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英語教材の販売を始めました。
詳細はこちら10円で販売しています。日本人が言えないだろう英語の表現を10個収録。今回は電子レンジでチンしてくださいという表現を例文に載せているけれども、日本人が英語を話せない理由の九割ぐらいは、日常生活にフォーカスした英会話を勉強しないからだと思います。だから、電子レンジでチンするというなんでもない表現すら話せない。もう、こういうのやめましょう。学校英語だけじゃ英語はたりないんです。そういう想いから、10円で10個ずつ具体的な英語を教えることにしました。よろしければ、英会話力向上に役立ててください。更新する都度、毎回ブログで報告します。
2015年02月15日
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化学熱力学：マイヤーの関係式
■理想気体の内部エネルギーやがて分子論の立場から論証しようと思いますが、理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみの関数になります。そもそも、内部エネルギーの定義を思い出してください。分子には分子間力による位置エネルギーと、分子の熱運動による運動エネルギーが存在します。系における分子のこれらのエネルギーの総和を内部エネルギーといいました。分子の運動エネルギーは系の体積と独立です。一方、分子の位置エネルギーは分子間力であるため、体積などによって相互作用を受けるといえます。したがって、分子間相互作用のない理想気体は温度だけの関数になるのです。これらの事実から、内部エネルギーには次の関係式が成り立ちます。(∂U/∂T)p = (∂U/∂T)v…1上の式を用いると後述するマイヤーの関係式が論じられるのです。■マイヤーの式前回までの議論で、モル比熱CpやCvを定義しました。マイヤーは、理想気体に対して下記のことが成り立つことを見出したのです。Cp - Cv = Rこの式のことをマイヤーの関係式といいます。早速証明してみよう。理想気体の場合、定圧モル比熱は下記のようにあらわせる。nCp =(∂H/∂T)p = (∂U/∂T)p +(∂(PV)/∂T)p nCp = (∂U/∂T)v +(∂(nRT)/∂T)p = (∂U/∂T)v +nR …2ここで、nCv =(∂U/∂T)v よりCp-Cvを計算すると、下記のようになる。Cp - Cv = (1/n)*(∂U/∂T)v +R - (1/n)*(∂U/∂T)v = R …3このようにして、マイヤーの式を証明することができました。
2015年02月14日
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化学熱力学：内部エネルギーと定積モル比熱について
エンタルピーが定圧条件下の熱や比熱に応用できる物理量なら、内部エネルギーUは定積条件下の熱や比熱に応用できる物理量なのです。ここで、おさらしてみましょう。熱力学の第一法則より、内部エネルギー変化dUは下記の式であらわせる。dU = d'q + d'w …(1)dV = 0の時の仕事d'ｗはゼロなので、下記のようにあらわせる。dU = d'q …(2)つまり、エンタルピー変化量が圧力一定化の時、熱ならば内部エネルギー変化量は体積が一定化の時の熱なのです。次に、全微分の式は偏微分の式を用いて下記のように書き換えられる。dU = (∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)t dV …(3)dV = 0の条件を考えると、dUは下記の式のようになる。dU = (∂U/∂T)v dT …(4)ここで1モルあたりの熱量をQとするとq = nQと変形できる。以上より、体積一定下ではdq' = nd'Q = dU = (∂U/∂T)v dT d'Q/dT = (1/n)*(∂U/∂T)v …(5)d'Q/dTは定積モル比熱と呼ばれる物理量であり、Cvで表す。Cvは(5)式より下記のようになる。Cv = (1/n)*(∂U/∂T)v …(6)いかかですか。エンタルピーと似たような形式の表現が内部エネルギーも可能なのです。こういったところが、熱力学の美しさかもしれませんね。本日はここまで。
2015年02月14日
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化学熱力学：エンタルピーと定圧モル比熱
■エンタルピーについてさて、前回状態量という概念を学び内部エネルギーUも状態量であることを論じた。そこで、下記のような物理量Hを考えてみる。H = U + PV …1当然、HはPとVだけで決まればUも一意的に決まるし、新しい物理量Hも状態量である。このHのことを熱学ではエンタルピーと呼ぶ。エンタルピーが一体何なのか。これについて解説する。■エンタルピーの微分形エンタルピーを微分していくと下記のように変形できる。dH = dU + PdV + VdPdH = d'q + d'w + PdV + VdPdH = d'q - PdV + PdV + VdPdH = d'q + VdP …2この式を見てわかるように、定圧のとき(dP = 0のとき）、dH = d'q …3となり熱量変化と一致することが確認できる。つまり、エンタルピーの変化量は定圧条件に限って熱量と同じ意味をもつのです。また、この式から熱量は定圧条件の時に状態量のようにふるまうという解釈もできるでしょう。■エンタルピーの微分形(2)エンタルピーの全微分は偏微分を用いて次式のようにもあらわすことができる。dH = (∂H/∂T)p dT + (∂H/∂P)t dP …4定圧条件を考えるとdP = 0であり、下記のように変形できる。dH = (∂H/∂T)p dT …55を3式に代入すると下記のような変形ができる。d'q = (∂H/∂T)p dTd'q/dT = (∂H/∂T)p …6ここで1モルあたりの熱量をQとするとq = nQと変形できる。これを6式に代入するとnd'Q/dT = (∂H/∂T)p …7のように変形できるので下記のように変形できる。d'Q/dT =(1/n)* (∂H/∂T)p …8この式が重要。dQ'/dTはモル比熱と呼ばれる物理量であり、圧力が一定の時は定圧モル比熱という。定圧モル比熱は物理学ではCpであらわすことが多く、下記のような式であらわせる。Cp ＝ (1/n)* (∂H/∂T)p …9このように、エンタルピーという状態量を定義すると、定圧環境下のいろいろな物性が評価できるため、熱学では重要な関数といえるのです。今後もエンタルピーはいろいろな式の中で姿を見せることでしょう。
2015年02月14日
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化学熱力学：状態量について。内部エネルギーは状態量か？
状態量について：内部エネルギーは状態量か？■状態量とは？状態 量とは、(温度と体積) 等の状態が決まれば，どういう経路でその状態になったかに無関係に決まる物理量のことです。じゃあ状態って何のことかというと、ここでは｢シリンダ内に気体が充満している状態｣とだと考えてください。この「シリンダ内の気体」がどういう状態であるかは、温度、体積、圧力の3つで表現できるのです。そして、この温度、体積、圧力もまた状態量だといえるのです。それを裏付ける根拠は、気体の状態方程式だと思っています。状態方程式とは何か後述させていただきます。■気体の状態方程式状態方程式とは、状態量の間に成立する関係式のことです。先ほど、温度、体積、圧力もまた状態量だといいましたが、この気体の状態方程式を眺めてみても頷けることでしょう。例えば、気体の巨視的な状態は、下記のような状態方程式で規定されるのです。P = f(n, V , T)…1(P⇒圧力, V⇒体積 , T⇒温度 , n⇒気体の物質量)ここで、理想気体の場合は高校化学で習ったと思いますが、気体定数Rを用いて PV = nRT…2nはシリンダ内で漏出しないので一定と考えます。この式が意味することは、状態1(V1,T1)から状態2(V2,T2)にどんな経路で移動させようとも圧力Pは決まってしまうし、V,Tについても同様のことが言えるという意味です。やはり、こういった関係式を眺めてみてもPやVやTって状態量だなって思いますよね。■内部エネルギーは状態量か？さて、ここで躓くことが多い。内部エネルギーは状態量ですと何の説明もなく議論されるからです。結論からいうと状態量です。例えば、状態1(P1, V1)から他の状態2(P2, V2)を往復する経路を考えます。経路1では、状態1⇒状態2と移動しましょう。経路2では、状態2⇒状態1と戻る場合を考えましょう。それぞれの経路における内部エネルギー変化をI、Jとします。もし、内部エネルギーが状態量であれば、I+J=0となるのはいうまでもありません。じゃあ、背理法的にそうならない場合を考えてみましょう。もし、内部エネルギーが状態量でなければ、|I|>|J|になるように経路を選べるのです。この場合、（P1, V1)から（P2, V2)へ行き、それからもとの状態（P1, V2)に戻って来たときにエネルギーがあがっています。たとえば断熱圧縮で外部から仕事を貰い体積がV1からV2に縮み、そのあと断熱膨張して外部に仕事をして、もとの状態（V2→V1)に戻るときに温度がもとより高くできるのです。でも、それって気体の状態方程式に明らかに矛盾してますし、無限に同じ操作を行えば系の内部エネルギーは果てしなく増加させられるのです。エネルギー保存則が崩壊してませんか？つまり、内部エネルギーは状態量だといえるでしょう。■仕事と熱は状態量か？熱力学の第一法則を思い出してください。ΔU = q + wとなりますよね。ここで、可逆過程の仕事の式としてw = -∫pdVだということを思い出してみてください。この式から考えても、仕事は状態量ではありません。では、qは状態量でしょうか？q = ΔU +wと変形すればわかると思いますが、状態量＋状態量出ない量の足し算になっています。状態量＋状態量は状態量ですが、状態量＋状態量でない物理量は状態量ではありません。(よく考えてみれば当たり前のことです。考えてみてわからなかったら質問してください。)したがって、qもまた状態量なのです。■熱力学の第一法則の微分形熱力学の第一法則は、微分形にして下記のようにあらわすことがあります。dU = d'q + d'wdとd’の違いは状態量かそうでないかです。熱力学ではこういう表記をよく使うので覚えてください。今日はここまで。
2015年02月14日
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化学熱力学：熱力学の第一法則
