2007年04月06日
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プログラミングのための線形代数という本を読んでいます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/
4.7.5 Jordan 標準形の求め方
ここまででどんな正方行列も Jordan 標準形に変換できるということが分かりましたので暴走判定は解決です。ここからは「求め方」「変換できることの証明」へと話を進めます。
■仮に求まったとしたら
まずは求まったとしてどのような性質を持つはずなのかについて見ていきます。
正方行列 A に対して同じサイズの上手い正則行列 P を選んで、
P^(-1)AP = J
となったとします。これは左から P をかけると AP = PJ ということです。
をばらして書きぐっと睨むと
・(A - λI)を繰り返し掛けていくと o になるというベクトルの系列
・λ は Jordan 細胞の対角成分に対応
・系列1本が Jordan 細胞1個と対応。だから、系列の本数が Jordan 細胞の個数と一致。
・系列の長さ(oは数えずに)が Jordan 細胞のサイズに対応。だから、系列の長さの合計が A のサイズに一致。
ということになります。A に対して p1,...,p11 を見つければ AP = PJ なのですから P^(-1)AP = J が Jordan 標準形になるような上手い P が求まることになります。ですから
1.A の固有値λ
2.(A-λI)を繰り返し掛けると o になってしまうようなベクトル p を求める。
という手順で Jordan 標準形が求められるということになります。
http://wiki.fdiary.net/lacs/
4.7.5 Jordan 標準形の求め方
ここまででどんな正方行列も Jordan 標準形に変換できるということが分かりましたので暴走判定は解決です。ここからは「求め方」「変換できることの証明」へと話を進めます。
■仮に求まったとしたら
まずは求まったとしてどのような性質を持つはずなのかについて見ていきます。
正方行列 A に対して同じサイズの上手い正則行列 P を選んで、
P^(-1)AP = J
となったとします。これは左から P をかけると AP = PJ ということです。
をばらして書きぐっと睨むと
・(A - λI)を繰り返し掛けていくと o になるというベクトルの系列
・λ は Jordan 細胞の対角成分に対応
・系列1本が Jordan 細胞1個と対応。だから、系列の本数が Jordan 細胞の個数と一致。
・系列の長さ(oは数えずに)が Jordan 細胞のサイズに対応。だから、系列の長さの合計が A のサイズに一致。
ということになります。A に対して p1,...,p11 を見つければ AP = PJ なのですから P^(-1)AP = J が Jordan 標準形になるような上手い P が求まることになります。ですから
1.A の固有値λ
2.(A-λI)を繰り返し掛けると o になってしまうようなベクトル p を求める。
という手順で Jordan 標準形が求められるということになります。
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