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2003年09月の記事
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おまけつき・数をじょうずにお料理＜その９＞
◎まずは，高校入試レベルの「素数の問題」でウォーミング・アップです。そのあとで，おまけのハイキングのコース決めの基礎コースを学びます。 【問題１】 ３５９９の素数を求めましょう。【１の解説】 マック「何の二乗に近いか，素数はそこからスタートですね！」 ６０×６０＝３６００ に目をつけます。 ３５９９ ＝３６００－１ ＝６０×６０－１×１ ＝（６０＋１）（６０－１） ＝６１×５９ 答えは，５９と６１ ４０×４０＝１６００ から １５９９の素数５０×５０＝２５００ から ２４９９の素数７０×７０＝４９００ から ４８９９の素数も実験しておきましょう。答えは文末にあります。◎次は，中学入試レベルの問題です。【問題２】連続した５つの整数の積が２４４１８８０であるとき，これら５つの整数のうち最も小さい整数は□です。【２の解説】５つということは，最小モデルの１×２×３×４×５が必ず含まれるということですね。とりあえず，積を出しておきましょう。１×２×３×４×５＝１２０割ってみたら…２４４１８８０÷１２０＝２０３４９この数は素因数分解してみると２０３４９＝３×３×７×１７×１９これに１×２×３×４×５を合わせて２４４１８８０＝１×２×３×４×５×３×３×７×１７×１９１７と１９がうまい具合に見つかりました。大事なヒントですね。２つの数の間の１８を探します。２×３×３＝１８とありました！残りは４×５×３×７です。前後の１６か２０は見つかりますか？４×５＝２０その残りから３×７＝２１２４４１８８０＝１７×１８×１９×２０×２１答えは１７ですね。(２００２年の灘中の問題でした。)◎一見ランダムな問題も，ちゃんと規則があるのですね。こういう不思議を体験しておけば，数となかよしになれますね。▽森の学校の”おまけ号”のはじまりです。ハイキングが気になるので，行くつもりになって，プランを立ててみましょう。マック「秋だね。ハイキングに行きたいなー。」サーヤ「今週の土曜日には運動会があるわ。行事で忙しいー。ハイキングはそのあとね。」マック「一筆書きをやっておこう。ハイキングのコースづくりで使えるかもしれないよ。」サーヤ「一筆書きは中学入試問題でも出ていたわね。」マック「道の本数を数えれば，可能・不可能の判定ができる！それを証明したのが，１８世紀の偉大な数学者オイラーだ。」サーヤ「みんなも，ノートに図をかいていくといいわね。」マック「まずは四角形をかいてみよう。」サーヤ「はい，かいたわ。」マック「これは当然一筆書きできるね。角の４個の点からみて，道はそれぞれ何本になっている？」サーヤ「２本ずつ。」マック「偶数だね。次は，星をかいてみよう。道と道がぶつかったところを点として，道の数はどうなってる？」サーヤ「点は１０個あったわ。内側で，五角形をつくっている点が５つあり，道は４本ずつ。まわりの点も５つあって，道は２本ずつになっている。」マック「全部，道の数は偶数だね。この場合，一筆書きできるんだ。」どれか１個をスタートに決めます。スタートになった点だけは，もし道が２本出ていれば 出て→入って 略して 出→入 となります。もし道が４本出ていれば 出→入→出→入 となります。でも，最後には「入いる」だから，スタート地点に，もどります。ほかの点では道が２本出ていれば 入→出 道が４本出ていれば 入→出→入→出 最後には，必ず「出る」になるので，通過点です。［道路が偶数本だけの場合の結論］道が偶数だけの場合，一筆書きは可能です。しかも，スタート地点がゴール地点と一致(いっち)します。▽マック「道が奇数本の場合の点を考えてみよう。３本の道で考えると，次の２とおりになるね。出→入→出入→出→入これしかない。これをスタートとゴールの１セットにすれば，一筆書きは可能なんだ。」サーヤ「出→入→出は，最後が”出る”だから，これがスタート地点。入→出→入は，最後が”入る”だから，これがゴール地点ね。」マック「ほかの点は道が偶数だから，入→出 の通過点に過ぎない。」サーヤ「奇数になる点が３個以上の場合は，一筆書きは不可能ということ？」マック「そうなるんだ。ゴールが２つ以上あると，一筆書きは不可能だね。」［結論］道の数が奇数本になっている点が３個以上ある場合は，一筆書きは不可能です。サーヤ「ハイキングで使えそうな気がしてきたわ。」マック「いろいろな図をかいて，みんなに問題を出してあげると，おもしろいかも？」サーヤ「学校でやってみよっと。」◇図形のエッセンス９◇９／３０ レンズの公式覚えたかい。 １０ｃｍのレンズを落としたら，５７(こな)ごなだ。 １ｃｍなら，０．５７(おこんな)いでね。 (円周率を３．１４とする。) ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備５号)連立１次方程式の続きです。前号の話の中で，気がついた人，いますか？それは，Δ＝０のとき です。Δ＝０になると，計算できませんね。分母が０になることは，絶対にありませんから。※たとえば， ５÷０ で考えてみましょう。５÷０に答えがあると仮定し，答えを●としますよ。すると●×０＝５ が成り立ちます。つまり，「●を０倍すると５」になる●が存在することになります。これは事実と矛盾しますね。すべての実数は０倍しても０ですから。だから，５÷０に答えがあると仮定したのがまちがいのもと。５÷０に答えはありません。話を元に戻します。例として２ｘ＋３ｙ＝５４ｘ＋６ｙ＝７という連立１方程式を考えてみましょう。ΔをテストするとΔ＝２×６－４×３＝０なので，これ以上計算できません。グラフを描けば明らかですが，この２本の方程式は，一次関数でもあり，グラフ上では平行な位置関係になるため，永遠に交わらず，交わらないということは，答えがありません。しいて答を書くとすれば 「解なし」 です。２ｘ＋３ｙ＝５４ｘ＋６ｙ＝１０というΔ＝０型の連立１方程式は？これは，４ｘ＋６ｙ＝１０ の両辺を２で割れば２ｘ＋３ｙ＝５ となって，同じ式になるので，２ｘ＋３ｙ＝５ という１本の式に集約できてしまいます。２ｘ＋３ｙ＝５ を満たすｘ，ｙの組は無数に存在しますね。これは，「解は不定」，「定められない」と答えます。０ｘ＝０ (左辺は０かけるｘのことです)と同じことが起こっています。中学数学はここまでで，十分でしょう。（答え） １５９９は３９×４１，３９＝３×１３なので， 素数は ３，１３，４１ ２４９９は４９×５１，４９＝７×７，５１＝３×１７なので， 素数は ３，７，１７ ４８９９は６９×７１，６９＝３×２３なので， 素数は ３，２３，７１
2003.09.30
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数をじょうずにお料理＜その８＞
◎ＨＰをスタートして，１ヵ月が経ちました。読み返してみて，表現がおかしかったり，説明が不十分であったりで，赤面ものです。でも，マックの書きたいことはまだまだたくさんあります。これからも，算数嫌いのこどもたちが一人でも減るように，書き続けていきたいな，と思っています。こどもたちと算数や数学をいっしょに研究する，そういうスタンスが大切と，マックは常々感じています。こどもたちといっしょにいると，次々と新たな発見ができます。大人ではあたりまえのことが，こどもたちには不思議。そうすると，自分の常識を疑ってみなければいけない，そのように思います。分かっているつもりで，こどもたちに説明できないとしたら，常識をこどもの立場になって見つめ直す。これは，算数・数学に限った話ではありませんが。たとえば，小数を説明する場合，無限級数を使ってあげるとすぐに分かる子もいます。 １ ０ ６０．１０６ ＝ ── ＋ ─── ＋ ──── １０ １００ １０００そうすると，分数は，低学年のうちにマスターしておいた方が，合理的と思えるのです。また，２０÷０．５ の小数わり算は５年生でやりますが，教科書には２０÷０．５＝２０÷（５÷１０） というアルゴリズム(計算のしくみ)が出てきます。これを，こどもたちの何人が本当に理解しているのでしょうか。まだ，？？は続きます。教科書の続きです。２０÷０．５＝２０÷（５÷１０）＝２０÷５×１０( )の中の「÷」が( )をはずすことによって「×」に変化します。これを，こどもたちにどう説明すればよいのでしょうか。「÷（割る）を２回繰り返すと，×(かける)になる」とは，その本当の意味は，どういうことなのでしょうか。マックの日記で，後日，この問題をとりあげてみたいと思います。こどもたちに分かってもらえる説明とは…。◎今後とりあげてみたいテーマは，計算のしくみ，数の規則，場合の数など。それに，途中になっている剰余系の話も書きたいし，関数やグラフ，ベクトル，一次変換，行列，線形計画法もできれば，と考えています。ゲームの理論も楽しくできないか，と現在研究中です。そのほか，さっき話題にした無限級数や，できれば微分・積分，点集合論からトポロジーも，その世界に少しでも触れておけば，きっと役に立つときがくると思います。マックの塾では，以上のうちのいくつかを，小学生向きにアレンジして教えています。(思考が柔軟な時期なので，実験して発見する作業をいっしょにしてあげると，大人より理解が速いですよ。)何をテーマにしていくか，試行錯誤しながら書いていきます。中学数学ノートも改訂版の編集にあわせて，少しずつ書いていきたいと思います。◎高校数学について一言 現在，マック特製「高校数学ノート(改訂版)」を，娘のカオリンに試用してもらっています。文字のアルゴリズムが多用される方程式や不等式，関数などで考えこむ時期もありましたが，今は手を離れ，自分で問題を解いています。カオリンが分かりにくかったところのサンプルです。│（ｘ－４）（ｘ＋２）│＜０ や ｙ＝│（ｘ－４）（ｘ＋２）│は，数字の世界なので理解できます。しかし，│（ｘ－ａ＾２）（ｘ＋ａ）│＜０ や ｙ＝│（ｘ－ａ＾２）（ｘ＋ａ）│は文字の世界です。はじめは戸惑っていました。これら方程式・不等式・関数は，文字のアルゴリズムに慣れれば，今度は重要な得点源になります。この手の問題は，(1)内生変数と外生変数の区別をし，(2)外生変数で場合分けし，(3)微分・積分に出てくる表を作れば，ほとんどオートマティックに解けてしまいます。そこに気づいてもらうよう，誘導します。数Ⅰの最後に出てくる三角関数は，マックの秘密の技(わざ)で実験し，時間制限３０分でカオリンにマスターしてもらいました。これを長くやるから，こどもたちは，いつまでもひとり立ちできないし，退屈になってしまう…そんな感じではないでしょうか。高校数学の理想的なマスターの仕方は，こうです。まずは，１年分の概論を，３ヵ月程度の短期間に集中してすべて教えてしまいます。これで全体的な視野ができます。あとは本人に参考書と問題集で演習してもらい，どうしても分からないところだけ説明してあげる…これで，必要にして十分です。ということで，方程式や関数をやるときには，微分・積分も並行して学んでいくのが，本当は楽なのです。◎さて，きょうも森の学校のはじまりです。今回は，２００２年に出題された入試問題をとりあげてみたいと思います。最後の『積の法則』の説明は，中学数学もふくみます。マック「きょうは，修学旅行のふりかえでお休みだね。」サーヤ「ええ，もう疲れはすっかりとれたし。」 マック「よかった。それでは，さっそく一題やってみよう。テーマは，左右対称になっている数。」サーヤ「左右対称っていうと， １１ からスタートして ２２ ３３ …」 マック「そう。３けたの場合は，１０１ １１１ １２１ …，４けたの場合は，１００１ １１１１ １２２１ …と続くよ。」【問題】左右対称の数字の中で，２００２は何番目に出てきますか。また，２００２番目の数字は何ですか。(問題文が長文なので，文章は簡略化してあります。)【解説】サーヤ「１１ が１番目。２２ が２番目だから，２けたのときは，場合の数で１から９までの９とおり！」 マック「さて，次は３けただ。」１０１ １１１ １２１ 全部書くと時間がなくなるので１＃１で表すと，＃に入るのは ０から９までの１０とおりです。１＃１２＃２と変化する場合の数は，＄＃＄の＄が１から９までの９とおりですね。積の法則あてはめて，１０×９＝９０とおり。サーヤ「次は，４けたね。でも，１＃＃１で，＃のところは，３けたのときと同じ１０とおりよ。」 マック「いいところに気がついたね。ここまでくると，２００２は近い！」９とおり＋９０とおり＋１０とおり＝１０９とおりサーヤ「１０９番目は １９９１ でしょ。１９９１ の次は，いきなり ２００２ にとぶから，２００２ は１１０番目！答えにたどりついた，フーッ。」 ☆答え ２００２は１１０番目です。マック「それで，４けたの場合も９０とおりって分かったしね。」サーヤ「５けたに行くわよ。」 １０００１ １０１０１ … → １０＃０１ → ＃は１０とおり１０＃０１ → １＄＃＄１ → ＄も１０とおり○＄＃＄１○ → ○は９とおりサーヤ「積の法則あてはめて，１０×１０×９＝９００とおり。」 マック「６けたも９００とおりだね。」１００００１ １００００１ … → １０＃＃０１ → ＃は１０とおり１０＃＃０１ → １＄＃＃＄１ → ＄も１０とおり○＄＃＃＄○ → ○は９とおりサーヤ「これまでのを合計すると，９＋９０＋９０＋９００＋９００＝１９８９とおりかなり近づいてきたわ。７けたに行きましょ。」１０００００１ １００１００１ … → １００＃００１ → ＃は１０とおり サーヤ「ここまでで，１９９９とおり。１０＄０＄０１に直して考えると次の最初の数は ＄＝１ に進んでいるから１０１０１０１ ね。２０００番目 → １０１０１０１ このまま続けて，２００１番目 → １０１１１０１ ２００２番目 → １０１２１０１ 答えが出たわ。」 ☆答え ２００２番目は １０１２１０１ です。マック「やったね。おめでとう。」サーヤ「ところで，これ，どこの問題？」マック「ラサールだよ。２００２年にちなんだ出題だね。センスのある，おしゃれな問題だ。」サーヤ「わたし，何とも言えないわ…。」 (注)これから先は，「積の法則」って何？と思った人だけ，読んでおきましょう。 中学生の子も，ですよ。高校入試にも必須の知識です！◎積の法則(小学６年から中学生レベル) 「お見合い」を例にしてみます。 ３人の男性と２人の女性がお見合いすることになりました。 何とおりの組み合わせが考えられますか？ 男性はＡくん，Ｂくん，Ｃくん 女性はＳさん，Ｔさん としておきましょう。 Ａくんのお見合い相手は ＳさんとＴさんの２とおり。 Ｂくんのお見合い相手も ＳさんとＴさんの２とおり。 Ｃくんのお見合い相手も ＳさんとＴさんの２とおり。 合計で６とおりの組み合わせができますね。 これをいちいち数えるのが手間なので， ３×２＝６ と一発で計算してしまうのが，「積の法則」です。 もう一度整理しておきます。 Ａくんも，Ｂくんも，Ｃくんも２とおりずつだから ３×２＝６とおり。 ▲×●＝■ 「２とおりずつ」が単位量の●，魔女のモニカの●ですね。 それを３人分で，これが魔法のつえの▲です。 サイコロも大きいサイコロと小さいサイコロを一度に投げて出る目の 組み合わせは 大きいサイコロの目を基準にし， (大きいサイコロの目，小さいサイコロの目)で表すことにすると 大きいサイコロの目が１のときは (１，１) (１，２) (１，３) (１，４) (１，５) (１，６) と，６とおりありますね。(これが魔女のモニカ●ですよ！) 大きいサイコロの目が２でも３でも４，５，６でもみんな同じことが起こる， と分かったら (魔法のつえ▲が見えましたか？) 「積の法則あてはめて」 と呪文を唱えると ６×６＝３６とおり ▲×●＝■ の組み合わせ のできあがり。 ツリー図でもイメージできるように，しておきましょね。◇図形のエッセンス８◇ エジプトひもの直角三角形，１２人でひっぱろう。 ３ ： ４ ： ５ (三四の五) とかけ声出して。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。
2003.09.29
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数をじょうずにお料理＜その７＞