A:熱とは何か 熱とは一体何なのか。昔の人は、熱とは熱素(カロリック)という物質によって引き起こされるものであると考えていました。しかし、熱学の研究が進むにつれて熱の正体はカロリックではなく、物質を構成する分子（原子）の乱雑な運動そのものだと突き止めました。世の中の物質はすべて分子（原子）からできています。そしてその分子（原子）はすべて乱雑な運動をしています。この運動エネルギーの大きさが熱の大きさになっていたのです。B:熱と仕事の等価性/熱の仕事等量 1843年、ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤーによって、下記のことが明らかになったのです。1．運動のエネルギーが熱になること⇒摩擦が発生すると、運動エネルギーが熱になることを想像してほしい。2．熱が運動のエネルギーに変わり得ること⇒内燃機関がまさにそれである。この事実は面白いです。熱というのは分子の運動だからこそ、力学的な仕事に変換したり、仕事そのものを熱に変えられるのです。また、ジェームズ・プレスコット・ジュールは、マイヤーの実験を参考にして｢仕事によって水に力学的な仕事W[J]を与えた時に発生する熱量Q｢cal]｣を算出したのです。この結果は下記の通りです。W = 4.19Q この4.19という比例定数こそが、仕事等量と呼ばれる値です。これは、熱と仕事は同一のものなのだということを支持する実験結果であり、熱と仕事の等価性はマイヤーやジュールによって確認されたのです。C:熱力学第一法則前述したように分子の熱運動が熱の正体です。そこで、熱のエネルギーを運動論に基づいて定義しましょう。分子には分子間力による位置エネルギーと、分子の熱運動による運動エネルギーが存在します。系における分子のこれらのエネルギーの総和を内部エネルギーといいます。内部エネルギーをU、系に加えた仕事をw、系に加えた熱をqとすると下記の式で表現できます。ΔU = q + w …1この式こそ熱力学の第一法則と呼ばれる熱学の大原則なのです。余談：圧力Pの気体を圧縮し、体積をdVだけ減少させる仕事を考えると、下記のように書き換えられます。dw = -PΔV …2E:準静的過程熱的な平衡状態（熱平衡状態）を保ったままで、非常にゆっくりかつ静かに状態を変化させることを、準静的過程と言います。例えば、シリンダー内の気体をピストンで圧縮する過程を考えましょう。シリンダーを素早く動かした場合、気流が発生して気体の内部エネルギーに余計な仕事が加わっています。そうではなくて、シリンダーを無限にゆっくり動かし、余計な仕事を加えないような過程が準静的な過程です。なんでそんなわけのわからない動かし方を定義するのかというと、以後の議論のためです。実は以後の熱力学の議論では、準静的過程であるという前提でさまざまな現象を考察していきます。ですから、この説明がよくわからなくても、ものすごーくゆっくり動かしていて気流が発生していない状況だというイメージを持っていただければそれで十分です。準静的過程という言葉は、熱力学で躓くきっかけになる概念ですが、まずはそういったイメージを持っていただきたいですね。F:可逆過程と不可逆過程気体の仕事には、可逆過程と不可逆過程があります。例えば、シリンダー内のピストンを準静的に動かし、圧縮⇒膨張を繰り返すとします。このシリンダー内で摩擦が発生する場合、気体を圧縮した後再び膨張しても元通りの内部エネルギーを維持できません。このような変化は不可逆過程です。一方、摩擦が発生せずに準静的に仕事を繰り返し続けると、仕事の収支はw = - PΔVと考えればゼロになります。したがって、圧縮と膨張時で元の状態に戻すことができるでしょう。このような過程は可逆過程といえるのです。皆さまに誤解しないでほしいのは、可逆過程は準静的だが準静的過程だからと言って可逆過程ではないのです。摩擦があると不可逆なんです。ここを誤解している人が沢山いますが、ここは誤解しないように。G:可逆過程における仕事圧力Pの気体を体積V1からV2に変化させる場合、wには次式が成り立ちます。w =- ∫ (V1⇒V2)PdV …3(追記⇒理想気体の場合、PV = nRTが成り立つので、下記のように変形できる。w = - ∫ (V1⇒V2)nRTdV /V = -nRT*Ln(V2/V1) = nRTLn(V1/V2) …4この式ぐらいが化学でよく使う式だと思っていますね。本日はここまで。次回はエンタルピーを解説します。
2015年02月14日
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電池の化学その２：実際の電池の放電容量がどのように決まるか。
電池の化学：理論放電容量の求め方。では、電池の放電容量を解説した。しかし、前回の例では黒鉛単独の放電容量を求めただけにすぎない。ここでは、実際の電池において正極と負極の放電容量が異なる場合、どのようにして放電容量が決まるか考えよう。そこで下記の例題を考えよう。例）正極がMnO2、負極が亜鉛のアルカリ乾電池がある。MnO2の重量を0.869g,亜鉛の重量を0.654gとする。以下の問いに答えよ。問い1⇒正極の理論放電容量(mAh/g)の理論値を求めよ。反応：2MnO2 (s) + H2O (l) + 2e− →Mn2O3 (s) + 2OH− (aq)MnO2の原子量は、86.9より0.869/869＝1/100 mol。流れる電子は1/100。Qt＝1/100×96485/0.869*1000/3600= 308 mAh/g問い2⇒負極の理論放電容量(mAh/g)の理論値を求めよ。反応：Zn (s) + 2OH− (aq) → ZnO (s) + H2O (l) + 2e−亜鉛の原子量は、65.4より0.654/65.4＝1/100 mol。流れる電子は2/100。Qt＝2/100×96485/0.654*1000/3600= 820 mAh/g問い3⇒この電池の実際の放電容量(mAh)の理論値はいくつか。正極の容量 = 308 * 0.869 = 268.0 mAh負極の容量 = 820 * 0.654 = 536.3 mAhこのように、放電容量の値が正極、負極で異なっているとどうだろうか。答えは268mAhである。冷静に考えればわかるが、この電池の場合、負極はまだ反応する余地があるが、正極は268.0 mAhまで反応すると反応しきってしまうということだ。このように、電池の容量は正極の容量と負極の容量の両方の値を比較することで決まる。電池を作る場合、例えば缶やボタン式の電池など限られた容積の中で作るので上の例ならなるべく無駄な亜鉛を減らし、正極の量を増やしていくことが電池を作る上で理想的だと解るだろう。
2015年02月13日
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電池の化学：理論放電容量の求め方。
しばしば新聞とかニュースとかで次世代電池ということが議題にあがる。皆さまが利用している携帯の電池も、長持ちしたら便利なのは当然のことであり、容量(寿命)の高い新しい電池の開発は不可欠である。では、この容量って一体どうやって計算しているのだろうか。計算方法となると、ベーシックな議論なのに解説しているページが少ない。そこで、本稿では容量とは何か。容量ってどうやって計算するのか。改めて解説していこうと思う。1)終止電圧と放電容量について例えば、電池は放電して電流を流し続けるとだんだん電圧が落ちていき、最後は0Vになる。0Vにならなくても、ある電圧に達したらパワー不足で電気回路が動作しなくなる電圧というものがある。こういうときに、電池は電池切れとなるわけだが、実質的に電池切れとなる電圧のことを、終止電圧という。それを踏まえたうえで、放電容量とは何か。定義を書こう。放電容量をQとすると、下記の式であらわせる。Q＝電流I(mA)×持続時間T(h)…(1)ここで、接続時間Tとは電流Iが終始電圧まで実際に流せた時間である。放電容量Qは、まさに電池の寿命の指標であり、このQを改善していく材料の開発が不可欠といえる。2)材料のもつ放電容量についてしばしば、電池には理論的な容量があると言われることがある。では、なぜ理論的に容量が決まってしまうのか。これについては、高校化学の知識があれば理解可能なことである。例えば、リチウムイオン電池の負極カーボンは下記のような反応を行う。Li(+) + 6C + e - → C6Li …(2)今カーボンを12g用いる例を考えてみよう。すると、カーボンの原子量は12 g/molであり、カーボンは1molあることがわかる。化学式を考えてみよう。化学式の係数とモル比は一致するので、この電池の場合、1/6モルの電子が流れたことになる。ファラデーの法則より、1molの電子は96485 クーロンであるので、カーボンが反応すると96485/6クローンの電子が流れることがわかる。カーボン1g当たりの電気量に換算すると、96485/6/12 = 1340.7 クローン/gだとわかる。ここで1クーロン＝1A×1s = 1000mA×1/3600hなので、理論放電容量Qtは、Qt = 1340.7×1000/3600 = 372.4 mAh/gだとわかる。実際は終始電圧が0Vではないので、これより若干下がるだろうし、材料の持っている全てのエネルギーを引き出すことはとても難しい。、理論容量と実際の容量は必ずしも一致しないのである。ただ、すべての電池の容量は理論容量を超えないのだ。そして、理論容量は反応さえ分かればすべての電池において高校化学程度の知識で求められる。このことをしっていてほしい。
2015年02月13日
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入試における基本問題のまとめその4…三次方程式を題材とした整数問題
問い1：3次方程式 x^3-(p-3)x^2-3x+p-1 = 0の三つの解が 全て整数となるような実数pの値を求めよ。問い2：a,b,cは整数とする｡三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が 有理数αに解をもてばαは整数であることを示せ。問い3：三次方程式x^3+x-8=0は有理数解をもたないことを示せ。問い4：x^3-x^2+9x-5=0は整数解をもたないことを示せ。問い5：pを素数とする。xの三次方程式 x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=0 が 整数解を持つときpの値は？解法)問い1f(x) = x^3-(p-3)x^2-3x+p-1とおく。f(1) = 0より、整数解の一つはx=1である。また、（x-1)で因数分解するとf(x) = (x-1)(x^2-(p-4)x+1-p) = 0と表せるので、x^2-(p-4)x+1-p=0が整数解となるような実数pの条件を考えればよい。※実質的には三次方程式のふりをした二次方程式の問題だった。残り二つの解をa,bとおくと、解と係数の関係からa+b=p-4 …(1)ab=-p+1 …(2)(1)+(2)より、ab+a+b=-3(a+1)(b+1)=-2…(3)これを満たす整数a,bの組(a,b)は、(1,-2)(-2,1)(0,-3)(-3,0)に限られる。よってp=1,3となる。解法)問い2 有理数解をx=p/qと表す。ここで(p,q)は互いに素な整数とする。三次方程式に代入すると、(p/q)^3+a(p/q)^2+b(p/q)+c=0p^3/q = apq + bpq^2+cq^3…(1)ここで右辺は整数であるので、p^3/qも整数となるが、p,qは互いに素であるので、q=1となる。従って、有理数解αは整数解であることが示された。解法)問い3 三次方程式x^3+x-8=0が有理数解aを持つとすると、aは整数である。aを代入すると、a^3+a-8 = 0⇔a(a^2+1) = 8a＜a^2+1であり、また、0＜a^2+1を考えると、これを満たす整数、(a,a^2+1)の組は、(1,8),(2,4)のみである。ところが、いずれの条件も満たすaは存在せず矛盾。よって、三次方程式は有理数解をもたない。解法)問い4：f(x)=x^3-x^2+9x-5として、そのグラフを考える。f'(x) = 3x^2-2x+9 = 3{x^2-(2/3)x+1/9}-1/3+9=3(x-1/3)^2+26/3＞0より、f(x)は単調増加する関数である。更に、f(0)=-5,f(1)=4より、f(x)の解は0＜x＜1の間にあることがわかる。従って、f(x)=0は整数解をもたない。解法)問い5：問題にはいるまえにコメントをさせてほしい。誤答例。解と係数の関係より、αβγ=pだから、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)という組み合わせが考えられるということで、x=±1を代入する解法が書かれているけれども、それで本当にいいだろうか?ここで書かれているのは、あくまで整数解をもつと書いてあるが、全部が整数解だなどとは一言も書いていない。例えば、(√2-1,√2+1,p)の場合も、αβγ=(2-1)p=pで、整数解pが一応存在する。これも問題文の条件を満たしているのだ。直感的にx=1のとき、p^2-8p+7=0だからp=7と思うかもしれないけれども、ちゃんと論証するとなると、解と係数の関係より、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)と論じるのは言葉足らずではないだろうか。それを踏まえたうえで解説しよう。f(x)=x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-pとおく。整数解をaとすると、f(x)は(x-a)で割ることができるので、x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=(x-a)(x^2+bx+c)=x^3+(b-a)x^2+(c-a)x+acと表せる。各係数を比較するとb-a=p^2+2⇔b=a+p^2+2c-a=-7p+4⇔c=a-7p+4と表せるので、bとcは整数である。更に、p=acと表せるので、a,b,cは整数であることから、(a,c)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)のいずれかの場合に限られる。以上により場合別けを行う。a=1のとき、f(1)=0⇔p^2-8p+7=0⇔p=7,1より、p=7が解となる。a=-1のとき、f(-1)=0⇔p^2+6p-3=0より、pは整数にならない。a=pのとき、f(p)=0⇔p^4+p^3-5p^2+3p = 0⇔p^3+p^2-5p+3=0,(p-1)^2(p+3)=0より、pは素数にならない。a=-pのとき、f(-p)=0⇔p^4-p^3+9p^2-5p = 0⇔p^3-p^2+9p-5=0より問い4の結果からpは整数解をもたない。よって、a=1が解であり、その時のpの値は7である。
