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2012年01月03日

算数からはじめよう！数論

カテゴリ：本の紹介

【送料無料】算数からはじめよう！数論
価格：2,520円（税込、送料別）

１　割り算から合同式へ
２　素数と素因数分解
３　不定方程式ー方程式の製数解をさがす
４　合同式の発展ーフェルマーの小定理・オイラーの定理
５　平方数の和
６　連立合同式
７　平方剰余
８　連分数
９　連分数の応用ーπが無理数であることの証明

第8章と第9章で√2などの無理数が連分数と行列で表現できることを紹介し、最後に、πが無理数であることを証明している。

連分数と行列を使った議論により、以下の定理が成り立つ（証明もされていたが、難しかった）。

「任意の自然数x,yについてtan(x/y)は無理数である。」

この定理の対偶は以下になる。

「tan(x/y)が有理数であるならば、x/yは無理数である。」

したがって、πが無理数であることの証明は以下になっている。

証明)
tanπ=0でゼロは有理数である。
したがって、πは無理数である。■

-----
この本は、最初から、定義、命題、定理、命題と定理の証明、命題と定理の計算例があり、無駄なく不足なく、議論が積み上がっている。美しい建築物が土台から細部にいたるまで、さまざまな部品が組み合わさって構築されている様子と重なる。

そう思う人もいるかもしれない。（ぼくもかつてそう思っていた）
確かに、数論の定理やそれを使って解ける問題があっても、なかなか日常生活との接点は見つけにくいかもしれない。

ただ、定理を証明するために使われる合同式や背理法の考え方は、日常生活でも非常に有用だと思う。

例えば、合同式の考え方は、考える対象をある切り口で有限な数に分類するという手法に通じる。例えば、マーケティングで、性別、年齢、職業、年収などで消費者増をセグメント分けする考え方と通じるように思う。

背理法も、正しいかどうかわからない仮説を検証するときの考える手がかりとなる場合がある。

ところが、高収入の人は数が少なかったり、取材に応じてくれなかったりする。
そこで、高収入ではない人に聞き取り調査をし、どのくらいの学歴かを調べるという方法が考えられる。