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2022/02/16

全ての整数を3つの立方数の和で表すとな？

テーマ：数学(292)

カテゴリ：数学と算数

編集

数を3つの立方数の和で表せるか？という数学クイズ的な問題がありますよ

式で書くと
任意の整数 nに対してn=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z）を求めるということですな

この問題は立方となっているところがミソでございまして・・・
負数の立方は負数となりまして和と言いつつ計算としては引き算になるために
３つの立方の差し引きの計算となるために解を探索する範囲を無限にとる必要があるのですよ

とは言え解は簡単に見つかるケースも多いですよ
たとえば
4^3+4^3+(-5)^3=3
という感じでして3に対する解の組は（4,4,-5)ということになりますな

この問題のさらに奇妙なところは解が無限に存在するらしいと推測されておりますよ
例えば1に対しての解は(1,0,0)というあほらしいくらい単純な組しか解にはならないだろう
と考えてしまいますが実際には(-6,-8,9),(9,10,-12)という別解がありますよ

1と2の場合では無限に解の組を生成できる以下の一般式が発見されておりますよ
1に対しては(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)
2に対しては(1+6a³,1-6a³,-6a²)

ほぉーまじかいな？と思ってしまいますが
実際これらの組をx³+y³+z³ に代入して式変形してみると
以下のように確かに1と2に式がまとめられてしまいますよ
(9a⁴)³+(3a-9a⁴)³+(1-9a³)³
=729a¹²+27a³-81a⁶+729a⁹+729a¹²-(1-27a³+81a⁶+729a⁹)
=1

そして1に対する2つの別解は一般式(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)に
a=1,a=-1を代入して得られるものですな

この問題は一般式が生成できるほど単純なもの思えないのございますが
なかなか面白い問題ですな

1と2以外の整数に対しても解の一般式が存在するのかどうかわかりませんが
もしかするとあるのかもしれませんな

というのは3に対する別解もはやり見つかっているのでございますよ
別解があるということは解は無限に存在していてそれを生成する一般式も存在するのでは？
と期待してしまいますな

3に対しての別解ですが先の（4,4,-5)の組の他に(1,1,1)という
あほらしいくらい単純な組も解になるわけですが他にも・・・
(569936821221962380720,-569936821113563493509,-472715493453327032)
という非常に大きな整数の組も解になるのでございますよ
この整数を検算するにはエクセルや電卓では無理でございますので
多倍長演算 web電卓のような桁の長い数字の計算を正確にできるものが必要になりますな

569936821221962380720³+
(-569936821113563493509)³+
(-472715493453327032)³

185131426364725746289073278168542399539619802127338908944671229-
105632974740929786381946720746443347962500088804576768
=3

非常に大きな数値になりますが引き算の結果は正しく3になっておりますよ

こんな大きな数字が出てきてしまうのは予想できないことでありますな

小さい数字の範囲で解の組が２つだけ存在するところで解は出尽くしたのかと思いきや
探してみるとこのような大きな数字の組も解となっているということが最近わかったということなのでございますが数学の神様はこの大きな数字の組に一体どのような意味を持たせたのでしょうな？
もしやこれはナンバーズ3を予想する鍵なのでしょうか？

さて、私もこの謎解きに少し参加してみたくなりまして

w³=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組を探してみましたよ
これは(n,0,0)という自明な解が存在しますが
意味ありませんのでこれ以外の別解を探したいと思いますよ
それとn≦100については全ての自然数で解の組が発見されているということなので
n＞100の自然数を目標としたいですな

いろいろと調べているうちにこの問題の解を網羅しているページが見つかったのですが
このページにもw³=x³+y³+z³ の自明でない解は載っていませんでしたので
これは別解を探してみる価値は少しあるかもしれないと思っておりますよ
ただ前述の3の場合のように巨大な数字まで探索することはできませんので
小さい値の組を見付けるという想定で調べておりますよ

ではではまずは小さい数から確認していきますと・・・

w=2 つまり n=2^3=8=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組でございますが
ネットで見つかる(9,15,-16) =9^3+15^3-16^3=という組がありますよ
他にも(-16,-12,18)=-16^3-12^3+18^3= という組もありますよ

w=3 つまりn=3^3=27の場合となりますがネットで見つかる (-4,-5,6)=-4^3-5^3+6^3=27
の他に(-10,-18,19)=-10^3-18^3+19^3=27
も見つかりましたよ

w=4 つまりn=4^3=64の場合となりますがネットで見つかる (-3,-5,6)=-3^3-5^3+6^3=
の他に(18,30,-32)=18^3+30^3-32^3=64
も見つかりましたよ

なお小さい値で見つかってほしいという期待を込めて
エクセルで巨大な掛け算の九九のような表を作って検索することで見つけておりますよ

w=5 つまりn=5^3=125の場合の解ですがネットでは見付けられませんでしたが
エクセルで見つけることが出来ましたよ
(-30,-40,45)=-30^3-40^3+45^3=125

w=6 つまりn=6^3=216の場合の解もネットでは見付けられませんでしたが
エクセルで見つけることが出来ましたよ
(-32,-33,41)=-32^3-33^3+41^3=216

w=7 つまりn=7^3=343の場合の解もネットでは見付けられませんでしたが
エクセルで見つけることが出来ましたよ
(-63,-70,84)=-63^3-70^3+84^3=343

w³=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組が
エクセルで探索した程度で簡単に見つかりましたので
任意のw に対しても比較的小さな値として見つかると推測できますな
それから解が簡単に見つかるということは一般式があるだろうと言えますな
いろいろ探していたら
KNOWN FAMILIES OF INTEGER SOLUTIONS OF x³ + y³ + z³ = n

こちらのPDF の中に一般式がありましたよ

x³+y³=z³+w³ となる解の組は以下の式で表せるようですな
x = 1 − (p − 3q)(p^2 + 3q^2),
y = −1 + (p + 3q)(p^2 + 3q^2),
z = (p + 3q) − (p^2 + 3q^2)^2,
w = −(p − 3q) + (p^2 + 3q^2)^2

次はこちらの検証と実際にプログラムを組んで解をリストさせてみようと思いますよ
というわけで今回は調べて得た解を表にしてまとめて終わりといたしますよ

w	w³	x	y	z	x³	y³	z³	x³+y³+z³
7	343	63	70	-84	250047	343000	-592704	343	→1に対する(9,10,-12) と同値
6	216	-32	-33	41	-32768	-35937	68921	216
5	125	-30	-40	45	-27000	-64000	91125	125	→1に対する(-6,-8,9) と同値
4	64	18	30	-32	5832	27000	-32768	64	→2に対する(9,15,-16) と同値
4	64	-3	-5	6	-27	-125	216	64
3	27	-4	-5	6	-64	-125	216	27
3	27	-10	-18	19	-1000	-5832	6859	27
2	8	9	15	-16	729	3375	-4096	8
2	8	-16	-12	18	-4096	-1728	5832	8	→1に対する(-6,-8,9) と同値