2015年02月09日
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ニュートン法による立法根の近似
xの関数y = f(x)に対して、f(x) = 0の解は以下の方法で近似できる。まず、x軸上にx_kをとり、点(x_k,f(x_k))を考える。この点に接する接線を引くと、下記の式が得られる。y = f'(x_k)(x - x_k))+f(x_k)…(1)この接線とx軸の交点を(x_k+1,0)として以下の数列を得ることができる。f'(x_k)(x_k+1 - x_k))+f(x_k)=0x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)…(2)例えば、グラフにすると、下記のようになる。この数列はf(x)=0の解に収束する数列であり、ニュートン法を使うと、解の値を精度よく近似できるのだ。そこで実験してみよう。問い：2^(1/3)の近似値を求めよ。f(x) = x^3 - 2とする。この時、f'(x) = 3x^2であり、x1 = 1として計算すると下記のとおりである。x2 = 1 - (1-2)/3*1 = 1+1/3 = 4/3x3 = 4/3 - (64/27 - 54/27)/(16/3) = 91/72 = 1.2638このx3^3を計算すると実は2.018であり、かなり精度がいいです。x4以降は電卓に頼らざるをえませんが、計算してみましょう。x4 = 1.259933…x5 = 1.259921…x4^3 = 2.000059x5^3 = 2.000000001このように比較的簡単な操作で3乗根の値がわかってしまうのだ。ニュートン法は偉大な功績だとおもう。
2015年02月09日
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慶應義塾医学部 2013 確率と漸化式
コメント：確率と漸化式の基本を理解するには、非常にいい問題だと思う。京大の確率の問題と併せて、難関大学の確率の問題になれていってほしい。問い1：1回目の操作で赤玉が3個になる確率は、最初の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率に等しい。最初の操作でAから白玉を選ぶ確率は、1/3最初の操作でBから赤玉を選ぶ確率は、1/3積の法則より、a1=(1/3)*(1/3)=1/9…(あ)1回目の操作で赤玉が2個になる確率は、最初の操作でAから白玉を選び、Bから白玉を選ぶ確率、及び最初の操作でAから赤玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率の和となる。前者の確率は、1/3*2/3=2/9.後者の確率は2/3*1/3=2/9よって、b1=2/9+2/9=4/9…(い)1回目の操作で赤玉が0個になる確率は0より、赤玉が1個だけ残る確率は余事象を考えると、1-1/9-4/9 = 4/9。よってc1 = 4/9…（う）問い2：袋Aにおける赤玉の個数をX、白玉の個数をYとして、ある回数のボールの個数を(X,Y)であらわす。(a)… n+1回目が(3,0)である場合は、n回目の状態が(2,1)の場合かつ次の操作でAの白玉を取り出し、Bから赤玉をもらう場合に限られる。これは、an+1 = bn*(1/3)*(1/3) = (1/9)*bn…(1)となる。(b)… n+1回目が(2,1)である場合は、下記3とおりである。(b-1)…n回目は、(3,0)である場合。(b-2)…n回目は、(2,1)であり、次の操作でも(2,1)になる場合。(b-3)…n回目は、(1,2)であり、次の操作で(2,1)になる場合。(b-1)の確率はanである。(b-2)の確率は、問い1よりbn*4/9である。更に(b-3)の確率は、次の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率であり、cn*(2/3)*(2/3)となる。よってbn+1 = an + (4/9)bn + (4/9)cn…(2)となる。(c)… n+1回目が(1,2)である場合は、下記3とおりである。(c-1)…n回目は、(2,1)であり、次の操作で(1,2)になる場合。(c-2)…n回目は、(1,2)であり、次の操作でも(1,2)になる場合。(c-3)…n回目は、(0,3)であり、次の操作で(1,2)になる場合。(c-1)の確率は問い1より(4/9)*bnである。(c-2)の確率は、次の操作でAで赤玉を選び、更にBでも赤玉を選ぶ確率、および次の操作でAで白玉を選び、更にBでも白玉を選ぶ確率となり、前者は、cn*(1/3)*(2/3)=(2/9)*cn。後者はcn*(2/3)*(1/3)=(2/9)*cnよって(4/9)*cnとなる。(c-3)の確率は、余事象を考えると1-an-bn-cnである。以上より、cn+1=1-(5/9)bn-(5/9)cn-an…(3)となる。従って、(2)、(3)より、bn+1+cn+1=1-(1/9)(bn+cn)pn+1 = 1 - (1/9)pnここで特性方程式x=1-x/9⇔x=9/10を利用するとpn+1 - 9/10 = 1 - (1/9)pn - 9/10pn+1 - 9/10 = (1/90)＊(9-10pn)10pn+1 - 9 = (-1/9)*(10pn-9)10pn - 9 = (-1/9)^(n-1)*(10p1-9)=(-1/9)^npn = (-1/9)^n*(1/10)+(9/10)問い3：赤玉の個数の期待値Enを考える。E1 = 3*a1+2*b1+1*c1=3/9+8/9+4/9 = 5/3En+1 = 3*an+1 + 2*bn+1 + cn+1 En+1 = (1/3)*bn + 2*[an + (4/9)bn + (4/9)cn] + 1-(5/9)bn-(5/9)cn-an En+1 = an + (2/3)bn + (1/3)cn + 1En+1 = (1/3)*(3an+2bn+cn)+ 1En+1 = (1/3)*En + 1ここで特性方程式x = (1/3)x+1⇔x = 3/2を利用するとEn+1 - 3/2 = (1/3)En + 1 - 3/2 = (1/3)*(En - 3/2)En - 3/2 = (1/3)^(n-1)*(E1 - 3/2)En = (1/3)^(n)*(1/2)+3/2
2015年02月09日
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円の接線の公式を導出する。
公式の導出自体が入試で出ます。円の接線の場合、上記の動画が参考になるのでリンクしておきましょう。
2015年02月03日
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d/dx(log x) = 1/xの証明
logxの微分が1/xとなることの証明です。非常に解りやすい説明だと思うので、理屈で理解していない方は、この動画をみるといいでしょう。
2015年02月02日
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オリジナル問題⇒e^xを微分するとe^xなのか?
e = lim(x→0)(1+x)^(1/x)と定義する。この時下記の問いに答えよ。(1)lim(x→0){log[e](1+x)}/x を計算せよ。※[]の数は底を表す。(2)f(x) = e^xとして、f'(x) = e^xとなることを証明せよ。コメント：こんな入試問題でてもいいんじゃないかと思い、出題してみた。公式を暗記している人から見たらぎょっとする問題かもしれないが、ちゃんと一つ一つの公式を理解している人からみれば、さほど難しい問題ではありませんね。(1) log[e]e = 1 = lim(x→0)log[e](1+x)^(1/x) = lim(x→0){log[e](1+x)}/xとなるので、lim(x→0){log[e](1+x)}/x = 1(2)微分の定義よりf'(x) = lim(h→0) {e^(x+h)-e^x}/h = e^x * lim(h→0) {e^(h)-1}/hと表せる。ここで、t+1=e^(h)とおくと、h→0のとき、t→0だとわかる。すなわち、f'(x) = e^x * lim(t→0) t/{log[e](t+1)} f'(x) = e^x * 1/[lim(t→0){log[e](1+t)}/t](1)の結果を使うと、f'(x) = e^x*1 = e^x
2015年02月02日
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二項定理の基礎問題の解き方
受験生が苦手とする二項定理の解き方について。基礎問題ぐらいなら、この講義を理解すれば大分対応できるでしょう。
2015年02月02日
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東大数学 2003年 円周率の計算
問い 円周率は3.05より大きいことを証明せよ。コメント) これも有名入試問題。個人的には、円周率が3.1より大きいことを証明せよ。という問題でもいいと思います。3.05じゃ中学生でも解析できてしまうからです。色々な解法があるけれども、個人的に好きな解法は下記の解法がおすすめ。数学3の知識を駆使して、精度良く求められるので個人的には大好きだ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝A=∫dx/(1+x^2)を考える。x=tanθとおくと、dx/dθ=1/cos^2θ,1+x^2 = 1+tan^2θ=1/cos^2θより、A=∫dθ=θ+C…(1)となる。ここで、0≦x≦1/√3(0≦θ≦π/6)でAを積分すると考えると、A=π/6…(2)である。今y=f(x)=1/(1+x^2)のグラフを考える。y'=f'(x)=-2x/(1+x^2)^2…(3)y''=f''(x)=(2(3x^2 -1))/(x^2+1)^3…(4)より、y=f(x)の増減表、およびf(x)のグラフは下記のとおりである。次に、曲線上に下記の点を取ることにする。A(0,f(0)),B(√3/6,f(√3/3)),C(√3/3,f(√3/3))∴A(0,1),B(√3/6,12/13),D(√3/3,3/4)またA～Cからx軸に垂線を下ろし、その交点をそれぞれO,P,Qとする。更に、四角形ABPO、四角形BCQPの面積をそれぞれS1,S2とすると、f(x)は積分範囲において上に凸な関数であり、下記の不等式が成り立つ。S1+S2＜π/6⇔6(S1+S2)＜π…(5)※誤解しないでほしいのが、上に凸じゃなくて 下に凸だったら台形の面積はグラフの積分結果より大きくなる。 上に凸だから上の不等式が成り立つのだ。よってS1=(√3/6)*(1+12/13)*1/2S2=(√3/6)*(12/13+3/4)*1/2S1+S2 = (√3/12)*(187/52)6(S1+S2) = (√3/2)*(187/52) = √3*187/104＞1.798＊1.732＞3.113.11＜πとなり、円周率πは3.05より大きい。
2015年02月01日
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京大2006 tan1°は有理数か?