◎サーヤが昨日，日光から帰ってきました。爆睡し，また，きょうからにぎやかです。◇◇森のなかまのナレーション：きょうは『数の周期』の世界です。◇◇◇サーヤ「電卓で，９をどんどんかけていったら，おもしろいことに気がついたわ。」９９×９＝８１９×９×９＝７２９９×９×９×９＝６５６１９×９×９×９×９＝５９０４９９×９×９×９×９×９＝５３１４４１９×９×９×９×９×９×９＝４７８２９６９サーヤ「ほら，一の位に１と９が規則正しく表れているわ。」マック「ほかの数で実験してみようね。７の場合はどうなるかな？」サーヤ「規則正しくなるかしら？」７７×７＝４９７×７×７＝３４３７×７×７×７＝２４０１７×７×７×７×７＝１６８０７７×７×７×７×７×７＝１１７６４９７×７×７×７×７×７×７＝８２３５４３７×７×７×７×７×７×７×７＝５７６４８０１７，９，３，１の４つで繰り返しね。」マック「試験のときは，電卓は使えないから，一の位だけ見ていけばいいよ。」サーヤ「そうなんだ！７の場合は，こうやるの？７７×７で４９４９の９に７かけて ９×７＝６３６３の３に７かけて ３×７＝２１２１の１に７かけて １×７＝７ もとの７にもどったわ。」マック「もっと練習しておこうね。」［きょうの問題］□に数字を入れてくださいね。(1) ３を１００回かけたら，一の位の数は□になります。(2) ８を５０回かけたら，一の位の数は□になります。[解説]サーヤ「電卓が使えないから，一の位だけで考えよーっと。」(1)の解説です。３３×３＝９９×３＝（・・・）７７×３＝（・・・）１１×３＝（・・・）３３×３＝（・・・）９ （注）（・・・）は十の位以上の数を省略しているマークです。３，９，７，１ ３，９，７，１ と４回周期で表れます。１００は４で割り切れるので，周期の一番最後の数の１になります。答え １(2)の解説です。８８×８＝（・・・）４８×８×８＝（・・・）２８×８×８×８＝（・・・）６８×８×８×８×８＝（・・・）８８×８×８×８×８×８＝（・・・）４８，４，２，６ ８，４，２，６ とこれも４回周期で表れます。５０を４で割ると２余るので，２番目の数の４が答えですね。答え ４マック「電卓でおもしろいことに気がついたら，また，教えてね。」サーヤ「√を使っても，いろいろできそうだわ。」（つづく）◇図形のエッセンス７◇ さいころを積み重ねた立体図形の表面積は，六方向から数えよう。 真正面，右手，左手，後ろ，真上，真下 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備４号)三角形の面積に Δ＝ａｄ－ｂｃ を使う話から，今回は，連立１次方程式の検算に使えるΔの話をしておきます。クラーメルの公式です。あまりにも有名なので，知っている方も多いと思います。ですから，知らない人だけ読んでくださいね。ａｘ＋ｂｙ＝ｓ (1)ｃｘ＋ｄｙ＝ｔ (2)(1)×ｄよりａｄｘ＋ｂｄｙ＝ｄｓ (1)’(2)×ｂよりｂｃｘ＋ｂｄｙ＝ｂｔ (2)’(1)’－(2)’より（ａｄ－ｂｃ）ｘ＝ｄｓ－ｂｔ ｄｓ－ｂｔ ｘ＝───── ａｄ－ｂｃ同様にして ａｔ－ｃｓ ｙ＝───── ａｄ－ｂｃこの結果を覚えておくと，連立１次方程式の検算に使えます。分母は Δ＝ａｄ－ｂｃ なので，すぐ覚えられます。Δは行列式のスタイルでは│ａ ｂ││ｃ ｄ│でしたね。 ａ ｃを ｓ ｔに置き換えると，│ｓ ｂ││ｔ ｄ│となって，ｘの分子になりました。ｙも同様の操作をして，│ａ ｓ││ｃ ｔ│が，ｘの分子になりますね。これでは忘れてしまいそう。 ａ ｂ ｃ ｄの間にｓとｔを入れてみます。 ａ ｓ ｂ ｃ ｔ ｄ１列目と３列目から，Δ１列目と２列目から，ｙの分子２列目と３列目から，ｘの分子ができますね。「はさみこみ」と覚えておきましょう。さっそく，実験してみます。７ｘ＋５ｙ＝３１ ３ｘ－２ｙ＝５ 「はさみこみ」を忘れないようにして，係数を並べます。 ７ ３１ ５ ３ ５ －２ 両端の列からΔ，１列と２列からｙの分子，２列と３列からｘの分子です。右下がりはプラス，右上がりはマイナスの符号でしたね。Δ＝７×（－２）－３×５＝－１４－１５＝－２９ ｙの分子＝７×５－３×３１＝３５－９３＝－５８ｘの分子＝３１×（－２）－５×５＝－６２－２５＝－８７ｘ＝－８７／－２９＝３ｙ＝－５８／－２９＝２マックは，中学２年のときにこのやり方を習いました。ですから，この公式をみると，遠い遠い中２の昔を，ついつい思い出してしまいます。なお，式が３本以上，３元１次以上の連立１次方程式を，クラーメルの公式で解く作業は，大学に入ってから…ですね。
2003.09.28
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アルゴリズムをみつけよう(特別号)
◎前半は小学校低学年向き，後半は小学校受験レベル～中学生向きです。◎サーヤがいないと，調子が出ません。きょうの夜にはもどりますが…。ということで，きょうは，マックのひとりごとのような日記・特別号になります。それでは，森の学校の始まりです。◎小学算数の計算をアルゴリズムでみてみよう！アルゴリズムとは計算のしくみ，計算のシステムのことです。歴史的には，「筆算」を表す言葉から由来しています。(さらに元をたどっていくと，数学者の名前から由来していました。)アルゴリズムを分かりやすく言うと，同じ種類の計算や問題を解くときに，いつも使える計算方法や手順のことです。小学校で学ぶたし算や引き算，かけ算，わり算は，計算のアルゴリズムです。３＋４＝７ という例で考えてみます。３を５にしたら５＋４＝９ こどもたちは，これで”＋”がたすというアルゴリズムであることを知ります。そして，こどもたちは，このしくみを発展させていきます。４を６にしたら結果はどうなるかな？５＋６＝１１ここで，こどもたちは十進法の壁に行き当たります。この壁を越えられるでしょうか。９の次は１０，９９の次は１００…こうなるのは，十進法の世界だけですね。おとなにとって当たり前でも，こどもたちにはこの表記法がとても不思議なのです。でも，お子さんの疑問を解決するツールが，日本にはあったのです。そ・ろ・ば・ん です。そろばんが，９から１０へ移るときの理解を助けてくれます。９の次は，位がひとつ上がります。そろばんで実験しましょう。９９の次も，位がひとつ上がります。また，そろばんで実験ですよ。そして，そろばんの玉を数字にもどせば，十進法の数が表れます。 ◆ ◆────── ◆◆ ◆これは，５２６ですね。そろばんのアルゴリズムを６＋５で再現してみましょう。６＋５＝（５＋１）＋５＝（５＋５）＋１＝１０＋１＝１１６を５＋１で表す→これに５をたす→５＋５を瞬時に計算→ひとつ上の位に１と入れる。繰り上がりの計算の教科書的な説明は６＋５＝６＋(４＋１)＝(６＋４)＋１＝１０＋１＝１１これをタイルを使って説明します。共通しているのは，どちらも，１０を合成するために，数を一度分解することですね。繰り上がり計算の不得意なお子さんは，数の分解がにがてです。高い確率で，７＋８の結果を棒暗記しようと苦心しています。暗記したてで覚えているうちは，計算は速いです。でも，忘れてしまったら，指を使って計算します。こうならないように，低学年のうちに，数の分解をマスターしてください。７＋８の計算のしかたは，何通り見つかるか，お子さんと競争してみてください。７＋８＝２＋５＋８＝２＋８＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝７＋３＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝２＋５＋３＋５＝２＋３＋５＋５＝５＋５＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝１０－３＋８＝１０＋８－３＝１８－３＝１５７＋８＝７＋３－３＋８＋２－２＝７＋３＋８＋２－３－２ ＝１０＋１０－５＝２０－５＝１５いろいろなアイデアが出てきます。新しいアイデアをお子さんが発見したら，心からほめてあげてください。お子さんが自分流のアルゴリズム(計算システム)を発見したら，記録しておきましょう。算数の公式発見の記録ノートを作っていくと，貴重な成長記録になります。世界でひとつだけの宝物になります。ほんとうのスピードは，このように何通りもの答えの出し方を練習し，アルゴリズムを発見することで，自然に身に備わってきます。機械的に計算することに，マックは否定的です。計算のしくみがマスターできている子には計算プリントの練習はある程度，有効でしょう。しかし，計算のしくみがわかっていないこどもたちにとっては，苦痛な単純作業でしかありません。計算のしくみの理解こそが，アルゴリズムを見抜き，応用問題の解答力に直結していく力の源になっています。文章問題などの応用問題が苦手なお子さんは，計算のしくみがマスターできていないと思って，まずまちがいありません。このようなこどもたちは，繰り上がりや繰り下がりの計算を，ほぼ２問に１問の割でまちがえます。ですから，数の分解のマスターこそが先決問題，優先事項です。その克服法で一番安上がりなのは，そろばんを買ってくることですね。そろばん用の安価な解説兼問題集も，大手書店で売っていると思います。(お子さんが中学生になっている知人がいたら，貸していただいてもいいですね。)◎中学数学・文章問題にアルゴリズムを発見！ゲームやビジネスなどのソフトのプログラムは，現代のアルゴリズムの代表選手です。科学の世界でも，自分で仮説を立て，モデルをつくり，実験していくためには，式をたてたり，論証とたりします。自分たちの未来を知るためにも，アルゴリズムをみつけることは必須です。(算数・数学を学ぶのは，アルゴリズムを自分で見つけ，それをもとに自分たちの未来を予測したり，計画したりするため，といっても過言ではありません。その練習ができるように，算数・数学の授業も組み立てられているべきですが…。)それでは，アルゴリズムをみつける旅に出かけましょう。方程式や関数は，アルゴリズムの世界，かつ，宝庫です。【問題】ボールを2ｍの高さから落とします。落とした高さの３／５だけバウンドする数学モデルを考えましょう。３回目にバウンドするときの高さは何ｃｍになりますか。【解説】小学生の受験クラスでやっている問題です。これを中学で習うやり方で解いてみましょう。一般的に話を進めるために，高さをｈｃｍとおきます。1回目のバウンドは ３ｈ → ── × ｈ ５２回目のバウンドは ３ ３ ── × ( ── × ｈ ) ５ ５３回目のバウンドは ３ ３ ３ ── × ( ── × ( ── × ｈ ) ) ５ ５ ５もう一度，１回目をみてみると ３ｈ → ── × ｈ ５ｈを□におきかえてみます。 ３□ → ── × □ ５最初は，□に ｈ をいれます。 次は，□に ３／５ × ｈ をいれます。 次の次は□に ３／５ × ( ３／５ × ｈ ) をいれます。 次の次の次は□に ３／５ × ( ３／５ × (３／５ × ｈ ) ) をいれます。 関数で表します。落とす高さをｘ，バウンドする高さをｙとします。すると，ｙ＝０．６ｘという関数ができますね。ｙをｆ（ｘ）にして，高校数学流に表記します。ｆ（ｘ）の方が，説明しやすいのです。ｙ＝ｆ（ｘ）よってｆ（ｘ）＝０．６ｘ２回目のバウンドに入ります。そのために，すべてのｘ， ａｌｌ ｘ を ｆ（ｘ） におきかえｒｅｐｌａｃｅます。ｆ（ｆ（ｘ））＝０．６ｆ（ｘ）＝０．６＾２ｘ(０．６＾２＝０．６×０．６ のことです。)再び，ｘをｆ（ｘ）におきかえます。ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝０．６ｆ（ｆ（ｘ））＝０．６（０．６＾２ｘ）＝０．６＾３ｘこれがアルゴリズムの精髄です。答えは，２００×０．６＾３＝４３．２ で ４３．２ｃｍ です。 ▼マックのひとりごとこの手のアルゴリズムは，遺伝子みたいに増殖していくイメージだね。▽貯金やローンで有名？な金利計算も，アルゴリズムそのものですね。元金を Ｓ金利を ｒ として，１年複利で考えてみましょう。１年後に，元金は次のように増えます。Ｓ→Ｓ(１＋ｒ)この式にアルゴリズムが隠れていますね。「Ｓを(１＋ｒ)倍して，Ｓ(１＋ｒ)にしなさい。」Ｓを□におきかえてみると「□を(１＋ｒ)倍して，□×(１＋ｒ)にしなさい。」つまり□→□×(１＋ｒ)これが，「金利のアルゴリズム」です。２年後を調べますよ。□はＳ(１＋ｒ)になっていますね。Ｓ(１＋ｒ)→Ｓ(１＋ｒ)×(１＋ｒ)＝Ｓ(１＋ｒ)＾２さらに，３年後を調べます。□はＳ(１＋ｒ)＾２になっていますね。Ｓ(１＋ｒ)＾２→Ｓ(１＋ｒ)＾２×(１＋ｒ)＝Ｓ(１＋ｒ)＾３▼マックのつぶやきやっぱり，□→□×(１＋ｒ) という遺伝子を伝えているなー。▽食塩の濃度も，繰り返しが出てきたら，アルゴリズムで解けます。【問題】濃度が２０％の食塩水が８００ｇあります。その１／５を捨てて，代わりに水を入れ，８００ｇにします。この操作を３回続けたら，濃度は何％になりますか。【解説】１回目の濃さをみてみましょう。食塩の重さは１６０ｇから１２０ｇに減少し，食塩水は８００ｇのまま。１２０÷８００×１００＝１５％アルゴリズムをみつけましょう。食塩水の重さはいつも８００ｇで不変なので，アルゴリズムが使えます。そこで，変化する食塩の重さに注目します。１６０ｇ→１６０ｇ×３／４＝１２０ｇ食塩の重さのアルゴリズムは，こうなりますね。□→□×３／４□に最初に入るのが，１６０ですね。１６０×３／４(１６０×３／４)×３／４＝１６０×（３／４）＾２(１６０×３／４)＾２×３／４＝１６０×（３／４）＾３操作を３回続けると，食塩の重さは１６０×（３／４）＾３(ｇ)濃度を求めます。答えは，１６０×（３／４）＾３÷８００×１００＝１３５÷１６＝８．４３７５ ％結論をいっちゃうと(＝種明かしをしちゃうと)，比の積の世界そのものです。小学算数が分かっていれば，数学の問題も解けてしまうんですね。◇図形のエッセンス６◇ さいころを積み重ねた立体図形の体積は，１段ずつ数えよう。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備３号)ここで，疑問が出てきます。(出てこないかな？)原点が入っていない場合の三角形の面積は，どうもとめるの？【問題】三角形ＡＢＣがあります。座標は点Ａが（６，－３），点Ｂが（８，２），点Ｃが（２，－１）です。三角形ＡＢＣの面積をもとめなさい。きのうかいた図の横に，この三角形ＡＢＣをかいてみましょう。三角形ＡＢＣと三角形ＰＱＯは合同になっていますね。三角形ＡＢＣで正直に解いたら，とても時間がかかりそうです。それに，計算まちがえしそうです。そこで，移動の術を使います。点Ｃ（２，－１）を原点に移動しますよ。そのためには，ｘ座標から２を引いて，ｙ座標に１を足してあげればいいのです。点Ｃ（２，－１） → （２－２，－１＋１） ＝ （０，０） 点Ａ（６，－３），点Ｂ（８，２）も同じ移動をしてあげないと，図が変形しちゃいますね。点Ａ（６，－３） → （６－２，－３＋１） ＝ （４，－２） 点Ｂ（８，２） → （８－２，２＋１） ＝ （６，３） これで，原点入りの三角形ＯＰＱにもどりました。ここまで準備してから，計算スタートですよ。(それでは，みなさん，おつかれさまでした。)
2003.09.27
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数をじょうずにお料理＜その６＞
