もう1回挑戦（５）･･････ベイズの定理と条件確率 | 問題解決には「まんずやってみれ！」

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論文「問題解決は全身全魂で」（に改名）第2章

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2006年01月29日

最後に、これまでの図や表を一つの図で表して、これまで説明してきた各種確率の値を示しましょう。そして、分かったことをまとめましょう。

この図はヴェン（Venn）図というものです。ヴェンというのは、イギリスの数学者（牧師でもあった）の名前で、この人が、いろいろな場合同士の関係を表すために考えたものです。

下の図で、まず、長方形が全体U（30,000人、この数を母数にした確率にするとP(U)=１）を表します。この中に２つの重なった円があって、長方形が４つの領域に分けられています。

それらの領域の面積がそれぞれの部分の確率（30,000人を１としたとき）になるようにするのです（この絵では正確にそうなっていませんが）。

左の円の中は「まんずやってみれ！」方式を使った確率P(M)です。２つの確率、P(Y∩M)とP(N∩M)を足すとP(M)になります。ここで、Ｙ∩Ｍとは、成功して、かつ、「まんずやってみれ！」方式を使ったという意味です。Ｍは「まんずやってみれ！」方式を使った集団、ＮＭはこの方式を使わなかった集団、Ｙは成功した集団で、Ｎは失敗した集団です。

一方、右の円の中（面積）は、成功した確率P(Y)です。２つの確率、P(Y∩M)とP(Y∩NM)を足すとP(Y)になります。

さて、ここで、Ｙ∩Ｍの領域に着目してみましょう。ここは、成功の集団の円Ｙの一部とも言えますし、「まんずやってみれ！」方式を使った集団の円Ｍの一部とも考えられます。

このことから確率の大事な定理、即ち、ベイズ（Bayes)の定理、を導くことができるのです。

まず、成功Ｙの立場から見ると、成功したという条件の下で、「まんずやってみれ！」方式を使った条件確率P(M|Y)は

で、Ｙ∩Ｍの部分の面積を左の円の面積で割ったものです。ここで、
　P(Y)=P(Y∩M)+P(Y∩NM)
　　　=P(Y|M)P(M)+P(Y|NM)P(NM) （２）
です（左の円の面積）。

一方。右の円では、即ち、「まんずやってみれ！」方式を使った（Ｍ）という条件の下での成功の条件確率P(Y|M)は
　P(Y|M)=P(Y∩M)/P(M)　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）　　　　　
で、Ｙ∩Ｍの部分の面積を右の円の面積P(M)で割ったものです。ここで、
　P(M)=P(Y∩M)+P(Y∩NM)
=P(M|Y)P(Y)+P(M|N)P(N)　　　　　　　　　　　　　　（４）
です（右の円の面積）。

（１）式にも（３）式にも同じP(Y∩M)があるので、それを消去すると、

になります。これがベイズ（Bayes：１８世紀のイギリスの牧師で数学者)の定理です。

この定理を使って、表や図から既に解いた問題に再挑戦してみましょう。式に与えられた確率の値を代入するだけで答えを得ることができます。

今回の問題では、
与えられたものは、確率に直して、
　P(Y)=０.５４、P(M|Y)=０.１６６７、P(M|N)=０.０２１７４

求めたいものは、P(M)、P(Y|M)、P(Y|NM)などです。

まず、（４）式から
　P(M)=P(M|Y)P(Y)+P(M|N)P(N)
=０.１６６７ｘ０.５４＋０.０２１７４ｘ０.４６＝０.１

次に、
　P(Y|M)=P(M|Y)P(Y)/P(M)
=０.１６６７ｘ０.５４/０.１＝０.９
と
　P(Y|NM)=P(NM|Y)P(Y)/P(NM)
=０.８３３３ｘ０.５４/０.９＝０.５
になります。[P(NM)=1-P(M)、P(N|M)=1-P(Y|M)、P(N|NM)=1-P(Y|NM)]

これで終わりです。

しかし、確率の式や値だけを見ていると、それらの意味が理解できない場合があるのです。これまでやってきたように、それぞれの場合の数にして表してみると（もし表せるなら）、分かりやすくなります。

さて、以上の検討では、結果を調査、解析することにより、その原因について知ることができました。

しかし、一般には、このような検討は、何かの課題を解決するためにやるのです。ここでは、問題解決について考えているので、例えば、
「解決の成功確率を上げたい」ということを課題にしてみましょう。

上のベイズの定理というのは、ある意味では、人間が考えるのと煮たような結果を出してくれるのです。上の例で、今は、「まんずやってみれ！」方式を使っている割合P(M)は０.１（１０％）です。

上の計算の結果の一つとして、P(M|Y)=０.１６６７というのがあります。これは、成功した場合、確率（Ｍの割合）を０.１６６７にしたら、という示唆として受け取れます。一方、P(M|N)=０.０２１７４ですので、失敗の場合は、Ｍ（「まんずやってみれ！」方式）の割合を減らせ、ということなのです。

そこで、Ｍの割合を０.１６６７（これを 確率の更新 と言います）、即ち、「まんずやってみれ！」方式を使った人の数を5,000人（30,000人のうち）にしてみましょう。そうすると、
　P(Y)=０.９ｘ０.１６６７＋０.５ｘ０.８３３３＝０.５６６７
　P(M|Y)=０.９ｘ０.１６６７/０．５６６７＝０.２６４７
になります。確かに、成功の確率が０.５から０.５６６７に上がりました。そして、今度はＭの確率をP(M|Y)=０.２６４７ＮＩすると、成功確率も０.６０５９になります。この過程を表にすると、次のようになります。

回数　Ｍの割合P(M)またはP(M|Y)　成功確率P(Y)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　
１　　　　　０.１０　　　　　　　　　　　　　０.５４
２　　　　　０.１７　　　　　　　　　　　　　０.５７
３　　　　　０.２７　　　　　　　　　　　　　０.６１　　

このように、Ｍの割合を増やしていくと、成功の確率は次第に増加していきます。そして、Ｍの割合を１００％にしたとき、成功の確率は最大の値０.９
（９０％）になります。

つづく