タイトルの通りです。大学受験で超有名な問題です。前回千葉大学でlog[2]3が無理数かと論じたり、京都大学で、(2)^(1/3)は無理数かと論じたのでこれも論じてみよう。====================================tan1°が有理数だと仮定する。すなわち、互いに素な整数p,qを用いて、tan1°= p/qと表せるとする。このとき、tan2°= 2(tan1°)/{1 - (tan1°)^2}=2(p/q)/{1-(p/q)^2}と表せるので、分子、分母がともに有理数であり、tan2°も有理数となる。同様に、tan2°,tan4°,tan8°,tan16°,tan32°は有理数である。ここで、tan30°= tan(32°-2°)= (tan32°-tan2°)/{1＋tan32°tan2°}であり、右辺辺は有理数となる。一方、tan30°=1/√3より左辺は無理数であるので、矛盾。すなわち、tan1°は有理数ではない。この辺の問題というのは、有理数という概念を理解していますか?というだけの問題であり、一連の問題は有理数の定義さえしっていれば焦る問題ではないだろう。
2015年02月01日
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2002年 千葉大学 ある対数が無理数であることの証明
2002年千葉大学 対数(1)log[2]3は無理数であることを証明せよ。(2)nが正の整数のとき、log[2]nが整数でない有理数になることはあるかどうか調べよ。コメント→無理数であることの証明は有理数でないことを証明するのです。この手のも問題は必ず、互い素な自然数、p,qを用いて式=p/qとなるような有理数だと仮定し、p,qが互いに素でないので矛盾と誘導すればいいのです。パターン問題であり、さほど難しくないかもしれない。ただし、そういう解法をイメージできないとギョっとする問題かもしれない。(1)log[2]3が有理数だと仮定する．すなわち互いに素な自然数p,qを用いてlog[2]3=p/qと表せるとする．このとき，2^(p/q)=3となり，両辺をq乗すれば2^p=3^qとなる。ところが，p,qは自然数であり、左辺は必ず偶数，右辺は必ず奇数となるので上記等式は成立せず矛盾。よって、log[2]3は無理数となる。(2)log[2]nが有理数になる場合を考える。このとき互いに素な自然数p,qを用いてlog[2]n=p/qと表せるので、2^p=n^qが成り立つ。このとき、両辺を比較するとnは2のみを素因数にもつ整数だと考えられるので任意の整数mを用いてn=2^mとあらわせる。このとき、log[2]n=mとなり整数値になる。従って、log[2]nが有理数なら、その値は整数値である。
2015年02月01日
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東大 理系 2003 解と係数の関係を利用した整数問題
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものをα，小さいものをβ とする。n=1,2,3…に対し、s_n=α^n+β^nとおく。(1) s_1，s_2，s_3を求めよ。また、n≧3に対し、s_nをs_n-1とs_n-2で表せ。(2) β^2003以下の最大の整数を求めよ。(3) α^2003以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。コメント：(1)、(2)は簡単。(3)で答えを導けるかが得点の分かれ目といえるでしょう。1の位の問題と言えば、中学入試で有名な3^100の1の位の数を求めよという問題がある。この時の解法は、3→9→24→81→243…と規則性があって、 1の位は3,9,4,1と繰り返している。同じように、1の位って繰り返すんじゃないだろうか?という思考になった人は、(3)も解けるだろう。解らない問題は実験するのだ。(1)解と係数の関係より、下記(A),(B)が成り立つ。α+β=4…（A)αβ =-1…（B)従って、s_1～s_3は下記の通りになる。s_1 = α+β = 4s_2 = α^2+β^2 = (α+β)^2 -2αβ = 16 + 2 = 18s_3 = α^3+β^3 = (α+β)*(α^2+β^2-αβ) = 4*(18+1) = 76また、x^2-4x-1=0⇔x^2=4x+1より、両辺にx^nをかけると下記(c)式が成り立つ。x^(n+2) = 4x^(n+1)+x^n…(c)(c)式にα、βを代入すると以下のとおりである。α^(n+2) = 4α^(n+1)+α^n…（D) β^(n+2) = 4β^(n+1)+β^n…（E)（D)+(E)⇔ α^(n+2)+β^(n+2) = 4{α^(n+1)+β^(n+1)}+α^n+β^n…(F)以上より、s_n = 4*s_n-1 + s_n-2となる。(2)二次方程式の解は下記のとおりである。x^2-4x-1=0 ⇔ x^2-4x+4=5 ⇔ (x-2)^2 = 5 ∴ x = 2±√5となる。従って、β＜αより、β=2-√5,α=2+√5である。－1＜β＜0より、(-1)^2003＜β^2003＜0^2003 ∴-1＜β^2003＜0従って、β^2003を超えない最大の整数は-1である。(3)α^2003 + β^2003 = s_2003 ⇔ α^2003 = s_2003 - β^2003より、s_2003＜α^2003＜s_2003+1…（A) が成り立つ。従って、α^2003を超えない最大の整数は、s_2003を超えない最大の整数と等しい。そして、s_nは、s_1,s_2,s_3が整数であるので、帰納的にs_nは整数となる。従って、s_nを超えない最大の整数はs_nと一致する。今、ある整数xの1の位の数をf(x)と表すことにする。また、P_n = f(s_n)であらわされる数列P_nを定義する。そして、s_nは整数であり、n≧3に対して、s_n-1 = 10X+p, f(s_n-1) = p (X,pは任意の整数)s_n-2 = 10Y+q, f(s_n-2) = q (Y,qは任意の整数)と表せる。このとき、下記(B)式が成り立つ。f(s_n) = f(4*(10X+p)+(10Y+q)) = f(10(4X+Y)+4p+q) = f(4p+q)P_n = f(4f(s_n-1)+f(s_n-2)) = f(4*P_n-1 + P_n-2)…（B)この(B)式を用いて1の位を計算するn=4のとき、P_n-3、P_n-2,P_n-1,P_n,は下記のとおりである。P_(4-3) = f(s_1) = 4P_(4-2) = f(s_2) = 8P_(4-1) = f(s_3) = 6P_(4-0) = f(s_4) = 2この時、この次のn+1,n+2,n+3,n+4番目の数列もまた、P_5 = f(s_5) = f(4*2+6) = 4P_6 = f(s_6) = f(4*4+2) = 8P_7 = f(s_7) = f(4*8+4) = 6P_8 = f(s_8) = f(4*6+8) = 2…(C)となる。※ここで規則が見えてきますよね。またn=mのとき、P_m-3=4,P_m-2=8,P_m-1=6,P_m=2が成り立つとして、この次のm+1,m+2,m+3,m+4番目の数列もまた。P_(m+4-3) = P_(m+1) = f(4*2+6) = 4P_(m+4-2) = P_(m+2) = f(4*4+2) = 8P_(m+4-1) = P_(m+3) = f(4*8+4) = 6P_(m+4-0) = P_(m+4) = f(4*6+8) = 2…(D)となり、帰納的に、P_n={4,8,6,2,4,8,6,2…4,8,6,2}と繰り返す数列だとわかる。よってα^2003の1の位は、P_2003 = 6である。
2015年02月01日
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慶應大学医学部 1993年 解と係数の関係と極限
3次方程式 8x^3-6x+1 = 0の解をα,β,γとする。このとき、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)を求めよ。コメント：個人的に好きな問題です。この問題を解くには、数学の基礎知識をいろいろ組み合わせていく必要があります。そういう意味では色々な知識が復習できる意味で非常に良問ですので、練習問題に加えておくといいでしょう。(解法)S=Σ(k=0→n)(α^k+β^k+γ^k)とおくと、下記が成り立つ。S=Σα^k+Σβ^k+Σγ^kS=(1-α^n)/(1-α)+(1-β^n)/(1-β)+(1-γ^n)/(1-γ)…(1)今、α、β、γの大小関係を考える。f(x)=8x^3-6x+1として、第一導関数は下記のとおりである。f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)=6(2x-1)(2x+1)…(2)x=±1/2のとき、f(x)は変曲点を取り、f(1/2) = -2f(-1/2) = 3f(1)=3＞0f(-1)=-13＜0…(2)となるので、三次方程式の各解は-1＜x＜-1/2,-1/2＜x＜1/2, 1/2＜x＜1の間に解をもつ。従っていずれの解も1より小さいので、下記のように収束する。Lim (n→∞) S = 1/(1-α)+1/(1-β)+1/(1-γ)…(3)(3)を変形していくと、(4)式が得られる。ここで、解と係数の関係より、α+β+γ=0、αβ+βγ+γα=-3/4を代入すると1/(1-α)+1/(1-β)+1/(1-γ)= {(1-α)(1-β)+(1-β)(1-γ)+(1-γ)(1-α)}/(1-α)(1-β)(1-γ)= 8{3-2(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)}/{8(1-α)(1-β)(1-γ)}…(4)= 8(3-2*0-3/4)/f(1)= 8*(12/4-3/4)/3= 8*(3/4)= 6となり、求める極値は、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)=6
2015年01月31日
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京大文理共通2009年 整数問題(ルジャンドルの定理その2)
問い：pを素数,nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。コメント：再びルジャンドルの定理の問題です。類題として、早稲田2008年度教育の問題が挙げられます。ルジャンドルの定理自体は入試のパターン問題として、毎年どこかで出題されています。初めて見ると度肝を抜かされる問題ですが、なれると点取り問題です。京大の問題だからってびっくりせず確実に覚えておきましょう。解法(p^n)!がpで割れる回数は、1～p^nまでの数のうち、pを素因数にもつものの数、p^2を素因数に持つものの数、…p^nを素因数に持つものの数の総和と一致する。そこで、1～p^nまでの数のうち、素因数p^kを持つものの個数は、p^n/p^k=p^(n-k)…(1)となる。従って、pで割れる回数をXとすると、下記(2)式であらわせる。X = Σ(k=1～n)p^(n-k) = p^(n-1)+p^(n-2)+…p^2+p+1 X = Σ(k=0～n-1)p^k…(2)等比数列の公式より、X = (p^n - 1) / (p - 1)…(3)となる。従って、(p^n)!は(p^n - 1) / (p - 1)回割ることができる。
2015年01月31日
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2012 青山学院大学 経済学部 ベクトルの典型問題
平面上のベクトル↑a,↑bが、|↑a+2↑b|=1,|2↑a-↑b|=1を満たすように動く。|↑a+↑b|の最大値は(ア)となり、このとき、|↑a|=(イ)、|↑b|=(ウ)である。|↑a+↑b|の最小値は(エ)となり、このとき、|↑a|=(オ)、|↑b|=(カ)である。コメント：センターでも出そうなレベルの問題だが、典型問題である。解法ごと覚えてこの類の問題がでたら確実に得点できるようにしておこう。========================================================(解法)↑a + 2↑b = ↑x …(1)2↑a - ↑b = ↑y…(2)とおくと、|↑x|=1,かつ|↑y|=1となる。(1)、(2)を式変形すると、下記(3)、(4)、(5)式が成り立つ。↑a = (1/5)↑x + (2/5)↑y…(3)↑b = (2/5)↑x - (1/5)↑y…(4)↑a+↑b = (3/5)↑x + (1/5)↑y …(5)今、↑p=↑a+↑bとおく。また、↑xと↑yのなす角をθとおく。このとき、|↑p|の値は下記のようにあらわせる。|↑p|^2 = (9/25)*|↑x|^2+(6/25)*(↑x・↑y)+(1/25)*|↑y|^2 |↑p|^2 = (2/5) + (6/25)*cosθ…(6)(6)より、-1≦cosθ≦1 (0≦θ≦π)なので下記の不等式が成り立つ。4/25 ≦|↑p|^2≦16/252/5 ≦ |↑a+↑b| ≦ 4/5…(7)※(ア)→4/5 , (エ)→2/5さて、θ=0のとき、|↑p|は最大値をとる。従って、↑xと↑yは同じ方向のベクトルとなる。また、|↑x|=|↑y|=1より、↑x = ↑yだといえる。従って、↑a + 2↑b = 2↑a - ↑b ⇔ ↑a = 3↑b…(8)以上より、↑x = 5↑bとなるので、 25|↑b|^2 = 1 ∴ |↑b| = 1/5…(9)が成り立つ。一方↑x = (5/3)↑aとなるので、(25/9)|↑a|^2 = 1 ∴ |↑a|= 3/5…(10)が成り立つ。※(イ)→3/5 , (ウ)→1/5次に、|↑p|が最小となる場合を考える。θ=πで最小であり、↑xと↑yは逆方向のベクトルになる。また、|↑x|=|↑y|=1より、↑x = -↑yだといえる。従って、↑a + 2↑b = -2↑a + ↑b ⇔ ↑b = -3↑a…(11)以上より、↑x = -5↑a となるので、 |↑a| = 1/5…(12)が成り立つ。また↑x = (5/3)↑bとなるので、|↑b| = 3/5…(13)が成り立つ。※(オ)→1/5 , (カ)→3/5
