2007年04月23日
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プログラミングのための線形代数という本を読んでいます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/
5.3.4 すべての固有値を求める場合
べき乗法ですべての固有値を求める場合は、適当に選んだ n 本の線形独立な初期値ベクトル v1, v2, ..., vn に対して A を繰り返し掛けていくと、これらを Gram-Schmidt の方法で正規直行化したものが、A の固有ベクトルの張る階層的な部分空間の正規直行基底に近づいていくことを利用します。
具体的には A の固有値を絶対値の大きい順に λ1, λ2, ..., λn とし、対応する固有ベクトルを x1, x2, ..., xn とし、A^(k)v1, A^(k)v2, ..., A^(k)vn を正規直行化したものを q1(k), q2(k), ..., qn(k) とします。
k の増加につれて
span{q1(k)} → span{x1}
span{q1(k),q2(k)} → span{x1,x2}
span{q1(k),q2(k),q3(k)} → span{x1,x2,x3}
span{q1(k),q2(k),...,qn(k)} → span{x1,x2,...,xn}
となります。
A^(k)V = Q(k)R(k) → Ak = Q(k)^(T)AQ(k) → (右上三角行列)
となり、右上三角行列はその対角成分が固有値なのですべての固有値が求まることになります。
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5.3.4 すべての固有値を求める場合
べき乗法ですべての固有値を求める場合は、適当に選んだ n 本の線形独立な初期値ベクトル v1, v2, ..., vn に対して A を繰り返し掛けていくと、これらを Gram-Schmidt の方法で正規直行化したものが、A の固有ベクトルの張る階層的な部分空間の正規直行基底に近づいていくことを利用します。
具体的には A の固有値を絶対値の大きい順に λ1, λ2, ..., λn とし、対応する固有ベクトルを x1, x2, ..., xn とし、A^(k)v1, A^(k)v2, ..., A^(k)vn を正規直行化したものを q1(k), q2(k), ..., qn(k) とします。
k の増加につれて
span{q1(k)} → span{x1}
span{q1(k),q2(k)} → span{x1,x2}
span{q1(k),q2(k),q3(k)} → span{x1,x2,x3}
span{q1(k),q2(k),...,qn(k)} → span{x1,x2,...,xn}
となります。
A^(k)V = Q(k)R(k) → Ak = Q(k)^(T)AQ(k) → (右上三角行列)
となり、右上三角行列はその対角成分が固有値なのですべての固有値が求まることになります。
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