◎サーヤは，修学旅行に出かけました。今ごろ，にぎやかにやってることでしょう。◎さて，サーヤと２日分のお話はしたので，森の学校はきょうもはじまります。(前回からのつづき)サーヤ「それって，ギリシアの数学者のエラトステネスの話でしょ。」マック「当たり！エラトステネスの篩(ふるい)で，素数を見つけていくんだったね。」◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ここで余談です。 マックは記憶術が大好きです。けっこう調べたりしました。(そのうち，記憶術のコーナーも作りたいという野望？をいだいています。) たとえば，数字を記憶するには”ペグワード”を使います。数字を仮名に変換し，物語をつくって覚えます。 記憶術をやると，頭が柔らかくなります。発想の訓練になるからです。 たとえば，エラトステネスの覚え方で試してみると… 「エラの張った数学者，篩をもってトスしテネ，スっぱいだー。」 イラストは，へたでも，かいておきましょう。(マックはへたくそです。) 記憶の定着のため，１日１０回くらい繰り返し，朝・昼・夜に 映像といっしょに記憶します。 次に，週末にもう１０回繰り返して記憶します。 最後に１ヶ月目に１０回繰り返して記憶します。 駄目押しに，試験前の思い出し訓練をします。 これで，まず忘れられなくなります。 夏は終わってしまいましたが，夏の大三角形の白鳥座のデネブ， マックは「白鳥はデブね。」で覚えています。夜空に太った白鳥が飛んでいる，そんなイメージが浮かんできます。(来年の私立中学受験の理科，火星が見える方向に夏の大三角形，この天体図が試験に出るかも…ですね。)◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇サーヤ「１００までの自然数を篩(ふるい)にかけて，素数を調べてみましょ。」 ２， ３， ４， ５， ６， ７， ８， ９，１０１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０２１，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，３０３１，３２，３３，３４，３５，３６，３７，３８，３９，４０４１，４２，４３，４４，４５，４６，４７，４８，４９，５０５１，５２，５３，５４，５５，５６，５７，５８，５９，６０６１，６２，６３，６４，６５，６６，６７，６８，６９，７０７１，７２，７３，７４，７５，７６，７７，７８，７９，８０８１，８２，８３，８４，８５，８６，８７，８８，８９，９０９１，９２，９３，９４，９５，９６，９７，９８，９９，１００サーヤ「素数２を残して，２つ目ごとに２の合成数を消していく…。」 ２， ３， ５， ７， ９１１， １３， １５， １７， １９ ２１， ２３， ２５， ２７， ２９３１， ３３， ３５， ３７， ３９４１， ４３， ４５， ４７， ４９５１， ５３， ５５， ５７， ５９６１， ６３， ６５， ６７， ６９７１， ７３， ７５， ７７， ７９８１， ８３， ８５， ８７， ８９９１， ９３， ９５， ９７， ９９サーヤ「素数３を残して，３つ目ごとに３の合成数を消していく。消えた分も入れて３つ目ごとね。」 ２， ３， ５， ７， １１， １３， １７， １９ ２３， ２５， ２９３１， ３５， ３７， ４１， ４３， ４７， ４９ ５３， ５５， ５９６１， ６５， ６７， ７１， ７３， ７７， ７９ ８３， ８５， ８９９１， ９５， ９７ サーヤ「素数５を残して，５つ目ごとに５の合成数を消していく。消えた分も入れて５つ目ごと。フーッ。」 ２， ３， ５， ７， １１， １３， １７， １９ ２３， ２９３１， ３７， ４１， ４３， ４７， ４９ ５３， ５９６１， ６７， ７１， ７３， ７７， ７９ ８３， ８９９１， ９７ サーヤ「素数７を残して，７つ目ごとに７の合成数を消していく。消えた分も入れて７つ目ごと。」 ２， ３， ５， ７， １１， １３， １７， １９ ２３， ２９３１， ３７， ４１， ４３， ４７， ５３， ５９６１， ６７， ７１， ７３， ７９ ８３， ８９ ９７ サーヤ「２５個の素数が残ったわ。」マック「お疲れさま。これで完成だ。大切なことは，素数は７まで調べれば，完成するということなんだ。そのことを理解するために，もう一度，篩(ふるい)にかけて試してみようね。」サーヤ「さっそく実験！まず，９までの自然数のうち，素数はいくつか調べてみようっと。」素数３は，まだ，封印しておきましょね。そして，９の手前の８までならべて，２，３，４，５，６，７，８２は素数なので残します。２つ目ごとに２の合成数を消しましょう。残っているのは，２，３，５，７９は次の素数３の封印を解けば，３の合成数として一番最初に消えますね。マック「これで完成。４個みつかったね。」サーヤ「９＝３×３だから，素数３を封印したのね。８までの世界で起こっていることは…素数２で合成数を調べつくし，残っているのは素数だけ。８までの自然数については，素数２だけで調べればいいのね。▽次は，２５までの自然数の中に，素数はいくつあるかな？」２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５ ，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２３，２４，２５２５はフロンティア。最前線。まずは，２４までの自然数をならべます。素数５は封印しておきますよ。２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５ ，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２３，２４素数２は残し，その合成数を２つ目ごとに消します。２，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３素数３は残し，その合成数を３つ目ごとに消します。すでに消えている数もふくめて３つ目ごとに，ですよ。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３４は合成数なので，無視ですね。ここで，２５にもどってきてもらいます。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２５いよいよ，素数５の封印を解きますよ。素数５は残し，その合成数を５つ目ごとに消します。でも，最初に消えるのは２５ですね！２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３マック「２５＝５×５ はフロンティア。これから封印を解くと真っ先に消える位置にあるのが，２５。」サーヤ「これで，９個の素数がみつかったわね。まとめておくわ。」 素数２と３まで合成数を消した結果， ５の合成数で，残っている一番小さな数が２５。 だから，５の合成数を消しなさいといわれて， 最初に消すべき数が２５。▽サーヤ「４９でも同じかしら。やってみようっと。」４９＝７×７ はフロンティア。素数７を封印します。４８から下の自然数で考えて，まず，素数２の合成数を消すと，２，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３，２５，２７，２９ ，３１，３３，３５，３７，３９，４１，４３，４５，４７素数３の合成数を消すと，最初に消えるのは ３×３＝９ ですね。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２５，２９，３１，３５，３７，４１，４３，４７素数５の合成数を消すと，最初に消えるのは ５×５＝２５ ですね。 ２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７ここで，素数７の封印を解きます。４９ももどってきてもらいます。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，４９素数７の合成数を消すと，最初に消えるのは ７×７＝４９ で，４９までの自然数なので，これで完結です。 ▽サーヤ「１２１までの自然数の場合は，１２１＝１１×１１ だから，１２１をはずして，数をならべ…。」マック「１０も合成数，９も合成数，８も合成数だから，１２１までの数の素数を調べる場合，素数７までの篩(ふるい）のテストをしてあげればいいのさ。」サーヤ「１２１まで素数さがしを１個ずつやっていったら大変だものね。だから，この方法は，手間をはぶいてくれる大切な法則ね。」◎お家の方へきょうのテーマに使った法則は，実際には次のように表現します。「ある素数ｐに達したならば，ｐ×ｐよりも小さい自然数で消えずに残っているものはすべて素数である。」たとえば，素数１１の場合は，素数７までの合成数は篩(ふるい）のテストで消えており，(実際に ２２，３３，４４，５５，６６，７７，８８，９９，１１０ はテストで消えてますね。)素数１１の合成数として残っているフロンティアの数が，１２１なのです。そして，１２１より小さな数で残っている自然数は，テストで生き残った素数たちだけです。◇図形のエッセンス５◇ 相似な図形の線分比→面積比→体積比 ａ ： ｂ → ａ×ａ ： ｂ×ｂ → ａ×ａ×ａ ： ｂ×ｂ×ｂ 一辺１ｃｍのさいころと 一辺２ｃｍのさいころ でイメージしましょう。 １ ： ２ → １×１ ： ２×２ → １×１×１ ： ２×２×２ ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学生数学ノートから－－(準備２号)きのうの中学数学ノートで，行列式の罫線がぼろぼろでした。見にくかったでしょう。ごめんなさいね。きょうは，ノートで次の例題をやって，確認してもらおうと思います。罫線のくずれは，かんべんね。【例題】原点をＯとします。点Ｐと点Ｑの座標がそれぞれ (４，－２)と(６，３)のとき， 三角形ＯＰＱの面積をもとめなさい。［解答］ ノートにｘ軸とｙ軸をかいて，原点Ｏと点Ｐ，点Ｑをプロットし，三角形ＯＰＱをつくります。 次に，三角形を取り囲む四角形をつくり，面積をＳとして， １ Ｓ ＝ ３０ － ── （３×６＋２×４＋２×５） ＝ １２ ２ 答えは １２ ですね。 これを，行列式でやってみると，Δ ＝ │４ －２│ ＝ ４×３－６×（－２） ＝ ２４ │６ ３│したがって， １Ｓ ＝ ── × Δ ＝ １２ ２…
2003.09.26
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数をじょうずにお料理＜その５＞
◎中学数学ノートを久しぶりに眺めていました。今年から高校生になった娘のカオリン用に作った，マック特製の高校受験数学の参考書です。まだ，半年前までは使っていたノートなのですが，こどもの成長が速いのか，なぜかとてもなつかしいのです。中には中学校の範囲を超えている考え方や解き方も入っています。でも，知っておくととても便利なものも，たくさんあります。マックはふと，閃きました。この中から，現役の中学生の子たちに使える項目を，週１回くらいのペースで日記に書いていこうと。サーヤもあと半年で中学生。塾の６年生の子たちももあと半年で中学生。そろそろ，最新版の中学数学ノートをつくるタイミングでもあるのです。そこで，現役の中学生のみなさんにも，いろいろな意見や質問・感想を寄せていただけたら，マックはとてもとてもうれしい限りです。よろしく，お願いします。◎サーヤは宿題やってきたでしょうか。実は，サーヤはあしたから，１泊の修学旅行に行きます。日光ですが，お土産やお買い物のことが気になっているみたいです。雨が止みますように…。◎きょうも森の学校のはじまりです。マック「０～９９９までの数の中で，５という数字を使わない数が何個あるか，分かったかい？」サーヤ「百の位で使える数字は５を除いた９個の数字でしょ。十の位も一の位も同じね。これって，場合の数だから『積の法則』を使って９×９×９＝７２９答えは７２９個ね。」マック「大正解！『積の法則』もちゃんと使えたね。場合の数については，後の回であつかおうね。それでは，きょうの問題。数え上げの問題だよ。１から１０までの整数をかけると，左はしに０は何個つくか，調べてみよう。」１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０サーヤ「そうね。０に関係するグループと関係しないグループに分けてみようっと。０に関係するグループ → ２と５と１００に関係するグループ → １，３，４，６，７，８，９０に関係する数をかけてみると，こうなるわ。２×５×１０＝１００だから，０が２個つく。」マック「そうだね。正解。１０は２と５で，できていると考えればいいね。２の方はたくさんあるけれど，５の方は２個だけ。」サーヤ「５の数が０の数と同じということね。」マック「そうなんだ。だから，５の数を数え上げれば，それがこ・た・え。」☆［問題］☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆１×２×３×４×５×６×…×５０の積は右はしに０が何個つきますか。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「５を数え上げるのね。」 ５ １×５１０ ２×５１５ ３×５２０ ４×５２５ ５×５３０ ６×５３５ ７×５４０ ８×５４５ ９×５５０ ２×５×５サーヤ「５はぜんぶで１２個あったから，０も１２個つくのね。」マック「絶好調だね。２５と５０は，５が二つずつかくれているから，みんな，ここでよくひっかかるんだ。それと，今サーヤが数え上げるのに使った積の形を何ていうんだっけ？」◇◇森のなかまのナレーション：話は素数の世界に入っていきます。◇◇サーヤ「『素因数分解』でしょ。」マック「質問していくよ。素数とは？」サーヤ「約数が１と自分の数しかない整数。つまり，１列ならびしかできない整数を素数っていうのよ。たとえば， ２，３，５，７で実験してみると２＝１×２３＝１×３５＝１×５７＝１×７１列ならびでしょ。だけど，４や６や８は約数がほかにもあり，１列以外にも並べるしね。４＝２×２６＝２×３８＝２×４こういう数は素数じゃないわ。」マック「素数でない整数を何ていうのかな？」サーヤ「合成数ね。素数が組み合わさって，いろんな整数ができる。それで，合成数をもとの素数であらわすことが，素因数分解。」マック「そうだね。素数の世界では，整数は１を除いて，素数か合成数かのどちらか。」サーヤ「１は素数に入れないって，どう説明するんだっけ。」マック「どんな合成数も，一意的に素因数分解できるという，重要なルールがあるんだったね。合成数を素因数に分解して，答えが２つも３つも出てきたら困るんだ。一意的というのは，１対１，ワン・アンド・オンリーワンということなんだ。サーヤ「一意的って，かびくさい言い方ね。」マック「数学の世界にしか残っていないかもね。英語で言った方がかっこいいかも。 いかなる実数に対しても → ｆｏｒ ａｎｙ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ～に従って → ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ～ 条件 ： → Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ： でも，日本語の言いまわしは，古いけれど，簡潔明瞭，しかも機能的なんだ。先に進もうね。たとえば，１８で考えてみるよ。１８＝２×３×３ となって，１対１で対応，一意的。」サーヤ「ここに，１をもってくると，１８＝１×２×３×３ という表し方も登場し，１対１でなくなってしまうわね。」マック「分かったかい。もうひとつ，ここで覚えておきたいルールがあるんだ。」サーヤ「どんなルールだっけ？」マック「１回やっておけば分かるよ。次回に実験しよう。」サーヤ「思い出した！」(つづく)◇図形のエッセンス４◇ ３０°６０°９０°の三角じょうぎの辺の長さの比は 中に正三角形をつくれば出てくるよ！ 一番短い辺の長さ ： 一番長い辺の長さ ＝ １ ： ２ ある角が１５°の直角三角形をイメージしますよ。 次に直角三角形を折り返し，頂角３０°の二等辺三角形をイメージ。 面積の求め方が，うかんできましたか。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学生数学ノートから－－(準備号) 座標平面の３点Ｏ，Ｐ，Ｑを結んでできる三角形の面積Ｓを求めましょう。点Ｏは原点（０，０），点Ｐ(ａ，ｂ)，Ｑ(ｃ，ｄ) としますね。 実際に計算してみましょう。 １ Ｓ＝ ── × (ａｄ－ｂｃ ) ２になりましたか。ここで Δ＝ａｄ－ｂｃ とおきます。 (Δは”デルタ”と読みます。) 面積Ｓは １ Ｓ ＝ ── × Δ ２ で求められる，というのが，この式のエッセンスなのです。 │ ａ ｂ │ Δ＝ │ │ │ ｃ ｄ │と，表します。そして，この右辺を行列式といいます。行列式から Δ＝ａｄ－ｂｃ をみてみましょう。ａとｄをかけるとき，ａからｄへ，右下に線をおろす動作をしますね。かいてみてください。この動作をプラスと決めます。これで ａｄ が出てきます。ｃとｂをかけるとき，ｃからｂへ，右下に線をおろす動作をしますね。かいてみてください。この動作をマイナスと決めます。これで －ｂｃ が出てきました。両方あわせて，ａｄ－ｂｃ になりますね。点Ｐと点Ｑの位置関係は，原点を中心にして，点Ｐから点Ｑへ向かうとき時計と反対回りになればプラス，時計回りならマイナスと定義します。(大学で学ぶ交代積やベクトル積の話なもんで，ややこしいかも。)だから，いつも時計と逆回りになるように点Ｐと点Ｑを決めます。これを逆に決めると，Δが負の値になってしまいます。だから，負になったら，さらに負をかけてプラスにしてしまうという，荒業(あらわざ)を使ってもいいです。その場合，Δは│Δ│としてしまいます。│Δ│は”絶対値デルタ”と読みます。使い方は，こうです。 │２│＝２ │－２│＝２絶対値は，正でも負でも，みんなまとめて正にする，という記号です。 │５－８│＝│－３│＝３高校生になると，いっぱい出てきますよ。○今日のまとめ 座標平面の原点Ｏと点Ｐ(ａ，ｂ)，点Ｑ(ｃ，ｄ)を結んでできる三角形の面積Ｓは １ │ ａ ｂ │ Ｓ ＝ ── × │ │ ２ │ ｃ ｄ │ この公式は，検算で使えますね。