2015年01月31日
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2012 京大理系 多項式の割り算と無理数の証明
1. 2^(1/3)が無理数であることを証明せよ。2. P(x)は有理数を係数とする多項式で、P(2^(1/3))=0を満たしているとする。 このとき、P(x)はx^3-2で割り切れることを証明せよ。コメント：無理数の証明と、多項式の割り算の融合問題。2は冷静に条件を整理していくと、割り切れることが解るはずだ。割り算の原則を思い出そう。===================================1． 2^(1/3)が有理数だと仮定する。 有理数なので、互いに素(1以外に公約数をもたない)整数P,Qを用いて、 2^(1/3) = P/Qと表すことができる。両辺を3乗すると、 P^3/Q^3 = 2 ⇔ Q^3 = 2P^3となる。 ここで、Q^3が偶数となるので、Qは偶数であり、 整数mを用いて、Q=2mとあらわせる。これを代入すると、 2P^3 = 8m^3 ⇔ P^3 = 4m^3となるので、 Pもまた2の倍数となる。以上より、P,Qは2の公約数を持つ。 ところが、P,Qは互いに素であるので矛盾する。 従って、2^(1/3)は無理数となる。2. P(x)をx^3-2で割った時の商をQ(x),余りをax^2+bx+cとする。 ※a,b,cは有理数とする。 このとき、下記(1)式が成り立つ。 P(x)=(x^3-2)*Q(x)+ax^2+bx+c…(1) P(2^(1/3))=0より、 a*2^(2/3)+b*2^(1/3)+c=0…(2) (2)×(2)^(1/3)より、 b*2^(2/3)+c*2^(1/3)+2a=0…(3) (2)*b - (3)*aを計算すると、下記4式が得られる。 (b^2-ac)2^(1/3)+bc-2a^2=0…(4） もしも、b^2-ac≠0だとすると、2^(1/3) = (b^2-ac)/(bc-2a^2)となり、 2^(1/3)が有理数となるので矛盾する。 上記(4)式が恒等的に成り立つには、下記(5)、(6)式が成り立つ必要がある。 b^2=ac …(5) bc=2a^2…(6) (6)より、abc = 2a^3 …(7) (5)より、b^3 = 2a^3 ⇔ b = a*2^(1/3)…(8) となる。ここで、a≠0だとすると、(b/a) = 2^(1/3)となり、 2^(1/3)が有理数となるので矛盾する。 よってa=0となる。(5)に代入すると、b=0となる。 更に(3)に代入すると、c=0となる。 よって、x^3-2で割った余りは0となるので、P(x)はx^3-2で割り切れる。
2015年01月31日
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数学自由研究：13 じゃんけんの勝率について
(1)5人で1回じゃんけんをしたときに、2人が勝つ確率を求めよ。(2)5人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。(3)n人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。コメント：基本問題なのだが、n人で一般化するとわかるだろうか?基本的なことは、じゃんけんを考えるを参考にしてください。n人がじゃんけんしてk人が勝つ確率は、全事象が3^n通り。勝つ人の組み合わせがnCk,そして勝つための手が3とおりあるので、3*nCk/3^n = nCk/3^(n-1)となるのです。(1)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の組み合わせは、5C2=5*4/2*1=10通り。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*10/3^5=10/81が求める確率。(2)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の選び方は、(5C4+5C3+5C2+5C1)= Σ(k=0→5)5Ck - 5C5 - 5C0 = 2^5 - 2 =30とおりである。※2項定理 Σ(k=0→n)nCk = 2^nを使っている。5C5と5C0がないだけだからそれを引いた。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*30/3^5=10/27が求める確率。(3)じゃんけんのn人が出しうるすべての手は3^通り。勝者の選び方は、(nCn-1+…+nC2+nC1)= Σ(k=0→n)nCk - nCn - nC0 = 2^n - 2 勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*(2^n - 2)/3^n = (2^n - 2)/3^(n-1)このようにして、じゃんけんの確率は一般化できる。まずここをしっていてほしい。
2015年01月29日
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2011年 一橋大学 整数問題
(1)自然数x,yは、1＜x＜yおよび、(1+1/x)(1+1/y)=5/3を満たす。 x,yの値を全て求めよ。(2)自然数x,y,zは、1＜x＜y＜zおよび、(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=12/5を満たす。 x,y,zの値を全て求めよ。コメント：(2)をどのように解くかがまさに知恵の使いどころ。答えだけなら、結構簡単に見つかるが、全て調べるとなると難しい。そういうときに問題文の条件をよく読んでみると、答えにたどり着くだろう。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝(1)普通に平方完成しても解けるが条件を絞ってといてみよう。1＜x＜y⇔1/y ＜1/x ＜ 1となるので、(1+1/x)(1+1/y)=5/3＜(1+1/x)^2…(1)を満たす。x=2のとき、(1+1/x)^2 = 9/4 ＞ 5/3となり条件(1)を満たす。x=3のとき、(1+1/x)^2 = 16/9 ＞ 15/9 = 5/3となり条件(1)を満たす。x=4のとき、(1+1/x)^2 = 25/16 = 1+9/16 ＜ 1+2/3 = 1+ 10/15となり条件(1)を満たさない。また、x＞4に対しても(1+1/x)^2は減少関数なので5/3＜(1+1/x)^2が成り立つ。以上より、条件を満たすxは下記の通りである。x＝2、あるいはx＝3…(2)x=2のとき、 3/2 * (1+1/y) = 5/3 ⇔ (1+1/y) = 10/9 ⇔ y = 9x=3のとき、 4/3 * (1+1/y) = 5/3 ⇔ (1+1/y) = 5/4 ⇔ x = 4求める解は、(x,y)=(2,9),(3,4)となる。(2)(1)と同じように絞れば簡単に求められる。1＜x＜y＜z⇔1/z ＜1/y ＜1/x ＜ 1となるので、(1+1/x)(1+1/y)(1＋1/z)= 12/5 ＜ (1+1/x)^3…(1)となる。x=2のとき、27/8 = 3+3/8 ＞ 2+2/5 = 12/5より(1)が成り立つ。x=3のとき、64/27 = 2 + 10/27 ＜ 2+10/25 = 12/5 より(1)が成り立たない。x＞3に対しても、(1+1/x)^3は減少関数であり(1)は成立しない。よって、x=2…(2)(2)を代入すると下記(3)式が成り立つ。(1+1/y)(1＋1/z)= 8/5…(4)同様にして、8/5=(1+1/y)(1＋1/z)＜(1+1/y)^2かつy＞2…(5)を考える。y=3のとき、(1+1/y)^2 = 16/9 ＞ 8/5 = 16/10より(5)が成り立つ。y=4のとき、(1+1/y)^2 = 25/16 = 1+9/16 ＜ 8/5 = 1+9/15より(5)が成り立たない。y＞4に対しても、(1+1/y)^2は減少関数なので(5)は成立しない。よって、y=3…(6)以上より、(1＋1/z)= 6/5となり、z=5と定まる。…(7)求める解は、(x,y,z) = (2,3,5)である。
2015年01月28日
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2012年 京都大学 極限の基礎問題
問：aが正の実数のとき、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)を求めよ。コメント：問題はとてもシンプル。どこかで見たことある形であり、Lim (a→∞) (1+1/a)^a = Lim (a→0) (1+a)^(1/a)= eを想像するかもしれないが、この問題は別の問題である。eに縛られないでほしい。解法：0＜a≦1のとき、1＜(1+a^n)≦1+1^n = 2が成り立つ。従って、1
2015年01月26日
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物理化学-アントワンの式の解析
蒸気圧の経験的な予測式として、アントワンの式がある。アントワンの式は、一般的に下記のように表せる。LogP = A - B/(T+C) …(1)Pは蒸気圧、Tは温度、A,B,Cをアントワン定数という。実験値をもとに、このアントワン定数を効率的に決定するにはどうしたらいいだろうか。測定結果、(T1,P1),(T2,P2),(T3,P3)があるとする。T1-T2 = T2-T3が成り立つ場合を考える。(T1,P1),(T2,P2),(T3,P3)を(1)に代入しよう。(T1+C)LogP1 = (T1+C)A - B⇔(T1+C)A - B - CLogP1 = T1LogP1…(2)(T2+C)LogP2 = (T2+C)A - B⇔(T2+C)A - B - CLogP2 = T2LogP2…(3)(T3+C)LogP3 = (T3+C)A - B⇔(T3+C)A - B - CLogP3 = T3LogP3…(4)更に、(2)から(4)を式変形していこう。(2)-(3)⇔(T1-T2)A - C(LogP1-LogP2) = T1LogP1 - T2LogP2 ⇔(T1-T2)A + C*Log(P2/P1) = T1LogP1 - T2LogP2…(5)(4)-(3)⇔-(T2-T3)A + C*Log(P2/P3) = -T2LogP2 + T3LogP3…(6)(5)、(6)よりCが解析できるが、計算は困難である。ここでT1-T2 = T2-T3という条件を活かすのが得策である。すなわち、(5)+(6)⇔0+Ｃ{Log(P2/P1)+Log(P2/P3)} = T1LogP1 - 2T2LogP2 + T3LogP3 ∴C = (T1LogP1 - 2T2LogP2 + T3LogP3)/Log[(P2*P2)/(P3*P1)]…(7) A = (T1LogP1 - T2LogP2 - CLog(P2/P1))/(T1-T2)…(8) B = (T1+C)A - T1LogP1 - CLogP1 …(9)といった解析解が得られる。アントワンの式を解析するなら、T1-T2 = T2-T3となるようにデータを取って解析するのが簡単だといえる。これを踏まえて、水のA,B,Cを決定していこう。20℃ 17.55 mmHg38℃ 49.75 mmHg56℃ 124.02 mmHgとして(7)~(9)式にそのまま代入するとアントワン定数は下記のように計算できる。C = 235.86A = 7.62B = 1630.56A = 8.02754、B = 1705.616、C = 231.405が文献値だが、大凡の値を求めることができた。ただ、アントワンの式はデータをどう取るか、なかなか難しい式でもあるので蒸気圧解析を行う場合、十分な注意が必要といえる。
2015年01月25日
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大阪大学 2014年 理系 Σ1/√kの整数部分
