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2014年11月10日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
任意の整数nに対し、n^9-n^3が9の倍数となることを証明せよ。
コメント
京大の問題としては簡単な方です。特殊な知識を必要とせず、
倍数の性質を理解することがこの問題の肝。
それではといてみよう。
証明
f(n) = n^9-n^3とおく。
f(n)を因数分解すると、下記の式を満たす。
f(n)=n^3(n^6-1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)
今任意の整数nを3で割った時の商をk,余りをrとすると
割り算の性質より、n=3k+rとあらわせる。
すなわち、任意のnはn=3k, n=3k+1, n=3k+2の場合に限られる。
以下、それぞれの場合のf(n)の倍数を考える。
(A)n=3kのとき、
f(n)の約数であるn^3を計算すると、
n^3=(3k)^3=3*9k^3となり、n^3は明らかに9の倍数となる。
よって、f(n)は9の倍数となっている。
(B)n=3k+1のとき、
f(n)の約数であるn-1およびn^2+n+1を計算すると、下記の通りである。
n-1 = 3k
よって、f(n)の約数(n-1)(n^2+n+1)は
(n-1)(n^2+n+1)=9k(3k^2+3k+1)と表せるのでf(n)は9の倍数である。
(C)n=3k+2のとき、
f(n)の約数であるn+1およびn^2-n+1を計算すると、下記のとおりである。
n+1 = 3(k+1)
よって、f(n)の約数（n+1)(n^2-n+1）は、
（n+1)(n^2-n+1）=9(k+1)(3k^2+3k+1)とあらわせるのでf(n)は9の倍数である。
条件A,B,Cにおいて、f(n)は9の倍数となり問題文を示していることが確認できた。
コメント
京大の問題としては簡単な方です。特殊な知識を必要とせず、
倍数の性質を理解することがこの問題の肝。
それではといてみよう。
証明
f(n) = n^9-n^3とおく。
f(n)を因数分解すると、下記の式を満たす。
f(n)=n^3(n^6-1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)
今任意の整数nを3で割った時の商をk,余りをrとすると
割り算の性質より、n=3k+rとあらわせる。
すなわち、任意のnはn=3k, n=3k+1, n=3k+2の場合に限られる。
以下、それぞれの場合のf(n)の倍数を考える。
(A)n=3kのとき、
f(n)の約数であるn^3を計算すると、
n^3=(3k)^3=3*9k^3となり、n^3は明らかに9の倍数となる。
よって、f(n)は9の倍数となっている。
(B)n=3k+1のとき、
f(n)の約数であるn-1およびn^2+n+1を計算すると、下記の通りである。
n-1 = 3k
よって、f(n)の約数(n-1)(n^2+n+1)は
(n-1)(n^2+n+1)=9k(3k^2+3k+1)と表せるのでf(n)は9の倍数である。
(C)n=3k+2のとき、
f(n)の約数であるn+1およびn^2-n+1を計算すると、下記のとおりである。
n+1 = 3(k+1)
よって、f(n)の約数（n+1)(n^2-n+1）は、
（n+1)(n^2-n+1）=9(k+1)(3k^2+3k+1)とあらわせるのでf(n)は9の倍数である。
条件A,B,Cにおいて、f(n)は9の倍数となり問題文を示していることが確認できた。
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