2003.09.25
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数をじょうずにお料理＜その４＞
◎あいにくの雨模様ですが，『クルミと森のなかまたち』の学校は，いつもと変わらず始まりますよ。マック「きょうは，数字のカードで問題だよ。０から９までの一桁(ひとけた)の数をかんじょうしてみて。」０，１，２，３，４，５，６，７，８，９サーヤ「全部で１０個。」マック「０から９までの数字のカードが，全部１回ずつ使われてるね。」サーヤ「１０÷１０＝１ で１回ずつね。」マック「それじゃ，二桁(ふたけた)の数にいくよ。」☆【今日の問題】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サラという名の少女が，友だちの誕生パーティに呼ばれました。友だちは，パーティで数占いをするため，サラに頼みました。「ねえ，サラ。０から９までの数字のカードを使って，０から９９までの数をならべたいの。数字の５のカードを用意してきて，お願いね。」サラは，いったい５のカードを何枚用意していけばいいでしょう。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【解説】サーヤ「全部書けなんて，言わないでしょうね？」マック「かわいい子には旅をさせろ，かな。まず，全部二桁にしておこう。０は００，１は０１…。０から９９までの数は１００個だね。計算してみて。」サーヤ「９９－０＋１＝１００。」マック「そうだね。出てくる数字は全部でいくつになる？」サーヤ「２が単位量の●で，１００が▲だから●×▲＝■２×１００＝２００全部で２００個の数字が使われているのね。」マック「数字のカードは，０から９までの１０種類しかない。すべての数字が平均して使われているのは，０から９までの数の場合と同じだね。」サーヤ「２００÷１０＝２０答えは２０枚ね。ほんとかしら。数えてみよーっと。」５，１５，２５，３５，４５，６５，７５，８５，９５で９回５０，５１，５２，５３，５４，５５，５６，５７，５８，５９で１１回マック「三桁(みけた)でも同じことだね。」☆【今日の問題２】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆０から９９９の数に，５の数字が何回使われているか，調べましょう。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「三桁で，５が出てくるのは…。」マック「０～９９９までに，数は１０００個。」サーヤ「０を０００，１を００１などと表すことにすれば，使われる数字は３×１０００＝３０００個。」マック「３０００÷１０＝３００だから…。」サーヤ「５は３００回出てくるのね。」マック「このように考えて時間を節約するのも，算数・数学なんだ。必要は発明の母だね。」サーヤ「不精は算数の母？」マック「？？ おまけだよ。０～９９９までの数の中で，５という数字を使っていない数は何個あるかな？」サーヤ「５の数字カードを使わない数ね。簡単に答えを出すには，００１から始めて除くのは，００５と０１５と０２５と…。宿題ね。」◇図形のエッセンス３◇ 金太郎飴(あめ)，どこで水平に輪切りにしても同じ形の空間図形は 底面積×高さ＝体積 ● × ▲ ＝ ■ で解きましょね。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。
2003.09.24
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数をじょうずにお料理＜その３＞
◎きのう，６年のＴくんから，マックがなぜ算数を教えるようになったのか，質問がありました。マックは２年ほど前までは，高校生を中心に教えていました。そして，中学校の数学が分かっていない子が多くて，これは何とかしないといけないって，ずっと，ずっと考えていました。数学をつまらなくしたのは，だれだ！マックはどんどん時間をさかのぼり，たどりついたのが，小学校の算数でした。小学生の娘，サーヤのテキストやノート，答案用紙，参考書，問題集，どれをとっても魅力を感じません。時どき，面白いページもあるのですが，基本的につまらない。サーヤがこんなつまらない勉強をしていたかと思うと，がっくりきました。高校数学にばかり目が行って，娘の算数の実態を知らなかったとは，痛恨のいたりでした。本当の算数・数学はちがう！マックは，後にサーヤがクルミと名づけたツールをつくり，サーヤと算数の研究をはじめました。あるときは，高校レベルの考え方もとりいれ，ゲームや物語を二人でつくったりして…こうして，『クルミと森のなかまたち』が誕生しました。サーヤの友だちや友人の子どもたちに，このツールで試しに教えてみました。すると，こどもたちが「楽しい」って，感想を寄せてくれました。「おじさんのところで勉強したい」とかけつけてくれたの子がＴくんでした。『クルミと森のなかまたち』に新しいなかまができると，サーヤに最初に試してもらいます。たとえば，剰余系の話は３０分で理解してくれました。ダイヤグラムも１回教えただけで，あとは問題を自分でこなしています。(『いちごの妖精』というなかまも最近できました。)メビウスの輪をつくったり，ピタゴラスの定理を庭で実験したり…。比例の話から一次方程式や双曲線，負の数に発展するなど，小学生だからこそ，いろんなことに興味が出てきます。小学生も，たくさんのことが知りたいのです。同じことを繰り返しやる，これも大切です。しかし，新しい好奇心のわいてくる話や実験に広がっていかないと，息がつまってしまいます。特に，数学の世界は，先へ進むほど解答が容易になってきます。学校よりも数歩先，力がついたら１年生でも，２年生・３年生の数学に進んだ方が，本当は解答は簡単なのです。算数，数学はそのような性質があるので，分からないところでぐずぐずしていると，つまりません。本当の算数嫌い，数学嫌いになってしまいます。逆に，今は分からなくても，先に進んでもう一度，分からなかったところに戻ると，霧が晴れたように分かるときが来ます。マックの塾の小学生のこどもたちは，中学数学・高校数学の考え方も学んでいます。先の先，高校生になっても，たとえば体積の積分を習う際に，この子たちは，マックの塾の体積の求め方でやったと思い出してくれるでしょう。教えるマックも，小学生が一番頭が柔軟で，教えやすいと感じています。小学生の子の能力はおそるべしです。教えた分だけ入っていきます。反対に，少なくインプットすれば，アウトプットも少ないようです。こどもたちの成長を実感できることが，マックの何よりの励みとなっています。電車で片道１時間かかるところから来ている子もいます。こんなわけで，小学生のこどもたちを教えるのが楽しいマックです。(もちろん，がんばり屋の中学生・高校生の子も好きですよ。)◎きのうの話のつづきです。マック「数を次のように表していく有名問題を考えてみよう。６はどう表せばいいかな？」●●○＝１●○●＝２●○○＝３○●●＝４○●○＝５サーヤ「金貨のふくろで考えると，右はしが金貨１枚のふくろ，真ん中が金貨２枚のふくろ，そして，左はしが金貨４枚のふくろだわ！（金貨４枚，金貨２枚，金貨１枚）そして，○はそのふくろが「ある」，●はそのふくろが「ない」を表している。６枚は ４＋２ だから（ある，ある，ない）○●の記号で表せば○○●どう，正解でしょ。」マック「さすがだね。７も分かるね。」サーヤ「４＋２＋１ だから，（ある，ある，ある）○●の記号で表せば○○○になるわ。金貨の入ったふくろで考えると楽しいわ。」◇図形のエッセンス２◇ ひし形の面積は，四角にすれば分かります。 対角線×対角線÷２ 直角二等辺三角形は，正方形＝ひし形の一部だよ。 図をかいて確かめてね。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。
2003.09.23
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数をじょうずにお料理＜その２＞
◎先日の日記に「にわとりの足を，４本とまちがえている子がいる。」と書きました。Ｓ学園のＨ子さんの友だちにも，いたそうです。きのうの日曜特訓の休み時間に，彼女から教えてくれました。４本の子，まだまだたくさん，発見できそうですね。◎分量が多過ぎるので，剰余系のシリーズは，急きょ後回しにします。小６受験クラスの子は，正直に言って，ここをゆっくりやっている時間的余裕はありません。しかし，この剰余系や素数などの知識がないと，解答もどこか頼りありません。ですから，受験クラスのお子さんは，時間のある小学５年生までに，この分野をマスターしてしまうことをお奨めします。整数問題はとっつきやすいので，小学生のお子さんに人気があるんですよ。それと，公立中学に進むお子さんは，剰余系など，学校では教えてくれない分野を，じっくりと学んでおきましょうね。算数の力をつけておけば，数学が得意になること請け合いです。学校の算数だけしかやらなかった，では時間がとてもとても，もったいないって，マックは思います。(マックは，そのうち『学校では教えてくれない算数・数学』を特集しようかと考えています。)◎それでは，きょうの物語の始まりです。マック「昔むかし，ミミタン王国という美しい国があった。」サーヤ「どこにあったの？」マック「砂ばくの中のオアシスにあったのさ。」ミミタン王国にはおかしな法律があった。ミミタン王国のお金は金貨しかなく，それも金貨１枚で１ミタールだった。お金を使うときは，王様のしるしのついた袋を使うことになっていて，１度その袋に金貨を入れたら，王様以外は絶対に袋を開けてはならない。こんな法律だ。」サーヤ「なんか，むちゃくちゃな法律ね。」マック「ある日，外国商人と商いをしているヤフーホフが，市場に品物を仕入れに行った。予算は最大で６３ミタールだ。」サーヤ「そろそろ，問題ね。」［問題］６３枚の金貨を１ミタールから６３ミタールまでの支払いができるように６つの袋に分けなさい。マック「このタイプの問題，中学入試にときどき出てくるんだ。小さな数から順を追って推理していけば，解けるよ。」サーヤ「まず，１は必要ね。 →( １ ) ２も３を出すために必要。 →( １，２ ) ３は１＋２で出てくるから，いらないでしょ。でも，４は１と２でから出てこないから，必要よね。」 →( １，２，４ ) マック「どんどん続けて。」サーヤ「フーッ。５は１＋４で出てくるから，いらないでしょ。６も２＋４で出てくるし，７も１＋２＋４で出てくるから，いらない。８は…新しく作らないとないわ。」 →( １，２，４，８ ) マック「今までで作った数をならべてみよう。」１，２，４，８，…サーヤ「２倍ずつ増えている！ということは，次は１６の袋をつくり，それから３２の袋をつくるのね。」マック「袋の中の金貨の枚数を全部足してみると？」１＋２＋４＋８＋１６＋３２＝６３サーヤ「たとえば，５２ミタールなら３２＋１６＋４＝５２ちゃんと出てくる！答えは，１，２，４，８，１６，３２ ね。」マック「正解！実は，これは２進法を使った問題なんだ。計算や図形など，いろいろな形になって，中学入試に出題されてるよ。」サーヤ「２進法が分からなくても解けそうな気がするけれど。」マック「そのとおり。知らなくてもできる。今，サーヤが解いたようにね。」サーヤ「でも，２進法っておもしろそう。もっと，聞かせて。」マック「そうだね。金貨のふくろで２進法の練習をしようか。」(と，サーヤとの話は続くのでした。)◇図形のエッセンス１◇ 平面図形を軸のまわりに回転するときは，いつも 半径 → 底面積 → 円柱・三角すいの体積 の順に解きましょね。 ※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。
2003.09.22
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数をじょうずにお料理＜その１＞
◎昨日の地震は不気味でした。横揺れが長く続きました。きょうも台風の影響で雨模様。読書をするには最高の天気…です。日曜特訓にきている元気なこどもたちに囲まれ，きょうもマックは大忙しです。◎前回の宿題の答えからはじめます。 ２００－１５０＝５０ ●は５０円／さつ ■は３００円 ■÷●＝３００円÷５０円／さつ＝６さつ (２２－６)÷２＋６＝１４ 答え １４さつ◎毎日，こどもたちを教えながら書く内容をセレクトしています。それで，話があっちこっちに行ってしまいますが，後日，まとめようと考えてます。☆また，小学生のみなさんからリクエストがあれば，その話題にも触れて行きたいと思っています。◎数の問題，とりわけ整数の問題は，公式らしい公式があまりないのが，特徴です。変な特徴ですね。それで，問題を解くには柔軟な思考と総合力がものをいいます。しかし，試験時間中に一度も見たこともない問題を解くのは，負担が大き過ぎですね。日記に１０回シリーズで＜整数の問題＞に焦点をあててみます。代表的な問題や考え方を整理していきます。名づけて，数のお料理教室！◎グキキの法則？マック「グキキの法則って知ってるかい？」サーヤ「どうせ，パパが勝手につけたんでしょ。」マック「ばれたか。でも，数の世界では少しの工夫で楽に解ける考え方があるんだ。」サーヤ「知っているかどうか，が運命の分かれ道ね。」マック「敵の術中にはまらない。スマートな解決法があるかもしれない。これは問題をいろいろ解いていくうちに身についてくる力だね。」サーヤ「それで，どんな問題？」☆［今日の問題］☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆次のような数の列の５０番目は２の倍数になるかどうか，答えなさい。１，２，３，５，８，１３，２１，３４…☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆マック「数の列にどんな規則があるか，分かるかい？」サーヤ「３番目は１番目と２番目の和でしょ。４番目は２番目と３番目の和。」マック「その通り。さー，それからどうする？」サーヤ「９番目の数は２１＋３４＝５５１０番目の数は３４＋５５＝８９１１番目の数は５５＋８９＝１４４もういやになったわ！」マック「サーヤがどこまでやるのか，見ていたけれど，そうなんだ。こんなことやっていたら，明日になっちゃう。それで，偶数と奇数に登場してもらう。数を偶数か奇数かでシンプルにしちゃおう。」サーヤ「そうかー。それでグキキの法則なんて言ってたのね。」マック「偶数をグ，奇数をキと言うことにするよ。学校で教わった法則を思い出して！ グ＋グ＝グ たとえば ２＋６＝８ グ＋キ＝キ たとえば ２＋５＝７ キ＋グ＝キ たとえば ５＋２＝７ キ＋キ＝グ たとえば ３＋５＝８だったね。」サーヤ「それを使うと，１番目 キ２番目 グ３番目 キ＋グ＝キ４番目 グ＋キ＝キ ５番目 キ＋キ＝グ ６番目 キ＋グ＝キ７番目 グ＋キ＝キ ８番目 キ＋キ＝グ ９番目 キ＋グ＝キ１０番目 グ＋キ＝キ １１番目 キ＋キ＝グ ２番目からグキキ，グキキと続いているわ。」マック「３回ごとにグキキ…３回周期だね。」サーヤ「グになっているのは，２番目，５番目，８番目，…３で割ると２あまる番号ね。５０番目は…５０÷３＝１６ あまり２そうかー。５０番目はグのところ。だから，２の倍数になってる！答えは『２の倍数になってる』ね。」