問：Σ(k=1→40000) 1/√kの整数部分を求めよ。コメント：この問題を数字で眺めても答えはでない。数列の和を求める公式もないし、計算するとなると途方もない。そこで考えてほしい。y＝1/√xを考えた場合、上の和の式は図形的に何を表しているだろうか。こういう発想になったとき、この問題は簡単に解けることに気がつく。これは積分の問題なのだと。その時の感動はとても大きく、だからこの問題を紹介しようと思った。解法：y＝f(x)=1/√xを考える。今、任意の整数kを用いて、座標Ak(k,f(k)),Bk(k,f(k+1)),Ck(k+1,f(k+1)),Dk(k+1,f(k)),Pk(k,0),Qk(k+1,0)を定義する。このとき、長方形AkPkQkBkの面積をRk、CkPkQkDkの面積をSkとすると下記(1)式が成り立つ。Sk < ∫(k→k＋1)1/√xdx < Rk1/√(k+1) < ∫(k→k＋1)1/√xdx < 1/√k…(1)（A)∫(k→k＋1)1/√xdx < 1/√kについて考える。各kごとに積算していくと、Σ(k=1→39999)∫(k→k＋1)1/√xdx < Σ(k=1→39999)1/√k⇔∫(1→40000)1/√xdx < Σ(k=1→39999)1/√k ⇔∫(1→40000)1/√xdx < Σ(k=1→40000)1/√k - 1/√40000⇔∫(1→40000)1/√xdx＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k よって定積分を行うと、2*(√40000-√1)＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k⇔398＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k…(2)（B)1/√(k+1) < ∫(k→k＋1)1/√xdxについて考える。各kごとに積算していくとΣ(k=1→39999)1/√(k+1) < Σ(k=1→39999)∫(k→k＋1)1/√xdx⇔Σ(k=1→39999)1/√(k+1) < ∫(1→40000)1/√xdx⇔-1+Σ(k=1→40000)1/√k
2015年01月25日
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早稲田大学 商学部 2008 関数方程式と数列
正の整数ｎに対して、f(n)とg(n)は0以上の整数で、次の条件(A)~(C)を満たす。(A)g(99)=1、g(100)=0(B)f(100)=1(C)f(n)+f(n+g(n))=f(n+1)を満たす。（1）f(99)を求めよ。（2）g(101)を求めよ（3）f(2008)を求めよ。===============================================コメント：途方もない問題にみえるが、こういう問題は問題文を正確に読み解いて何が使えるのか冷静になって考えること。そうすれば答えが見えてくることもあるだろう。(1) 条件Cより、下記の方程式が成り立つ。f(99)+f(99+g(99)) = f(99+1)f(99)+f(99+1) = f(99+1)f(99) = 0※f(100)+f(100+g(100)) = f(100+1) 2f(100) = f(101) f(101) = 2も求めておこう。(2)f(n)は0以上の整数なので、f(n+1) - f(n) = f(n+g(n)) ≧ 0となり、 f(n)は単調増加する数列だとわかる。…(1) また、f(n+1)-f(n) ≦ f(n+1)[f(n)=0のとき等号成立]は自明であり、 f(n+g(n)) ≦ f(n+1)となる。…(2)。 今,n≧100のとき、f(n)≧f(100)=1は自明であり、 f(n+g(n))＜f(n+1)が常に成り立つ。 従って、n≧100に対してg(n)=0。すなわち、g(101)=0となる。(3)n≧100に対して、g(n)=0なので、f(n+1)= f(n)+f(n+g(n)) = 2f(n)f(n) = 2^(n-100)*f(100)となる。従って、f(2008) = 2^(1908)*f(100)=2^1908
2015年01月25日
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早稲田2008年 教育学部 整数問題(ルジャンドルの定理1)
問い 自然数をnとする。219!は2^nで割り切れるが2^(n+1)で割り切れない。このとき、n=()である。コメント：これは有名問題。ルジャンドルの定理と呼ばれる整数問題の一種。ルジャンドルの定理は、ガウス記号を知らないと理解出来ないでしょうから、過去のガウス記号の問題も読んでください。このルジャンドルの定理ですが、大学受験では何故か有名問題として毎年どこかで使われる問題でもあるので、良く勉強し、覚えていただきたい。いきなり、219!で考えるのは難しいので簡単な例で考えよう。 例：9！だとどうだろうか。 2^nで割った時の商をQとすると、 割り算の原則より9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1=2^n*Qとあらわせるよね。 これをよくみてみよう。 このうち、偶数の個数は2,4,6,8であり、2で割り切れる数の個数は [9/2]=4個。だから9！は2で4回割れるのだから、最低でも9!=2^4*Q とあらわせるよね。だが、それだけでは少ない。 例えば、4はどうだろうか。実は2でもう一回割れるものがある。 先ほどの条件だと2の因数を一つもつものしか数えていない。 2の因数を2個持つものがあるのだ。 2の素因数を2個もつものは、4と8がそれにあたるし、 [9/2^2]=2個あるといえるだろう。 更に、2の因数を3個もつものはどうだろうか [9/2^3]=1個ある(8が該当)。すなわち、2で割り切れる最大回数をpとおくと、 p=[9/2]+[9/2^2]+[9/2^3]=1+2+4=7となり、nの最大値はn=p=7だとわかる これがルジャンドルの定理の基本だ。詳しくはリンク先の解説も読んでほしい。解法：219!が2^nで割れるが、2^(n+1)で割れない場合、219!が素因数2で割ることのできる最大回数をpとすると、n = pとなる。ここで、1から219までの数が2で割れる回数は、[219/2]回である。更に2*2を因数に含んでいるものは、2で割った後も2でもう一度割ることができ、その回は、[219/2^2]回である。同様に2*2*2、2*2*2*2と数えていくと、p=[219/2]+[219/4]+[219/8]+[219/16]+[219/32]+[219/64]+[219/128]p=109+54+27+13+6+3+1=213となる。従ってn = 213となる。
2015年01月25日
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数学自由研究12：核崩壊方程式
我が国では、原発事故を経験しているからこそ、放射性物質がどのような挙動を経て減少していくのか、物理学的に正確に把握する必要があると言える。こういった課題に対し、微分方程式という数学手法は大変有意義なものだ。ここでは、微分方程式によって放射性物質がどのように減少するのか数式化したい。さて、放射性物質Aの個数をNとする。Nが満たすべき方程式は一般的に下記の通りである。dN/dt = -λN…(1)ここでλは比例定数、tは時間を表している。これを解く場合、dN/N = -λdtのように式変形し、同じ変数のものは同じ変数同士まとめてしまうのだ。そして、それぞれの右辺と左辺をそのまま積分すればよい。すなわち、下記の式を得る。∫dN/N = -∫λdtLogN = -λt + C…(2)※Cは積分定数とする。(2)式で注意してほしいが、積分定数を両辺で個別に書く意味はない。すなわち、LogN＋C = -λt + Dのように積分定数C,Dといった具合で二つの積分定数を定義する必要はないのだ。理由は、LogN = -λt + D-Cのように式変形すると結局D-Cが一つの変数になるからである。それはさておき、(2)のような形では具体的な数値を予測できない。もう少し、条件を追加してみよう。(これを初期条件という。)=====================================(A)t = 0のとき、N=N0とする。※N0は定数。(B)t = Tのとき、N=(1/2)N0とする。※このようなTを一般的に半減期という。=====================================上記の条件を追加することで、核崩壊現象を考えてみよう。条件(A)を(2)に代入すると、LogN0 = C…(3)条件(B)、(3)式を(2)に代入すると、Log(N0/2) = -λT + Log(N0)∴-λ ＝ -Log(1/2)/T …(4)従って、(3)、(4)式を(2)に代入すると下記の式が得られる。LogN = Log(1/2)*(t/T) + LogN0Log(N/N0) = Log(1/2)^(t/T)N = N0*(1/2)^(t/T) …(5)以上より、放射性物質はこのような式で予測できるといえる。そうだ。この式を物理の教科書で見たことあるぞ…と思ったあなた。この公式は微分方程式によって導くことができるのである。まずは、核崩壊現象の基本的な数理としてこの式を導けるようになってほしい。
2015年01月24日
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2010 京都大学 確率と極限の融合問題
n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をP_nとする。このとき、極限値 Lim(n→∞) Log(P_n)/n を求めよ。コメント：こういうシンプルな良問が大好きです。n個となっているので、一般化された確率をちゃんと求められるか、確率の基礎力が求められます。後は普通の数学3の計算が理解できていれば、この問題は解答できます。一見すると途方もない問題にみえますが、標準問題として勉強しておきましょう。===========================================================n個のボールを2n個の箱に入れる方法は(2n)^n通りである。※1※1→例えば、n個のボールにA_1,A_2,A_3…A_n、 2n個の箱にB_1,B_2,B_3…B_2nと番号をつけよう。 A_1のボールは、B_1からB_2nの箱に入れることができるので、 A_1のボールの入れ方は2n通りだ。 更にA_2のボールも、B_1からB_2nの箱に入れることができるので、 A_2のボールの入れ方も2n通りだ。 A_1からA_nそれぞれが2n通りの入れ方があり、 積の法則を考えると、2n×2n×2n…=(2n)^nだとわかるはず。更に、どの箱にも一個以下になるように入れる方法は2n*(2n-1)*…*(n+1)通りである。※2※2→A_1の入れ方は2n通り。 A_2の入れ方は1個以下という条件を考えると、 A_1のはいっていない箱から選ばねばならない。 従って、2n-1通り。 A_3もA_1、A_2が入っていない箱から選ばねばならないので 2n-2通りとなる。このように考えていって、 A_nまで見ていくと、上の式が得られる。従って、P_nはP_n = 2n*(2n-1)*(2n-2)*…(n+1)/(2n)^n…(1)となる。ここで、(1)よりLog(P_n)を計算すると、下記のようになる。Log(P_n) = Log[(2n/2n)*(2n-1)/(2n)*…(n+1)/2n]Log(P_n) = {Log[(2n/2n)]+Log[(2n-1)/(2n)]+…+Log[(n+1)/2n]} Log(P_n) = {Log[(n+n)/2n]+Log[(n+n-1)/(2n)]+Log[(n+n-2)/(2n)]…+Log[(n+1)/2n]}Log(P_n) = {Log[(n+1)/2n]+Log[(n+2)/(2n)]+Log[(n+3)/(2n)]…+Log[(n+n)/2n]}Log(P_n) = Σ (k=1→n) Log[(n+k)/2n]Log(P_n) = Σ (k=1→n) Log[(1+k/n)/2]…(2)(2)よりLim (n→∞) Log(P_n)/nは区分級積法を用いて下記の式であらわせる。Lim (n→∞) Log(P_n)/n = ∫(0→1) Log[(1+x)/2]dx= ∫(0→1) (Log(1+x)-Log2) dx= ∫(0→1) Log(1+x)dx -∫(0→1)Log2dx= (1+1)Log(1+1) - 1 - {(1+0)Log(0+1) - 0} - Log2*(1-0)※3= 2Log(2) - 1 - Log(2)= Log(2) - 1※3→∫Log(1+x)dx = ∫(1+x)'Log(1+x)dx = (1+x)Log(1+x) - ∫(1+x){Log(1+x)}'dx = (1+x)Log(x) - xを利用する。
2015年01月24日
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インドネシア語勉強記録その1
