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微分積分いい気分♪
主に数学ネタ中心でのブログ更新です。
2009.02.09
カテゴリ： カテゴリ未分類
多様体をやる上で、いくつか天下り的な定義が見受けられる。
接ベクトルはまさにその一つで、これのプロトタイプはユークリッド空間におけるC1級（以上）の道Φ:(0,1)→R^nの速度ベクトルである。つまり、このパラメータtを、物理量で言うところの時間ととらえれば、Φ((0,1))は物体の運動する軌跡であると考えられる。そしてt=t0における速度ベクトルはt=t0におけるΦの成分関数の微分係数の組である。
これを一般の多様体Mで考える。Φ(t0)∈Mのまわりで定義される局所座標系の一つを例えば(x1,…,xn)とすると、これらのΦによるpull backで先に述べたプロトタイプに帰着し、t=t0における微分係数を速度ベクトルとしたい。しかしこれは、座標系に依存する量である。
これは最近になって少しずつ感じていることなんだが、多様体はあくまでその研究方針として、その内部で自己完結しなければならないようだ。つまり、上の意味での速度ベクトルは、例えばMをユークリッド空間に埋め込めば意味を持つが、埋め込む以前に座標系に依存しない形で定義するという方針だ。これを内在的定義という。多様体の研究で多々、”座標系に依存しない”というステートメントが枕詞のように現れるのは、まさに内在的定義をスタンスとしているからのようだ。そう考えれば、何故、接ベクトルがあれほど抽象的に定義されるのか納得がいく。
さて、多様体上の関数f:M→Rを考える。(M,f,Φは全てC∞とする)
合成foΦは座標系に依存しない。そこでd/dt(foΦ)(t0)を考える。これは連鎖律により、
d/dt(foΦ)(t0)=∂f/∂x1・dΦ1/dt(t0)+…∂f/∂xn・dΦn/dt(t0)
となる。そこで、右辺をfに演算子、
dΦ1/dt(t0)・∂/∂x1+…+dΦn/dt(t0)・∂/∂xn
(dΦ1/dt(t0),…,dΦn/dt(t0))
を座標系(x1,…,xn)におけるΦのt=t0における接ベクトルという。
こういった天下り的な定義は、定義だからそうなんだと言ってしまえば、意味を考える必要は無いのかもしれないが、やはり研究する目的を知っておかないと、モチベーションがなくなる。そういった意味で、天下りのその天下り方を知ることは、精神安定剤の一つである。
接ベクトルはまさにその一つで、これのプロトタイプはユークリッド空間におけるC1級（以上）の道Φ:(0,1)→R^nの速度ベクトルである。つまり、このパラメータtを、物理量で言うところの時間ととらえれば、Φ((0,1))は物体の運動する軌跡であると考えられる。そしてt=t0における速度ベクトルはt=t0におけるΦの成分関数の微分係数の組である。
これを一般の多様体Mで考える。Φ(t0)∈Mのまわりで定義される局所座標系の一つを例えば(x1,…,xn)とすると、これらのΦによるpull backで先に述べたプロトタイプに帰着し、t=t0における微分係数を速度ベクトルとしたい。しかしこれは、座標系に依存する量である。
これは最近になって少しずつ感じていることなんだが、多様体はあくまでその研究方針として、その内部で自己完結しなければならないようだ。つまり、上の意味での速度ベクトルは、例えばMをユークリッド空間に埋め込めば意味を持つが、埋め込む以前に座標系に依存しない形で定義するという方針だ。これを内在的定義という。多様体の研究で多々、”座標系に依存しない”というステートメントが枕詞のように現れるのは、まさに内在的定義をスタンスとしているからのようだ。そう考えれば、何故、接ベクトルがあれほど抽象的に定義されるのか納得がいく。
さて、多様体上の関数f:M→Rを考える。(M,f,Φは全てC∞とする)
合成foΦは座標系に依存しない。そこでd/dt(foΦ)(t0)を考える。これは連鎖律により、
d/dt(foΦ)(t0)=∂f/∂x1・dΦ1/dt(t0)+…∂f/∂xn・dΦn/dt(t0)
となる。そこで、右辺をfに演算子、
dΦ1/dt(t0)・∂/∂x1+…+dΦn/dt(t0)・∂/∂xn
(dΦ1/dt(t0),…,dΦn/dt(t0))
を座標系(x1,…,xn)におけるΦのt=t0における接ベクトルという。
こういった天下り的な定義は、定義だからそうなんだと言ってしまえば、意味を考える必要は無いのかもしれないが、やはり研究する目的を知っておかないと、モチベーションがなくなる。そういった意味で、天下りのその天下り方を知ることは、精神安定剤の一つである。
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