マック「学校の教科書にものっている『偶数と奇数の和の性質』を使ったいい問題だね。」サーヤ「教科書，大切にしなくちゃ。」◇数のワンポイント・レッスン＜剰余系２＞きょうは７を割る数にして，１から順に割っていきますよ。１÷７＝０ 余り１２÷７＝０ 余り２３÷７＝０ 余り３４÷７＝０ 余り４５÷７＝０ 余り５６÷７＝０ 余り６７÷７＝１ 余り０８÷７＝１ 余り１９÷７＝１ 余り２今回から余りの数に注目して式をたてていくので， 「余り０」 が登場しました。剰余系の世界では，割る数を「法」とよびます。７が割る数なら，「法７」。(ほー，そーなんだ…。)さて，余りに注目して，剰余系での式の表し方をマスターしましょう。１÷７＝０ 余り１ は １≡１ (法７)小学生のみなさんは，(法７)の代わりに(割る数７)でおぼえておきましょね。中学生のみなさんは，三角形の合同を表す「≡」とごっちゃにしないでくださいね。標準の表記法は「 １ ｍｏｄ ７ ＝ １ 」ですが，≡を使った表記法もシンプルで人気があります。１÷７＝０ 余り１ は １≡１ (割る数７)２÷７＝０ 余り２ は ２≡２ (割る数７)３÷７＝０ 余り３ は ３≡３ (割る数７)４÷７＝０ 余り４ は ４≡４ (割る数７)５÷７＝０ 余り５ は ５≡５ (割る数７)６÷７＝０ 余り６ は ６≡６ (割る数７)７÷７＝１ 余り０ は ７≡０ (割る数７)８÷７＝１ 余り１ は ８≡１ (割る数７)９÷７＝１ 余り２ は ９≡２ (割る数７)次に，余りが同じになる数をあつめてみましょう。１÷７＝０ 余り１ は １≡１ (割る数７)８÷７＝０ 余り１ は ８≡１ (割る数７)１５÷７＝０ 余り１ は １５≡１ (割る数７)２２÷７＝０ 余り１ は ２２≡１ (割る数７)「割る数７」の世界では， １，８，１５，２２ は 余りが１で，みな兄弟です。余りが同じ兄弟を集めれば，「割る数が７の世界で，余りが１になる剰余類」というグループのできあがりです。もうお分かりのように，日歴算はこの考え方を使っているのですね。◎お家の方へ小学４年生・５年生のお子さんに剰余系を説明するために，マックの塾では物語をつくって教えています。 シーンは森の中の沼です。 この沼には数を食べるピラモンというモンスターが棲(す)んでいます。 きょうは，ピラモンが３という数を食べる日です。 「数の１７」がやってきました。 何も知らないで，「数の１７」は沼をわたり始めました。 ピラモンがそーっと後ろから近づいてきますが，「数の１７」は気がつきません。 パクッ，パクッ，…１７を食べ始めました。 １７≡１４≡１１≡８≡５≡２ (割る数３) 「数の１７」は，沼をわたり終えるころには「数の２」になってしまいました。こどもたちは，この物語からいろいろな発見をします。１０からスタートして，「法３」つまり「割る数が３」の世界でどのようなことが起こるか？１００ならどうなるか？１０００ならどうなるか？ぜひ，お子さんとお話してみてくださいね。
2003.09.21
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モニカとクララと魔法のつえ＜その１１＞
◎マックは週に２～３回，午後９時ごろから約１時間ほど散歩をしています。夏のにぎわいも去り，海辺の街は落ち着きを取り戻したので，歩きやすくなりました。嫁さんや近所の友人たちと，おしゃべりしながら歩くので，あっという間に１時間がたちます。散歩は体にいいです。デスクワークがほとんどなので，以前はけっこう腰痛で悩んでいました。それではじめた夜の散歩ですが，２年が過ぎ，今では腰痛知らずです。でも，一人では続けられなかったと思います。それで仲間を募り，歩きます。歩いていると，四季折々の発見もできますね。『歩き隊』と名づけて，夜の街を数人で歩いています。◎きょうは，『まちがえて買ってしまった算』をやります。Ｉ子「マック先生，『まちがえて買った算』てほんとの名前じゃないんでしょ？」マック「『とりちがえ算』でもいいし，『かんちがいしてあべこべに買った算』でもいいし，ネーミングはみんなに分かりやすい方がいいんだ。こういうへんてこな名前の方が，Ｉ子さんも忘れないし。」Ｉ子「ええ，変な名前なので，忘れられないわ。」マック「…さっそく，問題に入るよ。」［例題Ｑ］サラはお母さんに買い物を頼まれました。お母さんからおつりのないようにお金をもらい，森のケーキショップで１個３００円のケーキと１個２２０円のクルミパンを合わせて１０個買いました。でも，サラは数をあべこべにして買ってきたので，１６０円お金があまってしまいました。サラはケーキとクルミパンをいくつずつ買うように頼まれたのでしょうか。［解説］Ｉ子「お母さんに頼まれたとおりに買えば，おつりはなかったのよね。」マック「だから，値段の安いクルミパンの数が増え，値段の高いケーキの数が減ったと考えられるね。いつものとおり，まず単位量は？」Ｉ子「ケーキを１個減らして，クルミパンを１個増やすと，払う金額は８０円減るから…●は８０円／個でしょ。■も１６０円と分かっているから，■÷●＝▲分かった！１６０円÷８０円／個＝２個」２個まちがえたのね。」マック「１０個のうち，２個まちがえたということは，残り８個はまちがえていない。」Ｉ子「２個だけが出たり入ったりしてるから，数の組み合わせは４と６しかないわ。ケーキの方が多かったから，ケーキが６個で，パン４個。」マック「そのとおり！２個の差を線分図に書いて，和が１０個の和差算で解いてもいいよね。」【宿題0920号】みおちゃんは，１さつ２００円と１５０円のノートをあわせて２２さつ買いに行きました。でも，はじめに予定していた数とはあべこべに買ってしまったので，しはらった代金は３００円少なくなりました。２００円のノートを何さつ買う予定でしたか。※宿題の答えは次回に！◇数のワンポイント・レッスン＜剰余系１＞割り算をして割り切れないすると，余りが出てきますね。まず，３で整数を割って実験しましょう。３÷３＝１ ４÷３＝１ 余り１５÷３＝１ 余り２６÷３＝２７÷３＝２ 余り１８÷３＝２ 余り２ところで，１÷３や２÷３は，式と余りをどう表せばいいのでしょうか。４÷３＝１ 余り１は「４は ３が１個分 と １」と読めますね。式で表すと４＝３×１＋１ これと同じように考えてあげればいいのですよ。１＝３×０＋１２＝３×０＋２（マックから一言：こういう表し方に慣れておくことが，算数力アップのひけつですよ！）上の式の形を変えて１÷３＝０ 余り１２÷３＝０ 余り２(つづく)
2003.09.20
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６年用 『森の記録係』で解ける分数問題！
◎塾の６年生の子から，次の問題の解法のリクエストがきました。次のような有名問題です。分数の応用ですね。［例題］ロレインが，きいちごを３つのお皿Ａ，Ｂ，Ｃに盛(も)っています。そこに兄のホームズがやってきて，「ねえ，ロレイン。きいちごの数は同じにした方がいいよ。」といいました。「あっ，いけない。考え事をしていたので，数をまちがえちゃったわ。」「ロレイン，見ておいで。こうやれば，数が同じになるよ。」算数好きなホームズは，次のようにきいちごを移動しました。まず，Ａに盛られているきいちごの１／３をＢに移し，それからＢに盛られているきいちごの１／３をＣに移し，最後にＣに盛られているきいちごの１／３をＡに移しました。これで，どのお皿のきいちごの数も１６個と同じです。ロレインが最初にＡ，Ｂ，Ｃに盛ったきいちごの数は，それぞれ何個ですか。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆［解説の前の雑談］数の移り変わりが複雑です。マックの塾では『森の記録係』を使って解きます簿記を知っている人は，『森の記録係』の動きが一瞬で分かります。知らなくても，記録係が分かると複式簿記が分かるという，不思議な▽です。マックはこういう不思議が三度の飯より好きです。自分で発見して試す…それで，なぜか，税理士の簿記論にチャレンジ。独学オンリーで１日２時間，期間は半年と設定して合格しました。模擬試験は一切受けませんでした。もともと人と競争するのが好きではないので，雰囲気がなじめないのですね。それに，自分の実力を一番よく知っているのは自分自身であるわけですから。それで，マックほどお金をかけずに簿記論に合格した人間はいないと自負しています。さすがにヘビーな試験でした。それでも目標を決め，倍率よりも上位３倍の戦いである原則(どんな試験でも，要は上位陣の競争に過ぎないという原則です。)を意識して，戦略をつくり実行していけば，道は何とか切り拓かれます。その際，全体を流れる本質をつかむことが，とても大切です。勉強時間がいっぱいあり過ぎると，細部の罠にはまります。試験に出そうもないことに首をつっこんで，枝葉末節の頭になってしまうのです。ですから，勉強時間を短くするにはどうしたらいいかを考え，リラックスして学習し，自然に疑問が生じるのにまかせます。素直な疑問がわいてきたら，チャンスです。おそらく，その疑問を解くことで，本質に一歩せまることができますから。私の何倍も勉強して，何十倍もお金をかけて，落ちている人の方が多いというのは，何なのでしょうか。本質…ここが分かれば，受かります。マックのくせは，自分で自分に質問する，つまり，自問自答です。さっと，答えられないのは，自分の頭の中に，本質・体系がまだ入っていないからです。試験は，本質が見えなければ，戦う前から負けています。本質が分かれば，あとは繰り返し学習あるのみです。高速で，１冊を何度も何度も繰り返し，問題も試験時間の約半分で解き終えることを目標に，繰り返します。いいですか，試験時間の約半分ですよ。これ以上かかるのは，未消化の部分があるからです。そこを見つけるためにも，高速で繰り返し学習します。こうして，さらに，本質に近づきます。本質が分かれば，勉強はとっても楽になります。◎マック自身の体験や，娘の進学にまつわる経験や塾で教えた経験からつくりあげた学習方法は，上の考え方を応用しています。娘のカオリンは公立中学でしたが，１年のときは部活に専念し，かつ油断したため，５段評価でオール４に近い成績でした。しかし，マックは何も言いませんでした。時を待ちました。中２の１学期の成績は，やや改善していました。カオリンも数学，英語，理科計算問題をマックに聞いてくるようになっていました。マックは，本質に近づけるようなことしか教えませんでした。娘の力を信じてました。きっかけを与えてあげれば伸びるよう，幼い頃から学びの方法を教えてきましたから。中２の夏休みから，カオリンの力は爆発しました。本質がつかめたのです。マックもカオリン用の高速繰り返し学習資料を作りました。中２の２学期からは，ほとんどオール５に近い成績になりました。あいかわらず，部活も毎日遅くまでやっていましたが…。受けたい私立高校も決まり，倍率は毎年３０倍程度でしたが，上位３倍の原則を知っているカオリンはゆうゆうと勉強していました。お互いに時間がないので，高速Ｑ＆Ａを二人でよくやっていました。そして，カオリンは希望の高校に受かりました。◎なお，簿記は算数的考え方のオンパレードですね。株式会社制と複式簿記が，資本主義社会をつくったという説もあるくらいですから，複式簿記が分かると経済学，あの国民所得の三面等価がすっと頭に入ります。国際収支も産業連関表も複式簿記です。今のこどもたちが経済のしくみを知るようになって，日本経済の本当の回復がくるんだろうな，などとマックは思うのです。だから，小学生用に，『算数で分かる複式簿記入門』のゲームを開発してもいいんじゃないかと…これはいいアイディアを思いついた…。脱線も脱線，大脱線してしまいました。［本当の解説］ビデオの巻き戻しで考えます。手がかりはＣの皿です。Ｃの皿に残ったのが１６個なら，その直前に時間をもどすと１６個は２／３にあたりますね。１６÷２／３＝２４だから，Ｃの皿には２４個あって，そこからＡの皿に何個移したのか？８個ですね。Ａの皿に注目します。Ｃの皿から８個もらって１６個になったので，その直前に時間を巻きもどすと，１６－８＝８Ａの皿には８個あったのですね。そして，これが２／３にあたります。８÷２／３＝１２Ａの皿には最初１２個あったのです。そのうち，４個はＢの皿へ。Ｂの皿に注目します。Ｂの皿にはＡの皿から４個やってきました。そして，Ｃの皿に何個か移して，残りが１６個ですね。１６個は２／３にあたるので，１６÷２／３＝２４つまり，Ａの皿から４個もらって２４個になったのです。Ｂの皿には，もともと２４－４＝２０で２０個あったことが分かりました。そして，Ｃの皿に２４×１／３＝８８個移したのです。もう一度Ｃの皿にもどると，Ｂの皿から８個移ってきて２４個になったので，もともと２４－８＝１６１６個あったと分かりました。答え Ａの皿…１２個，Ｂの皿…２０個，Ｃの皿…１６個以上の考え方を『森の記録係』を使ってやる解法は，いずれ紹介したいと思います。
2003.09.19
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モニカとクララと魔法のつえ＜その１０＞
◎つるかめ算が直接入試に出てくることはあまりありません。他の文章問題と同様に，有名になり過ぎて，人気が落ちてしまいました。中堅私立では文章題でそこそこ出されていますが，難関校ではまったくといっていいほど登場しなくなりました。それでも，ときどき，さりげなく途中の式の展開で出てきたり，あるいは公式破りのつるかめ算がたまに出たりしますから，一度はやっておくべきです。やはり，みんなが知っていることは，はずしてはいけないのです。といって，公式で解ける場合ばかりではないので，公式にいたるまでの基本の考え方を大切に。と，前置きが長くなりましたが，つるかめ算をささっとやっておきましょう。［例題Ｐ］にわとりとかぶと虫の頭の数は全部で１５こです。また，足の数の合計は５８本です。にわとりとかぶと虫の数をそれぞれ求めなさい。Ｉ子「変な組み合わせね。」マック「マックの娘，カオリンが中学３年のときのこと…。美術の時間に，先生から鶏(にわとり)の絵を描くという課題が出されたんだそうだ。ところが，クラスのある女子が描いた絵をカオリンが見て，びっくり。なんと，その子の描いた鶏の絵には，足が４本あったんだ！」Ｉ子「まさか…。」マック「その子は本物の鶏を見たことがなかったんだろうね。見たことがあるのは，ケンタッキーのフライドチキンくらいだったのかな？」Ｉ子「それでも，鳥なんだから。」マック「飛べないから，足は４本と思いこんでいたらしい。カオリンが何か言わねば，と思うよりも前に，その子はカオリンの方を見てにこっと笑ったかと思うと，いきなり席を立ち，先生にさっさと絵を提出してしまったそうだ。」Ｉ子「先生，困ったでしょうね。」マック「その子も今しっかりと県立高校に通っている。」Ｉ子「マック先生，その人，ひょっとして今でも…。」マック「ありうるね…。」マック「ということで，にわとりの足が２本であることを，ケンタッキーしか知らない子たちに知っておいてほしいので，にわとりにしてるんだ。」Ｉ子「かぶと虫は？」マック「やはり，見たことのない子が多い。こん虫だから…。」Ｉ子「こん虫の足は６本。くもは８本。むかでは百足。」マック「さすが，というか安心したよ。最後のはよけいだけどね。」［解説］Ｉ子「きょうも，単位量の●を見つけるんでしょ？」マック「そのとおり！旅人算でも出てくるよ。つるかめ式旅人算？合計しか分からない。頭も足も合計のオンパレード。これがつるかめ算のパターンなんだ。だから，仮定法を使う。」Ｉ子「仮定法って？」マック「もし，ぜーんぶかぶと虫だったら，と仮(かり)に考えてみる，ここから出発する，ということなんだ。」Ｉ子「想像すると気持ち悪いけれど，ぜーんぶかぶと虫だったら，足の数は１５ひき×６本／ひき＝９０本」マック「でも，実際は５８本だから，差は９０本－５８本＝３２本。次にやることは，１つずつ実際に近づけていくこと。かぶと虫を１ぴきへらして，にわとりを１羽ふやすと，足の数はどうなる？」Ｉ子「４本へるわ。」マック「これを●と考えるんだ。」Ｉ子「■は３２本ね。」マック「それで，式ができるね。」Ｉ子「■÷●＝▲だから，…それに，この式からにわとりの数が出てくるから，３２本÷４本／羽＝８羽」マック「それで，かぶと虫は１５－８＝７ひき」Ｉ子「●や■が出てくるということは，面積図でもできるっていうこと。？」マック「ＹＥＳ。横に頭の数，たてに足の数をもってくればできるよ。」と，こんな感じて授業は続くのでした。◎次回は，６年生からの質問に答える緊急特集になります。
