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微分積分いい気分♪
主に数学ネタ中心でのブログ更新です。
2009.02.04
カテゴリ： カテゴリ未分類
V:n次元線型空間 W:m次元線型空間 E,E':Vの基底 F,F':Wの基底 Φ,Φ':E,E'が定める同型 ψ,ψ':F,F'が定める同型 f:V→W（線型写像） A:基底E,Fに関するfの表現行列 B:基底E',F'に関するfの表現行列 P:EからE'への変換行列 Q:FからF'への変換行列
とする。
この図式を圏論的に（正確には、写像と可換図式で）表すとどうなるだろうか？
結論は至ってシンプルで解りやすい。
写像fはユークリッド空間上ではA倍写像、B倍写像と、変換行列はPの逆行列倍、Qの逆行列倍と同一視できる。今、左上のn次元ユークリッド空間の元、すなわち、n個の実数の組をαと表す。このとき、反時計回りに図式をたどっていくと、まずP倍、続いてA倍、Qの逆行列倍され、右上の、αに対応するm次元ユークリッド空間の元はQ^-1APとなる。このように、可換図式によって表現行列と変換行列の関係や、どうして表現行列や変換行列を考える必要があるのかが、とてもよく理解できる。
一般に、適当な図式を描いたところで、もちろん可換にはならない。だが、表現行列や、変換行列は、可換になるように定義しているので、可換になるのである。そして可逆なので、さらにありがたい。
多様体上で、座標変換を考えるときなど、様々な同型によって空間と空間がつながっている場合、可換図式によって、空間同士がどのような同型対応になっているのかを整理することは、空間と空間を同一視する（同型を除いて、同じ構造が入っているとみなす）という作業に慣れるのに、とても役立つ方法であると思う。
とする。
この図式を圏論的に（正確には、写像と可換図式で）表すとどうなるだろうか？
結論は至ってシンプルで解りやすい。
写像fはユークリッド空間上ではA倍写像、B倍写像と、変換行列はPの逆行列倍、Qの逆行列倍と同一視できる。今、左上のn次元ユークリッド空間の元、すなわち、n個の実数の組をαと表す。このとき、反時計回りに図式をたどっていくと、まずP倍、続いてA倍、Qの逆行列倍され、右上の、αに対応するm次元ユークリッド空間の元はQ^-1APとなる。このように、可換図式によって表現行列と変換行列の関係や、どうして表現行列や変換行列を考える必要があるのかが、とてもよく理解できる。
一般に、適当な図式を描いたところで、もちろん可換にはならない。だが、表現行列や、変換行列は、可換になるように定義しているので、可換になるのである。そして可逆なので、さらにありがたい。
多様体上で、座標変換を考えるときなど、様々な同型によって空間と空間がつながっている場合、可換図式によって、空間同士がどのような同型対応になっているのかを整理することは、空間と空間を同一視する（同型を除いて、同じ構造が入っているとみなす）という作業に慣れるのに、とても役立つ方法であると思う。
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