1．Selamat Pagi.→おはよう。 2．Selamat Tahun Baru.→新年あけましておめでとう。※Tahunは年。Baruは新しい。 3．Halo, Nama Saya ○○→はじめまして、私の名前は○○です。→Namaは名前。Sayaは私。 4．Saya orang Jepang.→私は日本人です。 orang→~人。Jepangは日本。 5．Selamat Siang.→こんにちは。 6．Selamat Malam.→こんばんは。 7．Selamat Sore. →Good evening. 8．Terima Kasih.→ありがとう。 9．Sampai Jumpa lagi.→See you again. 10．Apa kabar?→お元気ですか？
2015年01月20日
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数学自由研究11：√2の連分数展開
中学数学の知識があればわかるだろうが、1/(√2+1)=√2-1が成り立っている。従って、下記の式が成り立つ。√2=1+1/(√2+1)よく、この式をみると、分数の中に√2がまたでてきている。そこで右辺の√2に√2=…という式を再び代入しよう。すると下記のようになる。√2=1+1/(2+1/(√2+1))また√2がでてきた。これを繰り返してみよう。すると下記の式が得られる。√2というのは,連分数であらわすととてもきれいな式になるのです。もう少し、一般的に考えてみましょう。A[i]の整数部分をB[i], 小数部分をC[i]としたときに、A[i+1]=1/C[i]とすれば連分数分解を行えます。例えば下記の通りです。A[1]=B[1]+1/A[2]=B[1]+1/(B[2]+1/A[3])=B[1]+1/(B[2]+1/(B[3]+1/…))もちろん、C[i]=0になれば、そこで連分数展開は終了。更に、A[m]=A[n]の場合は、連分数展開が循環することになります。√2の連分数展開を考えると、A[1]=√2, B[1]=1, C[1]=√2-1A[2]=√2+1, B[2]=2, C[2]=√2-1A[3]=√2+1, B[3]=2, C[3]=√2-1…A[3]=A[2]は明らか。これらからB[i]は1,2,2,2,2,2,2,...という数列をなす。何ともう美しい数式ではございませんか。
2014年11月16日
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中国語講座その1
うん。勉強になる。他言語勉強したいところだね。
2014年11月15日
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インドネシア語お勧め学習動画リンクその1
業務の都合でインドネシア語を勉強しなければいけない。ということで、解りやすそうな動画を発見したのでリンクしてみた。時間を見つけて勉強しようと思う。今回は発音の基礎について。
2014年11月15日
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数学自由研究10：テイラー展開とマクローリン展開、オイラーの公式
大学の数学の入門になってしまうのですが、テイラー展開とマクローリン展開を直感的に理解できるのが素晴らしい。これらが理解できると、オイラーの公式という非常に素晴らしい公式を導けるようになる。電気工学の基本となる式であり、ぜひ興味がある方は勉強してほしい。
2014年11月15日
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2013 一橋大学 整数問題 倍数の問題
3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 = 2013を満たす正の整数p,qの組を全て求めよ。(コメント)→非常にシンプルで代表的な整数問題にみえるが、計算は少し複雑。計算ミスに気をつければ得点できる問題なのかなとおもった。3p^3+3q^3=(p+q)(3p^2-3pq+3q^2),p^2q+pq^2 = pq(p+q)より、3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q)(2p^2-4pq+2q^2+p^2+q^2)3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q){2(p-q)^2+p^2+q^2} = 2013 = 3*11*61…(1)今、p+q=A, 2(p-q)^2+p^2+q^2=B=F(p,q)とおく。p、qがいずれも正の整数であるとき、p+q≧2となりえる。(等号成立はp=q=1)ところが、p=1かつq=1のとき、A=p+qは偶数になるので、Aが2013の約数にならない。つまり、問題文の条件を満たすためには、A=p+q＞2となることが不可欠である。このとき、p+q ＜ p^2+q^2であり、2(p-q)^2＞0であることを考えると、A＜Bが常に成り立つので、(1)式を満たし、かつ2＜A＜Bとなる組み合わせ(A,B)を考える。すなわち、解の候補として下記が考えられる。(A,B) = (3,671)、(11,183)、(33、61)…(2)また、p+q=A⇔q=A-pとしてBに代入すると、B = 3p^2-4p(A-p)+3(A-p)^2 = 3p^2-4Ap+4p^2+3(A^2-2Ap+p^2)B = 10p^2-10Ap+3A^2…(3)と変形でき、(2)、(3)によって解を絞りこむことにする。(X)…p+q=3のとき、p=1,q=2あるいはp=2,q=1が解となるが、B=F(1,2)=F(2,1) = 3*2^2-4*2*1+3*1^2 =15 - 8 = 7となり、Bが2013の約数にならないので不適(Y)…p+q=11のとき、B=183となる。これを(3)式に代入すると、10p^2-110p+3*121 = 18310p^2-110p+180 = 0p^2-11p+18 = 0(p-2)(p-9)=0p=2,9となり、(p,q)=(2,9),(9,2)を解にもつ。(Z)…p+q=33のとき、B=61となる。これを(3)式に代入すると、10p^2-330p+3*33^2 = 61p^2-33p+(0.25)*33^2-(0.25)*33^2+(0.3)*33^2 = 6.1(p-33/2)^2 = -0.05*1089+6.1＜0となるので、上記条件を満たす実数解pが存在しない。(X)~(Z)を考えると、(p,q)=(2,9),(9,2)が解。
2014年11月15日
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1999 京都大学理学部 後期 数学(三角関数の最大値)
α,β,γはα＞0,β＞0,γ＞0,α+β+γ=πを満たすものとする。このときsinαsinβsinγの最大値を求めよ。(コメント)シンプルな問題だが、シンプルな問題こそ難しい。こういう問題大好きです。色々な解法があると思う。どの解法がいいかわからないけれども、僕が考えたのは、変数が多いので変数を2つに絞り込み、一つの変数を定数と考えた場合の最大値を導関数の正負から求めるというもの。まずはαで求めてみて、式の対称性を考えると、βやγでも同じ式が得られることを利用した。これがシンプルで解りやすいと思うんだけど、どうだろうか？？？ただ、これはいろいろな解法のある良問です。この解法に限らず色々考えてみるといいよ。まずは、ちゃんと勉強してきた受験生が数3の基礎的な知識に基づいて解く方法を語ります。(解法)α＞0,β＞0,γ＞0,α+β+γ=πより、下記が成り立つ。0＜α＜π、0＜β＜π、0＜γ＜π…(1)またα+β+γ=πより、sinαsinβsinγは下記のようにα、βの式であらわせる。sinαsinβsinγ=sinαsinβsin(π-α-β)=sinαsinβsin(α+β)…(2)今、sinβを定数とみなし、f(α)=sinαsinβsin(α+β)と表すことで、f(α)の最大値をとる条件を考える。df(α)/dα= sinβ(sinα)'sin(α+β)+sinβsinα{sin(α+β)}'df(α)/dα= sinβ{cosαsin(α+β)+sinαcos(α+β)}df(α)/dα= sinβsin(2α+β)…(3)(3)をもとに、f(α）が(1)の条件で最大値をとる場合を考える。0＜α＜(π-β)/2 ……(A)のとき、df(α)/dα＞０よって、f(α）は増加関数。(π-β)/2＜α＜π…（B)のとき、df(α)/dα＜０よって、f(α）は減少関数。α＝(π-β)/2 ……(C)のとき、df(α)/dα＝０よって、f(α）は極大値となる。f(0) = 0, f(π)=0より、f(α）が0＜α＜πで最大となるのは、下記(4)の時に限られる。α=(π-β)/2⇔2α＋β = π…(4) 同様にして、式の対称性を考えると下記がなりたつ。sinαsinβsinγ=sinβsinγsin(β+γ)…(5)今、sinγを定数とみなし、g(β)=sinβsinγsin(β＋γ)と表すことで、g(β)の最大値をとる条件を考える。(4)の結果から対称性を考えると、下記(6)のとき、0＜β＜πにおいてg(β)が最大となる。β=(π-γ)/2⇔2β＋γ = π…(6) 更に、式の対称性を考えると下記がなりたつ。sinαsinβsinγ=sinγsinαsin(γ+α)…(7)最後に、sinαを定数とみなし、h(γ)=sinγsinαsin(γ+α)と表すことで、h(γ)の最大値をとる条件を考える。これも(4)を考えると式の対称性から、下記(8)を満たすとき、最大となる。γ=(π-α)/2⇔2γ＋α = π…(8) よって、問題文の条件のときにsinαsinβsinγが最大となるときは、f(α)、g(β)、h(γ)が最大になるときに限られ、これを満たすα、β、γの条件は(4)、(6)、(8)が成り立つ時である。(6)⇔γ＝π－2βより、(8)に代入すると、(8)⇔2π－4β＋α＝π⇔α＝4β-πとなり、これを(4)に代入するとβ=π/3…(10)α=4π/3-π=π/3…(11)γ=π-2*π/3=π/3…(12)(10)~(12)のとき、sinαsinβsinγは最大となり、その最大値は、sinαsinβsinγ=(√3/2)^3 = 3√3/8である。(終わりに…)この問題は、その図形的な意義が面白いし、もっと面白い解法がある。京大受験生が感動した問題を参照すること。図形的な意義も面白いし、凸関数の重心を利用するやり方も面白い。大学数学で機械的に解く方法もある。ラグランジュの未定乗数法である。たいていの極値問題はラグランジュの未定乗数法で解けるので検算方法として知っていてもいいのかもしれない。知っている高校生もいるようだし。詳細は下記ブログに記載されている。数学好きの男子高校生のぶろぐ参考
2014年11月15日
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2013 大阪大学 文系 点と直線の距離の公式の証明
xy平面において、点(x0,y0)と直線ax+by+c=0の距離は、|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)である。これを証明せよ。(コメント)公式は覚えるだけでなく、理解せよというメッセージの感じられる問題です。そういうことを普段から意識している人にとってはこういう問題こそ点とり問題です。個人的には、こういう考え方は大好きで素晴らしい考え方を皆気軽に使いすぎている。そうじゃなくて、なんでこんな考え方になるのですか？と理解して使わなかったら大学いってからも学問を学ぶことができないと思うのだ。そういう意味で、公式を覚えていない受験生は、公式の導出方法もちゃんと理解しておこう。このブログでもそういう議題を扱っていきたい。色々やり方はあるだろうけど、中学生でも理解できる方法は下記。このやり方に限らず色々やりかたがある。個人的にはもう一つの方法として、ベクトルの勉強になるからベクトルで解くのがおすすめ。Pからax+by+c=0に下ろした垂線の足をH(x1,y1)と置く。ax+by+c=0法線ベクトル→n(a,b)とPHの内積を考える。→PHと→nは平行なので→PH・→n=±|→PH|√(a^2+b^2)|→PH・→n|=d√(a^2+b^2)d=|→PH・→n|/√(a^2+b^2)・・・(1)また→PH=(x0-x1,y0-y1)と→n(a,b)の内積はa(x0-x1)+b(y0-y1)・・・(2)(2)を(1)に代入。d=|ax0+by0-ax1-by1|/√(a^2+b^2)・・・(3)(x1,y1)はax+by+c=0上の点なのでax1+by1+c=0c=-ax1-by1(3)に代入。d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)その他の証明は、方法論のリンク参考。
2014年11月13日
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数学自由研究9；ハノイの塔と数列