2003.09.18
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モニカとクララと魔法のつえ＜その９＞
◎単位量をみつけれてあげれば，視野はぐーんと広がります。一挙に山登りだったら，６合目くらいまで行ってしまいます。その実例を小出しに出していきます。(一気にでは，スペースが足りませぬ。)◎旅人算マック「旅人算のうちの追いつき算，学校でやったかな？」Ｉ子「来年の２月ごろから入るわ。」マック「単位量の考え方が分かっていれば，かんたんだよ。」(暗示，暗示…。)［例題Ｏ］ロビンはいつも妹のサラと，分速６０ｍで学校にいきます。でも，きょうはねぼうして，サラがいつものように出かけてから５分後に，分速８０ｍで追いかけました。ロビンは家を出発してから何分後にサラに追いつくでしょうか。［解説］(1) 妹のサラはどれだけ先に進んだでしょう → ６０ｍ／分×５分＝３００ｍ →→ ■(2) ３００ｍの差がありますね。この差をちぢめていくことを考えましょう。(3) 二人の差は１分でどれだけちぢまるでしょうか → ロビンは１分で８０ｍ進み，サラは１分で６０ｍ進むから，１分ごとに ８０ｍ－６０ｍ＝２０ｍ ずつちぢまります。 → ２０ｍ／分 →→ これを単位量として●(4) ３００ｍの中に２０ｍは１５こありますね。式で表すと３００ｍ÷２０ｍ／分＝１５分 答えは１５分です。 (5) 公式(追いかけはじめるときの２人の間のきょり)÷(２人の速さの差)＝(追いつくのにかかる時間) ■ ÷ ● ＝ ▲マック「単位の計算を確認しておくよ。分数のかけ算・わり算の分かる子向けにね。」 ｍ 分 ｍ÷── ＝ ｍ×──＝分 分 ｍＩ子「単位が分かると，便利なのねー。」マック「ダイヤグラムや面積図も，覚える苦労をしなくてもよくなるよ。」Ｉ子「マック先生。今度，５年生でも分かる分数のかけ算・わり算を特集してね。」マック「計算のこころを知ること。これが，数の世界に入る切符になるからね。」
2003.09.17
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モニカとクララと魔法のつえ＜その８＞
◎小学２年生以上のお子さんのいるご家庭向けです。マックの塾では，小学２年で出てくるかけ算のところから，単位量での理解をうながします。●×▲＝■を２通りに理解させています。ひとつは，２＋２＋２＝２×３＝６ と，▲を何倍と読むやり方で，教科書どおりです。しかし，この理解だけだと，連続量の世界に入っていくのが難しいのです。数の世界が広がるにつれ，離散量の世界(自然数の世界)から連続量の世界(小数や分数の世界)にだんだん入っていきます。ピポット，線型計画法をご存知の方はこのピポットでピンとくると思うのですが，ピポット＝軸足ですね，このピポットにあたるのが単位量なんです。ジャングルのような数の世界も，ピポット＝単位量で考えれば，整然としてきます。とっかかりが見えてきます。小数や分数の世界では，●を▲倍すると，●より小さくなることも当たり前になってきますね。こどもたちは，ここでつまづきます。離散量の考え方の▲倍では考えづらいのです。そこで，連続量の考え方，つまり，●は１という単位量の考え方を教えておいてあげないと，おこさんはあとで苦労することになります。小数や分数のわり算のしくみが本当に理解できるかどうかは，ここにかかっています。◎単位量の話を先に進めます。マック「魔女のモニカ●が分かれば，文章題はこわくない。単位量のついた●をさがしてみよう。そうだね…あめ３０こを５人で分けました。●を単位をつけて言うと…。」Ｉ子「■÷▲から ３０÷５＝６。単位をつけて計算すると， ３０こ÷５人＝６こ／人。」マック「６時間で３０ｋｍ進みました。●は？」Ｉ子「３０ｋｍ÷６時間＝５ｋｍ／時間。」マック「５ｋｍ／時 でいいよ。これからは時間の間を省略するからね。それでは，今出した２つの●を日本語になおしてみて。」 Ｉ子「はじめのは，『１人当たり６こ』で，次のは『１時間当たり５ｋｍ』です。」マック「それでは，人口密度の単位は？」Ｉ子「１ｋｍ＾２(平方キロメートル)当たりにいる人間の数だから，『人／ｋｍ＾２』が答えです。」マック「そうだね。」Ｉ子「マック先生，●は平均のことともとれるんでしょう？」マック「そうだよ。あるクラスの算数のテストの平均点６８点ということは，『１人当たり６８点取った』ということだね。」Ｉ子「クラスの人数が３５人なら，総得点は ６８点／人×３５人＝２３８０点 ね。」マック「分数の分かる子なら，単位も 点 ──×人＝点 人で，ちゃんと式がなりたっていることが，確かめられるよ。」Ｉ子「単位どうしをいろいろくっつけて，モニカ●の単位ができるのね。」マック「●の単位をいろいろ，つくってみよう。」☆☆ 練習 ☆☆ノート１冊の値段は１２０円 → １２０円／冊一袋に栗(くり)の実が１０こ → １０こ／袋遊園地の入場料金はこども一人２０００円 → ２０００円／人 １日は２４時間 → ２４時間／日 １時間は６０分 → ６０分／時 １直角は９０° → ９０°／直角 ポンプて水を入れたら，１分で３ｃｍずつ水面が上がった → ３ｃｍ／分Ａ管から１分ごとに２リットルの水が出た → ２リットル／分時計の分をきざむ長い針は，１時間で３６０°進む → ３６０°／時時計の分をきざむ長い針は，１分で６°進む → ６°／分時計の時間をきざむ短い針は，１時間で３０°進む → ３０°／時☆☆ ☆☆ ☆☆ ☆☆ ☆☆マック「こういう練習は，めんどうかもしれないけれど，大切なんだ。マックがみていて，１当たり単位量をうまくあつかえる子は，算数・数学がぐんぐん伸びる。表が●，裏が１の札は，算数・数学のエッセンスといってもいい。中学生になっても，高校生になっても大学生になっても，ね。」Ｉ子「そうね，●×▲を『●の▲倍』としか読めないと，小数や分数のところで理解できなくなるって，マック先生が計算のところで言ってたわね。」マック「この日記ではまだ出てこないけれど，計算編で数のしくみ，計算のしくみを考えてもらうところがある。そこで，説明するからね。」Ｉ子「６年生向きだけれど，仕事算やニュートン算のときの仕事の単位は…。」マック「秘密の単位があるんだ。表が●，裏が１の札と秘密の単位を使うと，分数の問題も比の問題も，こどもたちがよく分かるしかけになっているんだ。」Ｉ子「私はマック先生の塾の子なので，比は分かっちゃっているけれどね…。」
2003.09.16
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６年生向け 『比例と反比例』ダイジェスト版
◎ クルミの解法から，比例と反比例の考え方だけ書いておきます。 そして，いよいよ娘のサーヤが登場します。(本人の意思とは関係なく…。)サーヤがクルミの名付け親なのです。気が向くと，いろいろなネーミングを考えてくれます。＜比例＞マック「学校ではまだやっていないところだけれど，Ｈ子さんからリクエストが来ているので，比例と反比例をまとめてみたいと思うんだ。協力してね。」サーヤ「いいわよ。Ｈ子さんの宿題プリント，見せて。割合と比を使えば解けそうな問題ね。」 マック「比例や反比例を知らなくても，クルミや比が分かっていれば問題は解けちゃうよ。だから，わざわざ比例・反比例を勉強するのは，中学校の数学に入る準備のため，というとらえかたもできるんだ。」サーヤ「数学っぽいってわけ？」マック「そうなんだ。関数のところで勉強する１対１対応や，連続した量…これは身長や体重のように整数以外の数をくまなく並べたものなんだけれど…こういった抽象的な世界を組み立てていく数学の世界の典型(てんけい)だね。」サーヤ「ポイントを先に教えておいて。」マック「そうだね。できるだけ短くまとめとこう。」☆できるだけ短いまとめ☆●×▲＝■ からスタートですよ。この形にならないものは，比例でも反比例でもありませんぞ。＜比例＞(1) ●×▲＝■をノートに書きます。(2) ●を指先で隠(かく)します。▲と■が見えてますね。この２つが比例関係にあるのです。(3) 隠(かく)した●を『決まった数』といいます。 ※札の表■と裏▲が，比例の関係ですね。＜反比例＞(1) ●×▲＝■をノートに書きます。(2) ■を指先で隠(かく)します。●と▲が見えてますね。この２つが反比例の関係にあるのです。(3) 隠（かく)した■を『決まった数』といいます。☆できるだけ短いまとめでした☆サーヤ「現実には比例って目には見えないわよね。」 マック「感覚で受け止めると，一方が増えれば，もうひとつも増えるっていうのは比例って感じだね。これを数学的に抽象化すると厳密（げんみつ）な意味での比例関係が誕生する。」サーヤ「お金をたくさん出せば，買えるケーキの量も増えるのが，比例関係。」マック「定価が「『決まった数』数だね。その数を中心において，２つの量が変わっていく。その関係が比例関係だね。１個のケーキを分けるとき，人数が多いとサーやの食べられる量がへってしまうのが，反比例の関係。」サーヤ「魔女のモニカの記号でまとめていきましょ。」 マック「変わる２つの量が▲と■で，が「『●決まった数』のときが，比例関係だね。」サーヤ「●が２のときは，▲を１とすると■は２。▲を１０とすると■は２０。●は，いつも▲を２倍して■をつくりなさい，という命令文になっているのね。」マック「量の関係を横でみてみると，サーヤの例なら，▲は１→１０で１０倍になってる。■をみてみると，２→２０でやっぱり１０倍になっている。これを比例関係という。」サーヤ「●×▲＝■からスタートしましょ，マック先生！」マック「●が２なら，２×▲＝■」サーヤ「▲＝０なら■＝０，ね。」マック「比例関係のとくちょうが，いろいろあらわれてきたね。」サーヤ「グラフをかくと，原点からまっすぐ右上にのびていくのが比例のグラフ。」 マック「どこかで見たことがあるグラフ。」サーヤ「ダイヤグラムでしょ。」マック「ダイヤグラムのはじめの部分，原点から出ている直線が，比例関係だね。それでは，まとめておこう。」☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆＜比例＞ ●×▲＝■の形になっていれば，比例の関係 決まった数(中学生以上＝比例定数のこと)が魔女のモニカ●で 魔法のつえ▲に●かけて，クララ■になります。 グラフの横軸，つえ▲があり， 縦軸上ではクララ■が遊んでる。 グラフの形は直線で， 原点から右上にあがっていくよ。 決まっている数●の出し方は ■÷▲＝●です。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「中学校では，ｘとｙで説明するんでしょ。」マック「そうだよ。▲→ｘ，■→ｙとして，ｘとｙは自由に動かしていいから，変数と呼ぶ。サーヤ「●は，ａとおいて…これは決まった数だから定数っていうのよね。」マック「それで，２つの変数の関係が，ｘをａ倍したらｙになるタイプの式が比例関係。中学校以上では，かけ算の記号は省略するのが流儀だったね。」サーヤ「ｙ＝ａｘ って書くんでしょ。わたしはノートにはそう書いてるわ。いつまでもお子様扱いしないで，といいたいわ。だって，私立の子たちも，中学校の公式バリバリ使ってるのよ。私立受験組も高校生になったら勉強する組み合わせの公式，知ってるわよ。」マック「学校でも，分かる子には，どんどん先を教えてあげられればいいのにね。」＜反比例＞マック「後半の反比例に入るよ。魔女の記号でいうと，『決まった数』は？」サーヤ「クララ■ね。」マック「●と▲が変われる２つの量。」サーヤ「●が２倍になると，▲は半分になるから，反比例っていうのよね。」マック「■を１２にして考えてみよう。●×▲で，とりあえず整数になる組を言ってみて。」サーヤ「１×１２，２×６，３×４，４×３，６×２，１２×１，フッー。｣マック「６個あるね。これをグラフにかいてから，つなげると？」サーヤ「原点に向かってゆるやかなカーブをえがいて近づいて，また離れていくわ。」マック「原点から離れていくとき，軸に近づいていくね。この形が反比例の関係。●×▲＝『決まった数』文章題でたくさん出てくるね。比で出てきた逆比も，このグラフでイメージしてね。それではまとめておこう。」☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆＜反比例＞ 決まった数は■だよ。 だから，●×▲の値はいつも同じ。 グラフをかくなら，●と▲，縦横どちらに入れてもかまわない。 グラフの形は 原点に向かって凸の曲線。 縦軸・横軸に近づくけれど，交わらない。 決まった数■の出し方は ●×▲＝■ですね。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「反比例を中学生用の言い方に変えると ｘｙ＝ａ でしょ。」マック「そうだね。だから，この形で覚えられ子は，これで覚えておくといいね。」サーヤ「ひとつのケーキをみんなで分ける関係って覚えとこーっと。１人で分けたら，全部わたしが食べられる…。そういえば，ケーキが冷蔵庫にひとつあったわ。」マック「マックにも分けい。」
2003.09.15
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モニカとクララと魔法のつえ＜その７＞
◎日曜特訓を開始して，またまた，あわただしい雰囲気になってきました。ほっとして研究に専念できるのは，受験が終わるまでは，平日の午前中のみという状態です。きょうも，これから，日曜特訓・午後の部の開始です。その間隙を縫って，日記を書き込んでおきます。◎Ｉ子「きょうは単位量の話ね。森のなかまに『』不思議な単位さん』がいたでしょ。あの単位はマック先生がつくったの？」マック「単位はだれでもつくれるんだ。単位はつくれる！ここが分かれば，物理でも化学でも楽勝？とまでは言わないけれど，スムーズに入っていけるよ。Ｉ子さん，▲に単位のついた問題をつくってみて。」Ｉ子「いいわよ。えーと，１本の長さが１．５ｍのリボンを４本，つなげずにまっすぐならべたら何ｍになりますか。」マック「つなぐところは０ｍ。これをたとえば，結び目を２５ｃｍとると，などとすると植木算になるね。」Ｉ子「そのままの場合は，答えは●×▲＝■から，６ｍ。」マック「そうだね。それでは，▲のところについている単位は？」Ｉ子「本数の本。」マック「●についている単位は？」Ｉ子「１本で１．５ｍだから，ｍ／本でしょ。」マック「●についている単位は，二階建てだね。／はパー(『当たり』という意味の英語)と言ってもいいし，毎(まい)と読んでもいいのだったね。」Ｉ子「１．５ｍ／１本だけれど，１は当然ついている数なので，省略して１．５ｍ／本と表すのよね。｣マック「斜めの線／の意味は覚えているかな？」Ｉ子「単位をつけて計算すればでてきたんだっけ…。６ｍ÷４本＝１．５ｍ／本だから，／は『割る』ということを表しているわ。｣マック「よくできました。Ｉ子さんはよく理解しているけれど，このことがあいまいな中学生・高校生もいるんだ。」Ｉ子「それじゃ，そういう人たちにも，この日記を読んでもらえるとうれしいな。」マック「そうだね。Ｉ子さんで実験してみるよ。ｇ／ｃｍ＾３はどういうことを表していますか。」Ｉ子「１ｃｍ＾３当たりの重さでしょ。」マック「これは『』密度』といって，物理で勉強するんだ。正確には密度＝質量／体積。この，密度がビンと来ない子たちがいるんだ。」Ｉ子「質量って？」マック「重力の影響を受けない不変の量，と言っても分かりにくいね。地球の上でも，月の上でもＩ子さんの質量は同じなんだよ。」Ｉ子「月の上だと，体重が軽くなるって聞いたことあるわ。ダイエットしなくても軽くなるのよね。」マック「軽くなるというのは『重量』のこと。教科書では『重さ』と表されているけれど，Ｉ子さんの体重は『重さ』＝重力の大きさ，のことなんだ。」Ｉ子「地球の上の方が，重力が大きいのね。でも，私の体重は重力なんだ。」マック「質量に重力がはたらいて，重量になっているんだ。重力が５倍になれば，質量は不変だから，重量は５倍になる。」Ｉ子「物理では，どこで測っても変わらない質量を使うのね。マック先生，おそろしいことに気がついたんだけれど，ｇが質量の単位だとすると，食塩水の重さとか体重とか，なにげなく使っていた単位は質量のことだったの？」マック「まあ，地球上では質量と重量を区別しなくても生活に影響がないので，重さといえばｇやｋｇを使っているんだ。お米の袋にもｋｇってしっかりと印刷されているよね。こういうあいまいなところは，数学の世界でもいっぱい出てくるよ。」Ｉ子「何か，知ってはいけない世界のことを知ってしまったような…。」マック「厳密に学問をするというと，やはり大学に入ってからかなー？中学入試や高校入試，大学入試までは，与えられた情報だけで勝負する世界なんだ。ルールを同じにして試験しないと，採点できないしね。」
