空腹ラッコの雑記帳

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2013/03/05

原論の謎、ユークリッドの罠？(2)

カテゴリ：ただいま学習中

１．論証の土台

「最小限の公理から」と書きましたが、諸命題に先立っておかれる項目は
３つのグループからなります。

まず、定義から始まります。

定義は

「1.点とは部分をもたないものである。
　2.線とは幅のない長さである。…」

を筆頭に23項目に及びます。
角、円（及びその中心、直径）に関する定義も含まれます。

　　　二つの線相互のかたむきである。　　
　 9. 角をはさむ線が直線であるとき、その角は直線角と呼ばれる。
　10．…
　15.円とは一つの線に囲まれた平面図形で、その図形の内部の一点から
　　　それへ引かれたすべての線分が互いに等しいものである…」

それに続く、一般に「ユークリッドの公理」とよばれる５つの前提は、原論では「公準」と呼ばれています。

１．任意の２点を結んで線分を作ることができる
２．有限直線を連続して一直線に延長することができる
３．任意の中心と半径により円を描くことができる
４．すべての直角は等しい
５．２直線と混じり合う１直線が同じ側で２直角より小さい

５番目がいわゆる「平行線の公準」です。

一方「原論」で公理と呼ばれている項目群もあります。

「１．同じものに等しいものは互いに等しい…」

を初めとする９つの項目で、最後にある

「9. ２直線は面積を囲まない」

　これらの土台の上に築きあげられてゆく（証明を伴う）命題群の流れを、最初の段階について示すと次のようになります。

１．与えられた線分上に（その辺を底辺とする）等辺三角形
　　（原論では正三角形をこのように呼びます）を描くことができる。

　　以下必要に応じ「原論」での用語も現在の一般的な用語に置き換えるなどして表現すると

２．任意の点を１つの端とし、与えられた線分と等しい線分を
　　描くことができる。
３．等しくない２本の線分において長いほうから短い方の長さを
　　除くことができる。

４．二辺挟角が等しい三角形は合同である
　　（注：すなわち他の辺、角も互いに等しい）
５．二等辺三角形の底角、及びその外角は互いに等しい
６．二角挟辺が等しい三角形は合同である

７．線分の同側に描ける（その線分を辺の１つとし）他の２辺も相等しい
　　三角形は唯一つである。
８．三辺が等しい三角形は合同である。
９．（直線）角の二等分線をひくことができる

10．線分を二等分することができる。
11．直線上の１点を通るその直線の垂線をひくことができる。
12．直線外の１点を通るその直線の垂線をひくことができる。

13．直線およびその上に端点をもつ半直線により作られる角は
　　２つの直角または補角である。
14．補角の関係にある（１つの辺を共有する）２つの角は直線をなす
15．対頂角は等しい

16．三角形の外角は内対角より大きい
17．三角形の２角の和は２直角より小さい
18．大きい辺には大きい角が対する

19．大きい角には大きい辺が対する
20．三角不等式が成立する
21．三角形の内部で交わる２辺の長さ、及びなす角

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