はこの最小値式の次善となる最小値式ですので正しいということになりますな

ちなみに次の大きい素数は以下となりますよ
4357
2 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +31 ^ 2 +43 ^ 2 =

異なる11つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
4723
3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =

この式は奇数個の和ですのでまず2^2を抜いて全て奇数だけにする必要がありますな
その上で3からの連続する素数11個を並べた式ですので
最小値であることは自明ですな
これが素数になるという結果ですのでなかなか興味深いですな

異なる12つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
5039
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +41 ^ 2 =

これは12番目の素数37を抜いて13番目の素数41を追加した式ですので
2番目の最小値となる式ですな

ちなみに最小となる式は以下でございますがこれは素数ではないですな
2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =
4727(≠素数　=29*163)

異なる13つの素数の2乗の和となる最小の素数は？
10453
5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 +41 ^ 2 +43 ^ 2 +47 ^ 2 =

この答えの計算に私のPCではちょっと時間がかかりましたよ
それはさておき
この式は単純な話でいうと最小値の式ではないことになりますが

素数となり得るかどうかを考慮して最小値となる和の式を考えてみますと・・・・

13つと奇数個ですから2^2は必ず抜く必要がありますな

さらに3^2を含めると残りは奇数素数が12つとなってその平方の和は必ず3が約数となってしまうので3^2も抜く必要がありますな
つまり上記の式は素数の候補となる最小の式であるということになりますな
そして実際に素数でありますよ

5からの13個の素数を連続して並べた美しい形ですな
このような規則的に生成した式の値が素数であることにはちょっと驚きですな
いやただの偶然なのでしょうが不思議な結果でございますな

世の中の不思議な現象というのはこういうただの偶然の結果なのだと考えると
なにが起きても全て納得するしかないような気がしますな

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