2003.09.14
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モニカとクララと魔法のつえ＜その６＞
◎きょうは，森のバードをとちゅうで紹介します。◎●×▲＝■からスタートだよ。マック「きょう，やるのは■÷▲＝●の形だ。」Ｉ子「面積図は終わっちゃたの？」マック「終わったわけじゃなくて，もう少し全体の話をしておかないと。」Ｉ子「■÷▲＝●で何か問題つくって，マック先生。」マック「そうきたか。それじゃ，問題にはいっていこう。」［例題Ｌ］ロビンのお父さんが川でつりをしてきました。魚が１８びきつれました。これは昨日つった数の１．２倍にあたります。昨日は何びきつれましたか。［解説］元にする量●をみつける問題です。札を思い出してください。クララ■の裏に書いてある割合の数は▲倍でしたね。■が▲にあたります。■÷▲で魔女のモニカ●が現れます。１８÷１．２＝１５ 答え １５ひきマック「いいかい。■が▲にあたる，と出てきたら，すかさず割ること。●が出てくる。」Ｉ子「魔女を呼び出すおまじないね。」［例題Ｍ］ＡがＢの０．２５倍で，Ａが１６のとき，Ｂは( )です。Ｉ子「解説はいらないわ。１６が０．２５倍にあたるから，１６÷０．２５＝６４ 答えは，６４です。」マック「慣れてきたね。次の問題はどうかな？」［例題Ｎ］濃度が１５％の食塩水の中に，食塩が２７ｇ入っています。食塩水の重さを求めなさい。［解説］元にする量●は食塩水の重さです。２７ｇが０．１５にあたります。■が２７ｇ，▲は０．１５なので，２７÷０．１５＝１８０ Ｉ子「魔女の出てくるおまじない…。■は▲にあ・た・る！」マック「今の問題で，水の重さの割合はいくつ？」Ｉ子「食塩水が１倍で，食塩が０．１５倍だから…１－０．１５で０．８５倍。」マック「この関係を絵にすると，バードの形になるね。」Ｉ子「森のバードね。いつもＵＦＯみたいに見えるれれど。」◎森のバードの作り方(1)真ん中に円をかきます。(2)左右に楕円をつけます。(つばさのように)(3)真ん中の円は食塩水の重さで１，(4)左のつばさは水の重さで０．８５，(5)右のつばさは食塩の重さで０．１５マック「線分図でもいいけれど，この方が楽しい。」Ｉ子「バードの使い道は，仕入れ値，定価，売り値のところで教わったわ。」マック「よく覚えていたね。」Ｉ子「ＵＦＯは１度みたら忘れられないわ。｣マック「バードです！つばさとつばさを足して割合の１になる，そういう問題に使うと見やすいし，まちがえない。」Ｉ子「でも，仕入れ値と定価，利益のバードだけは左のつばさが仕入れ値で１左のつばさが見こめる利益，真ん中が定価ですよね。」マック「これだけは，そうしてね。」Ｉ子「バードを使うと，楽に解けるのが，仕入れ値，定価，売り値の問題ね。」◎マック「▲が割合の場合の話は，これで大体終わったね。」Ｉ子「次回はいよいよ，単位量？」マック「先に言われてしまった。」Ｉ子「そんな，がっかりしないで。」マック「気を取り直して，次回から，」Ｉ子「単位量。」マック「…。」
2003.09.13
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モニカとクララと魔法のつえ＜その５＞
◎教材づくりが終わり，やっと日記を書く時間になった。１日が経つのが速すぎる。きょうは，面積図の話でした。さわりだけ，いきます。◎マック「きょうは，食塩水の問題を面積図で解いてみよう。」Ｉ子「魔女のモニカ●は食塩水の重さ。魔法のつえ▲は濃さ。●と▲をかけて，出てくるクララ■が食塩の重さ。だから…」マック「だから，●を横の長さ，▲をたての長さと考えてあげれば，■が面積だね。」Ｉ子「それが面積図…。なんか，ごまかされたみたいな…。」マック「数を面積に結び付けて考えるという方法は，とても分かりやすい方法なんだ。イメージしやすいからね。それに，もともと算数・数学は実用的な学問だったからね。それを抽象化したのが，近代数学で…。」Ｉ子「先が長くなりそうだから，元にもどりましょ。」マック「面積ついでに，古代エジプトの数学の話もしようかと…。エジプトひもの話はいずれしようね。図形で出てくるからね。約数にも関係してくるかな…。」Ｉ子「先生！」マック「オホン。ところで，●をたてに，▲を横にもってくるのが平均算，分配算，つるかめ算，過不足算，もうじき出てくるニュートン算などなど。逆にいうと，食塩の面積図が特殊なんだね。」Ｉ子「早くふつうの面積図も教えて。」マック「単位量をおさらいしてから説明するよ。といっても，１回教えればすぐできるようになる。それよりも，旅人算のことなんだけれど…。」Ｉ子「マック先生はダイヤグラムを使えっていってたわよね。イメージするにはダイヤグラムが一番いいって。クルミからダイヤグラムにいくんでしょ。」マック「そうなんだ。つるかめ算で解く旅人算，和差算で解く旅人算など，変形のものは面積図も少し使うこともあるけれどね。」◎実は，マックの塾では面積図で解きたい子とクルミで解きたい子がいます。マックはこどもたちの反応をみて，その子が好むやり方を教えます。強制はしません。しかし，ひとつ注意が必要です。慣れるまでは，ひとつのやり方で通してみるということです。いろいろな解法を試すというマックの主張と矛盾すると思われるかもしれません。要はその子のキャパの問題になります。マックは，一人ひとりをいつも観察しているので，この子ならいくつも教えても大丈夫，この子は面積図で通したほうがいいな，などとみきわめてから，教えています。それでも，慣れるまではひとつ，ですよ。
2003.09.12
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モニカとクララと魔法のつえ＜その４＞
◎「食塩水」は「速さの計算」とともに割合の問題として，人気をニ分しています。解き方は線分図，面積図，天びん算などいろいろありますが，マックの塾ではクルミの解法を主に使っています。マックの日記では，塾のこどもたちの手前，クルミの解き方を公開できませんのです。しかし，それにいたる考え方は，ここに書いていきたいと思います。基礎こそが大切だからです。応用問題が多少できても，基礎ができていないとさらにその上の問題が解けなくなりますから。◎食塩水の問題にもどります。きょうから，Ｓ学園５年生の自立学習派のＩ子さんに登場してもらいます。 自立学習派と書いたのは，Ｉ子さんは５年になってから，宿題は一人でやると決めて，実行しているからなんです。(もちろん，マックの塾では分からない問題はいっしょに解いてますよ。)学校の宿題を終えるのが午前になってしまうこともありますが，自分でやったという満足感があるってＩ子さんは言います。ご両親もはじめの頃は，夜遅くまでかかっているで，手伝ってやりたいとはらはらしながら見ていたそうですが，今ではまったく気にならなくなったとのことです。時には遠くからわが子をみてあげる，ということも，こどもの自立のためには必要なんでしょう。(マックの家もそうでした。高校生の娘カオリンは小５のときから自立しました。学校の宿題でどうしても分からないところだけは手伝いますが，あとは自分でどうぞ，というスタンスです。下の娘，サーヤも最近，やっと自立しました。)Ｉ子「何で食塩なんですか。」マック「食塩でなくても，水にとける物なら何でもいいのです。砂糖水がときどき出てくるよ。」Ｉ子「ホウ酸のとけ方の実験したことがあるわ。」マック「ホウ酸や食塩の溶け方は理科で出てくるよね。水温の影響をあまり受けない食塩の方が算数向きなんだろうね。それと，水の体積１ｃｍ＾３(立方センチメートル)は１ｇとして計算するんだよ。あまり意識していないと思うけれど。」Ｉ子「１ｃｍ＾３は，たてもよこも高さも１ｃｍのさいころのことよね。」マック「水はやはり，水温で微妙に体積が異なるけれど，１７９９年にフランスで，１０００ｃｍ＾３＝１ｋｇと決められたんだ。日常生活では誤差がほとんど気にならないから，１ｃｍ＾３＝１ｇでいいんだよ。」Ｉ子「濃さが出てきますね。濃さを出すには，食塩の重さを食塩水の重さで割って，１００をかければいいんでしょ。」マック「そうだよ。ひとことでいえば，食塩水の重さを割合の１として，食塩の重さの百分率を求めればいいんだね。」Ｉ子「食塩を水に溶かすと，とうめいでしょ。だから，はじめて実験したときは，重さもなくなってしまうかと思ったわ。」マック「でも，なめてみると海水みたいにしょっぱい。食塩はどこかに消えてしまったのではなく，水の中に溶けていたんだね。マック「それでは，食塩２０ｇを水１２０ｇにとかしたら合計で何ｇになるかな。」Ｉ子「はい，１４０ｇの食塩水ができます」。マック「これを『質量保存の原則』っていうんだ。とかす前と後とをくらべて，重さの合計は変わっていないよね。」マック「確かめておこうね。●×▲＝■のどれが食塩水の重さかな。」Ｉ子「魔女の記号の●が食塩水の重さで，■が食塩の重さね。」マック「そうだ。そして，いつも●×▲＝■だ。」Ｉ子「ということは…わかった。▲が濃さなのね。」◎食塩水の作り方食塩１０ｇを水９０ｇにとかすと，１００ｇの食塩水ができます。食塩２０ｇを水１８０ｇにとかすと，２００ｇの食塩水ができます。◎食塩水の濃さ食塩１０ｇを水９０ｇにとかすと，食塩水の濃度は( )％になります。食塩の重さは食塩水全体の何％になっているのでしょう。１０÷１００＝０．１ →→ １０％ですね。◎割合でもう一度食塩１０ｇと水９０ｇで食塩水は１００ｇ割合でみると，食塩は０．１倍水 ０．９倍食塩水 １倍０．１＋０．９＝１ でなりたっていますね。◎例題を解いてみましょう。［例題Ｊ］食塩２０ｇを水１８０ｇにとかすと，食塩水の濃度は( )％になります。［解説］食塩水の重さが●，それを▲倍したものが，食塩の重さ■です。■÷●＝▲２０÷２００＝０．１ 答え １０ (％)［例題Ｋ］食塩２０ｇを水３８０ｇにとかすと，食塩水の濃度は( )％になります。［解説］食塩水の重さが●，それを▲倍したものが，食塩の重さ■です。■÷●＝▲２０÷４００＝０．０５ 答え ５ (％)次回は，食塩の問題を面積図で解くには…というテーマで，面積図の考え方を書いてみたいと思います。
2003.09.11
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モニカとクララと魔法のつえ＜その３＞
５年向け割合計算に入る前に，６年向けにちょこっと書いておきます。☆６年生向けダイジェスト版☆マック 「５年生シリーズで日記を書いているけれど，公立小の６年生は分数のかけ算・割り算や比に入るところが多いと思う。Ｔ夫くんところは，どう？」Ｔ夫 「分数のかけ算・割り算に入ってます。」マック 「Ｙ子さんのところは？」Ｙ子 「立体図形で立方体や直方体！」マック 「いいかい。みんな●×▲＝■がスタートだからね。ここを押さえておけば，あとは千本ノックをやるから大丈夫。容積の場合は，どう？Ｙ子さん，答えて。」Ｙ子 「容積の場合は，底面積×深さが容積だから，●が底面積で，▲が深さで，■が容積。」マック「覚えていたね。よかった。」Ｔ夫 「マック先生とクルミのやり方でやっているうちに，気がついたら６年の範囲が終わっていたんだよね。だから，授業中，暇で…。」Ｙ子 「わたしは，まじめに聞いているわよ。学校の先生もいろいろなプリントを用意してくれるし…。」マック「学校の授業をただ聞いているだけでは，チョーつまんないね。よゆうがあれば，授業を聞いている間に，別のやり方で解けないか，考えてみること。いろいろな発見ができるよ。いいかい。時間は大切にね。学校の授業も大切に。先生にどんどん質問してもいいと思うよ。」Ｔ夫 「分かりました。でも，マック先生，チョーは古いから止めてー！」マック「つい，口ぐせになってしまった。それでは，Ｔ夫くん。分数のかけ算・割り算では約分が出てくるよね。ちょっと前にもどって，約数と倍数を復習しておこう。●×▲＝■を約数・倍数で読んでみて。」Ｔ夫 「●と▲は■の約数で，■は▲の倍数。■は●の倍数。」マック「■が２４のときは…。Ｙ子さんに答えてもらおう。」Ｙ子 「１×２４＝２４，２×１２＝２４，３×８＝２４，４×６＝２４ 」 マック「次も，Ｙ子さん。割り切れる，という言葉を入れて●×▲＝■を読んでみて。」Ｙ子 「■＝●×▲と変形して，■は●でも▲でも割り切れる。」マック「グッドだよ。次はＴ夫くん，わり算と比と分数の関係をいってみて。」Ｔ夫 「来ると思った。えーと， ｂ÷ａ→ｂ：ａ→ｂ／ａ だったね。」マック「ふたたびグッド。よく勉強してるね。みんなすごいや。」こんな感じで講義はつづきます。ところで，Ｓ学園のＹ子ちゃん，最近，口から「したがって」とか「ゆえに」という言葉が勝手に出てきてしまうそうです。だれの影響なんでしょうか。☆ここから，５年向けです。☆前回の復習からいってみよー。 ●×▲＝■(魔女のモニカ●を魔法のつえで▲倍すると，クララ■になります。)いつもこの式からスタートします。［例題Ｃ］「ある中学校を去年受験した人は１５００人でした。今年受験する人は，去年よりも２０％ふえて( )人です。」●の▲倍をみつける手順(1) ▲をつくろう。→→→２０％ふえたから →→１＋０．２＝１．２倍(2) ●は，●×▲で，ふつう▲のすぐ前にある。→→→去年かな？(3) ●×▲で確かめよう。→→→去年の１．２倍→→ぴたっときたね！(4) 計算しよう。→→→１５００×１．２＝１８００人(5) 最後に大きさを確かめよう。→→→今年の方が多い。→→決まったね！(1)の割合計算の注割合も数なので，割合どうしを足したり，引いたり，かけたり，割ったりすることができます。［例題Ｄ］「利益を仕入れ値の３割みこんで定価をつけました。定価の割合は( )です。」(1) 仕入れ値が●なので１です。(2) その３割ましは １＋０．３＝１．３ (3) 定価■の割合▲は１．３倍です。◎クララ■は魔女●の▲倍 クララを魔女で割ると，▲が出てきます。 式で表すと ■÷●＝▲［例題Ｅ］Ａが２５，Ｂが７５のとき，ＢはＡの何倍ですか。［解説］「Ａの何倍」が●×▲ですね。 Ａがもとになる量●なので，Ｂは比べられる量■です。 ■÷●＝▲です。 ７５÷２５＝３ 答え ３倍［例題Ｆ］ロビンはおはじきを２５個持っています。アンナは１００個持っています。アンナはおはじきをロビンの何倍持っていますか。［解説］「ロビンの何倍」から ●がロビンの分，■がアンナの分です。 ■÷●＝▲ １００÷２５＝４ 答え ４倍［例題Ｇ］ロビンはおはじきを２５個持っています。アンナは１００個持っています。ロビンはおはじきをアンナの何倍持っていますか。［解説］「アンナの何倍」から ●がアンナの分，■がロビンの分です。 ■÷●＝▲ ２５÷１００＝０．２５ 答え ０．２５倍［例題Ｈ］仕入れ値１５００円の( )割の利益をみこんで，１８００円の定価をつけました。［解説］「仕入れ値の( )割の利益」から●が仕入れ値で，■が定価です。 ■÷●＝▲ １８００÷１５００＝１．２ １．２－１＝０．２ 答え ２(割)［例題Ｉ］ロビンの身長は１５０ｃｍで，お父さんの身長は１８０ｃｍです。お父さんの身長はロビンの身長の何倍ですか。［解説］「ロビンの何倍」から，●がロビン，■がお父さんです。 ■÷●＝▲ １８０÷１５０＝１．２ 答え １．２倍◎お疲れ様でした。次回は，食塩水の作り方講座に入ります。
2003.09.10
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モニカとクララと魔法のつえ＜その２＞
５年生の子が割合を学んでいて，つまづくところは●と■の区別と，▲のつくり方です。今日も，●×▲＝■からスタートします。●の▲倍は■ですね。【例題Ａ】ロビンは森の中に住んでいるマックをたずねることにしました。ロビンの家から森の入口までの道のりは，２ｋｍです。また，ロビンの家からマックの家までは，ロビンの家から森の入口までの道のりの１．２５倍あります。ロビンの家からマックの家までの道のりは何ｍですか。【解説】「●の▲倍」で，●は▲のすぐ前にあることが多いと覚えておきましょう。▲のすぐ前の「の」にヒントがあります。この「の」は「かける」とう意味で使われることが多いのです。さあ，見つかりましたか。●×▲は「ロビンの家から森の入口までの道のりの１．２５倍」●はロビンの家から森の入口までの道のりの２０００ｍ(単位はあらかじめ統一しておきましょう。)▲は１．２５倍■を求めればいいのですね。２０００×１．２５＝２５００答え ２５００ｍこれで安心しているきみ！「どちらが大きい？」をテストしておこう。◎たしかめ→→■は●の１．２５倍でたしかに●より大きい。→→テストに合格。【例題Ｂ】ロビンは森の中に住んでいるマックをたずねることにしました。ロビンの家から森の入口までの道のりは，２ｋｍです。また，森の入口からマックの家までは，ロビンの家から森の入口までの道のりの０．２５倍あります。ロビンの家からマックの家までの道のりは何ｍですか。【解き方１】【例題Ａ】と【例題Ｂ】の違いが分かりますか。 ■と▲が違いますね。 ▲は０．２５倍です。 ●はロビンの家から森の入口までの道のりの２０００ｍ ■は森の入口からマックの家までの道のり■ｍ ■＝２０００×０．２５＝５００ ロビンの家からマックの家までの道のりは ２０００＋５００＝２５００ で２５００ｍです。【解き方２】 割合の「倍」で考えてみましょう。 ●はロビンの家から森の入口までの道のりで１倍 森の入口からマックの家までの道のりは●の０．２５倍 したがって，ロビンの家からマックの家までは，１倍＋０．２５倍＝１．２５倍 ▲を１．２５倍としておけば，ロビンの家からマックの家 までの道のりが■でいっぺんに求められます。 解き方２がマスターできれば，仕入れ値→定価→売り値の問題にとりかかれます。 また，この●×▲＝■の▲倍を％にすれば，食塩水の濃度の問題にとりかかれます。その前に●×▲＝■からみちびかれる■÷●＝▲■÷▲＝●について，次回に触れることにします。
2003.09.09
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雑感，塾の風景
◎今日から通常の講義に戻り，平和な１日になりました。私立中学受験組のＴくんとは，しばしば数学談義になる。今日も，千本ノックという，難度中レベルの文章題をどんどん解かせる問題を終え，(これをやると格段に力がつくので，受験組の必須授業です。)しばし，雑談。Ｔくんは医師のお父様に，クルミの解法についてときどき話しているそうです。お父様も興味があるようで，マックが出した宿題をいっしょに解くことがあるそうです。しかし，クルミを使うＴくんのスピードに追いつけないので，Ｔくんが解き方を教えたり…。得意になって教えてくれました。Ｔくんのお父様はマックの高校の後輩で，ときどき会っていますが，大変な勉強好きで好奇心も強く，Ｔくんの性格はお父様に似ています。クルミの中に行列に似た記号がでてきます。これを『森のバスケット』と呼んでいますが，Ｔくんはこの記号が気になって，マックに質問してきました。「ねえ，先生，バスケットは先生が考えたの？」「これは行列という式を表す記号からもってきたんだ。」「行列って何なの？」「データを集めてひとかたまりにしたもの。たとえば，Ｔくんの背の高さ，体重，視力，血圧をこの順番に書いてみると… (Ｔくんの背の高さ，体重，視力，血圧)これは，１行４列タイプの行列というんだ。」「２行も３行もあるわけ？」「データがあれば，いくつでも。」「３次元を超えているよね。」「数学の便利なところは，何次元でも扱えるという点なんだ。」「そうなんだー。頭が混乱しそう。イメージできないよ。」「３次元は４次元のかげという考え方もあるよ。実際，トポロジーという数学の入門書では，これを利用して４次元の図形を想像するという説明が出てくるよ。」こんなふうに，こどもが興味をもったら，どんどん話して聞かせる…こういうことも大切な学習です。Ｓ学園のＨ子ちゃんは円周率がふしぎでしかたなかったようです。それで，円周率の歴史を物語風に話して聞かせたら，それからしばらくは，円の問題に果敢に挑戦し，とうとう中学レベルの円周角までいってしまいました。そういえば，Ｓ学園の女の子のお父様もクルミの解き方を娘さんから聞いて，算数に興味が出てきたようです。お父様が塾にこられて，算数談義をしたこともあります。マックは，お父様たちの興味にこたえるため，クルミのニュースレターを発行することにしました。その模様など，また，日記に書いていこうと思います。
2003.09.08
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短期集中講座が終わった
嵐のような１週間が終わった。ふーっ。Ｓ学園は明日からテストが始まる。その対策用に，これから資料作り。なかなか，ＨＰのリニューアルができません。☆ 昨日の ●×▲＝■ の説明の補足です。魔女のモニカの●は，もとになる量なので，いつも割合を１とし，１倍と読むことにします。▲は■の割合を表し，▲倍と読みます。したがって，クララの■は，●を▲倍したものです。例題です。「ロビンはアンナと森にやまももをつみに行きました。アンナは４５つぶをつみました。ロビンはアンナの３倍つみましたとさ。ロビンは何つぶのやまももをつんだのでしょうか。」●はアンナのつんだ６５つぶ▲は３倍■がロビンのつんだやまももの数●×▲＝■６５×３＝１９５ 答え １９５つぶ●×▲＝■タイプの問題です。(答えは一番下にあります。)６の３倍は( ① )です。３メートルの１２倍は( ② )メートルです。( ③ )グラムは１２グラムの２．５倍です。( ④ )デシリットルは１２リットルの０．１５倍にあたります。毎日５０円ちょ金すると，３０日で( ⑤ )円たまります。※割合を勉強したてのこどもたちは，何が●で，何が■かでおおいに迷います。国語の読解力といえばいえそうですが…。基礎を理解不足から，文章題がにがてということの方が多いと感じています。入門クラスは，割合と対にして解くようにしています。１倍は●，▲倍は■…。名刺大の札を２枚用意して，表にそれぞれ●と■をかきます。●の裏に「１倍」，■の裏に「▲倍」と違う色でかきます。この札を使って，問題練習をしてみてください。(きょうの説明，分かっていただけたでしょうか？)＜問題の答え＞①１８ ②３６ ③３０ ④１８ ⑤１５００
2003.09.07
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モニカとクララと魔法のつえ＜その１＞
小学５年生の女の子たち向けの，家庭でできる数の練習です。●×▲＝■算数の世界は，ここから出発します。●はもとになる量で「魔女のモニカ」■は比べられる量で「クララ」という女の子▲は「魔法のつえ」でモニカからクララへ，クララから魔女に変身ストーリーはそれらしく，森の中でこどもたちが，いろいろなツールに出会うという構成にしてください。この物語で，割合の世界を理解してもらいます。お子さん向けにイラストを描き，切り抜いて魔女の住む家をつくります。お子さんと一緒に■と●から▲を導き出したり，■と●×▲の位置を逆にしたりしているうちに，数の法則が分かってくるというしかけです。●はいつでも割合が１です。■の割合は▲です。このことに注意して，物語を親子でつくってみてください。発見があったら，マックにも教えてくださいね。(掲示板の書き込み，大歓迎です。)
2003.09.06
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今日もやったね!
きのうに引き続き，きょうも算数テストで上位に入ったとの報告がありました。私立は二学期から授業の内容がレベルアップします。彼女の通う私立も年々中学入試が難しくなってきており，神奈川でも女子の難関校になってきています。授業の厳しさは定評があり，宿題の量も半端ではありません。彼女は，一学期はついていくのがやっとという状態でした。それが，夏休みの集中授業でかなり自信をつけたようでした。仕上げテストでは，問題を解くスピードが夏休み前のほぼ３倍になっていて，教えている森のマックが驚きました。「学校の先生もすごくやさしくなったよ。」「どうして？」「できる子にはやさしいの。」「そうなんだ。」学校の中の緊張感が伝わってきます。塾では「ほめほめ作戦」を展開。とにかく，こどもは自信と安心感がとても大切です。「マック先生，わたしはクルミを知っているから分かるけれど，ほかの子たちは大変みたいよ。」「これからがクルミを知っててほんとによかったと思えるようになるよ。」「でも，先生。知らない子たちはかわいそう…。」こういやさしさを失わず，がんばってほしいと，マックは心密かに思ったのでした。
2003.09.05
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いい話で，疲れも吹きとんだ，の巻
集中講座も4日目終了。明日は中休みで，土日に試験対策編が待っている。やや，疲れたが，そんなことも言ってられません。うちの塾に半年前にやってきた女の子は，算数がクラスで下から３番目だった。その子が，今日の抜き打ちテストで上から３番目を取ったとの報告があった。先生も驚いていたと得意になって話している彼女は半年前とは別人のよう。どんなに疲れていても，こういう話を聞くと元気になります。クルミが私たちの塾の合言葉。クルミで解こうと声をかけてあげると，こどもたちは魔法にかかったように算数を解き始めます。これを半年繰り返せば，クラスで上位という実績が出て，今正直，私はほっとしています。今日は，これから高校生の娘と数学に取り組みます。みんな，がんばってます。
2003.09.04
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『かけ算』を読み解く(その1)
集中講座の３日目が終了しました。やや疲れが…。こどもたちのパワーについていくのは体力がいりますねー。分数計算で０．２５や０．１２５をどう分数に料理するか，見ていました。しかし，覚えているようで使えない子がいたので再度説明…。イメージを使うことにしました。まず，４×25＝１００ とノートにかきます。「４と25は兄弟だった。でも，ある日二人は別れ別れになり，４が出ていきました。」といいながら２５＝１００／４と式を変形します。「１００は２５と暮らすことになりましたとさ。」といって２５／１００＝１／４と式を変形します。これで ０．２５＝１／４ のできあがり。(ふつう，分数を知らないとこの変形はできません。しかし，分数を知らなくても，クルミを知っているこどもたちは，この変形がおてのものです。)４×25＝１００とかきました。このように，こどもたちの理解のために，いつも●×▲＝■ から入っていくスタイルをとると，こどもたちは自然に式の読み解きができるようになります。
2003.09.03
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文章題のことなど…雑感その１
短期集中講座の２日目が終わってほっと一息です。こどもたちが文章題でひっかかるところは，共通しています。わなを仕掛けておくと思いっきりはまります。そして，残念がります。「これは問題がいじわるすぎる。」とか，「こんなのにひっかかるようじゃ，まだ自分は修行が足りぬ。」と自己反省する子もいます。こどもたちには，「塾ではたくさんまちがえていいんだよ。」といってます。そして，問題のレベルを少しずつ上げ，チャレンジするよう動機付けます。逆に，「まちがえてはいけない。正確にやりなさい。」というと，萎縮して前に進めなくなります。人間の心理の機微なのでしょう。失敗を非難すると，こどもたちのやる気は大いに減退します。(大人もそうですね。)さて，文章題にはわながいっぱい仕掛けられています。まずは，ご存知のとおり，読解力・国語力です。文章題が苦手な子は，文章を流します。文章を意味のかたまりごとにスラッシュを入れる作業や，答えを要求している部分に下線を引くなどの手続きを省略しています。次は，線分図などのイメージをかいて考える習慣があるかどうかです。図をかかないで解くと，ほとんどの場合，わなにはまります。また，基礎力が問われます。たとえば，計算式の読み解き…計算式には，実にいろいろな情報が詰めこまれています。単なる計算式として素通りしてしまうのがもったいないと常々思っています。(計算式の読み解きは，思考訓練にとても効きます。この計算式の読み解きについては，いづれ日記で触れます。)その意味で，教科書は(つまらないけれど)大切です。あのぺらぺらの冊子に，よくもまあ，あれだけの情報とノウハウを詰め込んであることかと感心します。薄いだけに解説はとても不親切。消化不良をおこしそうな記述です。結果，こどもたちに敬遠され，ないがしろにされるのですが，ひととおり学習過程をマスターしたお子さんはもし，特定の分野が不安になったら，その分野だけでも教科書にもどると，とても参考になります。教科書の不親切な解説を読み直すだけで自分の弱点が見え，理解していなかった部分や足りなかった部分が補充されます。だから教科書は大切に！(中学校に入っても，割合や比，面積・体積・容積など小学５・６年の知識が必要です。約数・倍数など確認のために読み直すことも必要です。薄いので，読み返す時間はかかりません。それでいて，必要最低限の情報が入っています。)また，公式についてですが…こどもたちはすぐに公式を知りたがります。しかし，公式は解法のツールの一部に過ぎません。解法のパターン，囲碁や将棋でいえば定石を知っていても，実際の受験でそのまま使えることはまずありません。最近の入試問題は確かな基本力を要求してきます。その土台がしっかりしていれば，問題を解くことに楽しみを感じたりできます。さらには，公式をみちびく過程に，難問制覇の秘密が隠されているのです。解答にいたる道筋も何通りか，必ずあります。とっかかりは公式一辺倒でも，その時代を早く卒業し，別解を発見する楽しみを感じて欲しいと思いながら，これから明日の準備に入ります。
2003.09.02
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必勝！おだんご作戦
きょうは短期集中講座の初日。演習形式で進めていると，約１名がさっそく時間の換算でひっかかりました。こういうときこそ，わざの出番です。『必勝おだんご作戦』を開始しました。 ☆左から小さな円，中くらいの円，大きな円をノートに書 きましょう。 ☆左から円の上に「時間」「分」「秒」と書きましょね。 ☆左の方からとなりに移るときは６０倍，逆に移動すると きは６０でわる。 ☆とびこしは６０×６０で３６００倍，逆は３６００でわ りましょう。 ※わるときは６年生は分数を使うこと。◎日にちや時間の計算には１２進法や６０進法が登場し，それを理解することは，こどもたちにとって大きなハードルになっています。娘たちには，このハードルを越えさせるしかけとして，生活の中で時間をたずねるという地道なことをやってきた覚えがあります。「今，３時だね。あと２５分たったら，お使いに一緒に行こう。それまで，ペンキを塗っているから，時間がきたら呼びにきてね。」幼いころの娘たちは，お父さんといっしょなら，お菓子を買ってもらえるという期待で５分おきくらいに，時間を教えに来ます。「あれ，まだ３時１５分だよ。あと何分で行けるかな。」時計を見ながらいっしょうけんめい数えています。「分の針が５時のところまで行くから…あと，１０分ね。」一般論ですが，生活実感・体験の豊富なお子さんは，抽象的なことばを具体的なイメージに変換することが得意なので，教える側も楽です。成績も伸びます。親としては，できるだけこどもにいろいろな体験をさせてあげる工夫が必要なんでですね。ここを省いてしまうと，『１０歳の壁』を越えることが困難になり，小学４年生以降の学習に支障をきたす事態になります。子育ては手抜きをすると，あとで必ずその反動が来ます。こどもたちを教えていて，時おりそんなことを感じています。◎ところで，時間の換算でしたね。このおだんご(見るからにおだんご，という絵になります。)は他の単位の換算でもこどもたちには使いたければ使う，ということにしています。慣れてくると頭の中に絵が描けたり，もっと慣れると数だけで換算できるようになりますので。ただし，時速を分速に，分速を時速に，などの速さの換算だけはおだんごの大きさが左が一番大きくなりますので…。右はしから秒速を６０倍すると分速に，分速を６０倍すると時速になるので，大きさが逆になります。おだんごを実際に使うおこさんは，速さだけ大きさに注意してくださいね。
2003.09.01
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