・一回の移動で動かせる円盤は1枚(一回にニ枚とか三枚とかはだめ。必ず1枚ずつ)・小さな円盤の上に大きな円盤を積み重ねることはできない。(円盤を移動させる途中逆さにしちゃダメ。)・円盤は柱以外の場所へ置くことはできない。(柱ならどこでも移動できる。)ハノイの塔とはこういうルールに従い、塔を作るゲームです。例えば5段を移動させる場合下記のような感じです。これについての算数の解説動画が下記です。このハノイの塔のルールですが、開成番長いわくN段なら2^N-1手必要といっているが、これを数学的に論じるとどうなるだろうか？数列で考えて、n枚のときをＡnとする。Ａnは、 Ａn＝Ａn‐1＋１＋Ａn‐1とあらわせる。これを式変形してＡn＋１＝２（Ａｎ-1＋１）この式は、等比数列の形なので Ａ1＝1よりＡn＋１＝（１＋１）２^(ｎ-1)よってＡn＝２^ｎ―１（答）この問題に中学受験で出会った人は一杯いたかもしれないけれども、これの規則が数学的に解明できるようになるのは、高校です。数列を習ったときに教えてくれる先生がいるといいのですが…
2014年11月12日
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2007 京都大学 (文理共通) 整数問題 素数の性質について
pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧dを満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。(コメント)これはなかなかタフな問題です。でも、好きな問題でもあります。この問題は、問題文の条件で値を絞り込みながら使っていない条件をうまく盛り込んでいくと答えが自然にでてくるという問題です。最初からこの問題を解く全体像を僕は見えていませんし、定石問題でもないですよね。悩む都度、この条件を使うのだろうか？？と考えながら計算していくと、何とか答えがでたというところでしょうか。とてもタフな問題だと思いました。でもそういう問題こそ、京大らしくて大好きです。この問題で学んでほしいのは、問題文の条件とかそういうのって大きなヒントかもしれないし、筆が止まってもどこかで使うのかもと懐疑してほしいということです。それでは解説に入ります。(解法)a = -(b+c+d)より、ad-bc+p=0に代入するとp=(b+c+d)d+bc=d^2+bd+bc+cd=d(b+d)+c(b+d)=(b+d)(c+d)…(1)b = -(a+c+d)より、ad-bc+p=0に代入するとp=-ad-(a+c+d)c=-c^2-cd-ca-ad=-c(c+d)-a(c+d)=-(a+c)(c+d)…(2)c = -(a+b+d)より、ad-bc+p=0に代入するとp=-ad-(a+b+d)b=-b^2-bd-ab-ad=-b(b+d)-a(b+d)=-(a+b)(b+d)…(3)d = -(a+b+c)より、ad-bc+p=0に代入するとp=a(a+b+c)+bc=a^2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)…(4)(1)～(4)を整理すると、pは下記の式を満たす。p=(a+c)(a+b)=(b+d)(c+d)=-(a+c)(c+d)=-(a+b)(b+d)…(5)今、p=(a+c)(a+b)が素数ということは、(a+c)、(a+b)の一方が1、一方がp、または一方が-1、一方が-pのときである。a+b=-p≦-3のとき、a+c=-1となり、a+b＜a+c⇔b＜cとなるが問題文の条件c≦bを満たさず矛盾。よってa+b≠-pa+b=-1のとき、a+b+c+d=0⇔c+d=1となり、c+d＞a+bとなる。ところが、d≦b,c≦aを考えるとc+d≦a+bを満たすはずなので問題文の条件をみたさず矛盾。よってa+b≠-1a+b=1のとき、a+b＜p=a+c⇔b＜cとなるので同様に矛盾。これらの条件から、a+b、およびa+cは下記の条件が成り立つ。a+b=p…(6) a+c=1…(7)更に(5)に(6)、(7)を代入すると(8)、(9)が成り立つ。b+d=-1…(8) c+d=-p…(9)以上より、b,c,dをa、pであらわすと下記のように表せる。b=p-a…(10) c=1-a…(11) d=a-p-1…(12)(10)～(12)をもとに、a,b,c,dの大小関係を考えると下記の不等式が成り立つ。b≦a ⇔ p-a≦a ⇔ p/2 ≦ a…(13)d≦c ⇔ a-p-1≦1-a ⇔ a≦ p/2+1…(14)ここで、pは3以上の奇数なので、任意の自然数kを用いると、p=2k+1と表せる。これを(13)、(14)に代入すると、下記(15)がなりたつ。p/2≦a≦(p+2)/2⇔k+0.5≦a≦k+1.5…(15)これを満たす整数aは、a=k+1⇔a=(p+1)/2…(16)のみである。よって、a,b,c,dの値は下記のとおりである。a=(p+1)/2b=(p-1)/2c=(1-p)/2d=-(p+1)/2この答えが見えた時すごく感動しました。やっぱり京大の数学ってすごいよね。
2014年11月11日
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2001 京都大学 文系 倍数の性質
任意の整数nに対し、n^9-n^3が9の倍数となることを証明せよ。コメント京大の問題としては簡単な方です。特殊な知識を必要とせず、倍数の性質を理解することがこの問題の肝。それではといてみよう。証明f(n) = n^9-n^3とおく。f(n)を因数分解すると、下記の式を満たす。f(n)=n^3(n^6-1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)⇔f(n)=n^3(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)…(1)今任意の整数nを3で割った時の商をk,余りをrとすると割り算の性質より、n=3k+rとあらわせる。すなわち、任意のnはn=3k, n=3k+1, n=3k+2の場合に限られる。以下、それぞれの場合のf(n)の倍数を考える。(A)n=3kのとき、f(n)の約数であるn^3を計算すると、n^3=(3k)^3=3*9k^3となり、n^3は明らかに9の倍数となる。よって、f(n)は9の倍数となっている。(B)n=3k+1のとき、f(n)の約数であるn-1およびn^2+n+1を計算すると、下記の通りである。n-1 = 3kn^2+n+1=(3k+1)^2+(3k+1)+1=(9k^2+6k+1)+3k+1+1 = 3(3k^2+3k+1)よって、f(n)の約数(n-1)(n^2+n+1)は(n-1)(n^2+n+1)=9k(3k^2+3k+1)と表せるのでf(n)は9の倍数である。(C)n=3k+2のとき、f(n)の約数であるn+1およびn^2-n+1を計算すると、下記のとおりである。n+1 = 3(k+1) n^2-n+1=(3k+2)^2-(3k+2)+1=(9k^2+12k+4)-3k-2+1 = 3(3k^2+3k+1)よって、f(n)の約数（n+1)(n^2-n+1）は、（n+1)(n^2-n+1）=9(k+1)(3k^2+3k+1)とあらわせるのでf(n)は9の倍数である。条件A,B,Cにおいて、f(n)は9の倍数となり問題文を示していることが確認できた。
2014年11月10日
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数学自由研究8；カルダノの公式と複素数
都立小金井高校の授業ということだが、こういう素晴らしい講義を高校生にもっと広めたいと思い、紹介する。自分も高校3年の頃、頭が悪かったので大学への数学の特集記事でカルダノの公式が紹介されていたときにちんぷんかんぷんだった記憶がある。だからこそ、都立の高校でこれほど解りやすくカルダノの公式を紹介している講義に出会い、社会人ながら感動を覚えた。皆さまもカルダノの公式を勉強し、理解しよう。
2014年11月09日
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数学自由研究7：何故微分の逆が面積か？という議題について
定積分計算を高校では次のように習うかもしれない。∫(a→b)f(x)dx = F(a) - F(b)ただし、F'(x) = f(x)すなわち微分の逆演算が積分であり、定積分計算を行うとグラフの面積が求められると皆思うかもしれない。より、厳密にいうと上記の定義で定積分をしたからといって面積が求められるとは限らないが、多くの場合、面積を求めることに成功するわけだ。しかし、微分の逆操作が何故、面積と一致するのか？という疑問を多くの学生はクリアーに答えられないかもしれない。発見の歴史を遡ると、運動における考察がヒントになる。詳細は下記の動画をみてほしい。こういった情報を踏まえたうえで、数学的にもう少し厳密に学習できる教材を紹介したい。そこで、高校生に紹介したいのが、MathSelfReading というページである。このサイトでは、数学の話題を数多く提供していてとても素晴らしいが、特にこの辺の議題を理解するには、下記の資料を読んでいただきたくおもう。面積／関数が囲む面積／面積の計算／関数が囲む面積の実例正確な面積の計算／面積の関数／負の面積不定積分／不定積分の性質定積分／定積分の性質／定積分と面積2曲線間の図形の面積／具体的な面積計算／面積計算の工夫※数学自由研究6を読んだ上でこのページを読んだ方がわかりやすいかもしれない。こういった情報を見ていくと、何故定積分をすると面積になるのか？？という腑に落ちない疑問が払拭するだろう。数学の自由研究をしたい人におすすめである。
2014年11月09日
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数学自由研究6－区分求積法と面積の公式について
積分の公式を深く理解するためにも、高校生はこの動画を見た方がいいさ。積分という崇高な概念が生み出された歴史を考えず、突然積分の面積の公式を習っても数学が嫌いになるだけだ。今回は、積分法の基礎を理解するためにこれらの動画を紹介させていただく。
2014年11月09日
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2009 一橋大学 整数問題 ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数
2以上の整数m,nはm^3+1^3=n^3+10^3を満たす。m,nを求めよ。コメント：この問題の背景になっているのが、ハーディ・ラマヌジャンのタクシー数です。ラマヌジャンの逸話の一つでして、それをGoogleで検索すると答えが解ってしまうのですが、どうやって解くべきか考えてみましょう。(解法)m^3+1^3=n^3+10^3⇔m^3-n^3 = 10^3-1^3⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = (10-1)(10^2+10*1+1^2) = 9*111⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = 3^3*37…(1)ここで、二つの整数p,qを用いて下記のようにおく。m-n=p …(2)m^2+mn+n^2=q…(3)(2)×(2)より、(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=p^2⇔m^2+n^2=p^2+2mn…(4)(4)を(3)に代入すると、下記の式が成り立つ。mn=(q-p^2)/3…(5)(5)よりmnは整数となることから、任意の整数をkとして下記の(6)式を満たすkが存在する。q-p^2=3k…(6)また、mn≧4より下記の不等式が成り立つ。q-p^2≧12⇔q≧12+p^2…(7)最後に、(1)が成立するp,qの条件を考えるとp＞0、q＞0…(8)が明らかに成り立っている。条件(6)～(8)を用いて解を探索する。単純に方程式(1)と条件(8)を満たすp,qの組み合わせは下記八つである。(p,q)＝(37,27),(37*3,9),(37*9,3),(37*27,1),(1,27*37),(3,9*37),(9,3*37),(27,37)(7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさないものを省くと、下記の4つが解となりえる。(p,q)＝(1,27*37),(3,9*37),(9,3*37),(27,37)このうち、(p,q)の両方が3の倍数でなければ、条件(6)を満たさないので、解の組み合わせとして、下記二つが妥当だと考えられる。(p,q)＝(3,9*37),(9,3*37)…(9)以下二つの解の場合を考える。(A)(p,q)＝(3,9*37)のとき、m-n=3, m^2+n^2+mn = 999 より(n+3)^2+n^2+n(n+3) = 3333n^2+9n+9=999n^2+3n+3 = 111n(n+3) = 108n^2+3n-12*9 = 0(n-9)(n+12)= 0n≧2より、n=9,m=12(B)(p,q)=(9,3*37)のとき、m-n=9,m^2+n^2+mn = 111より、(n+9)^2+n^2+n(n+9) = 1113n^2+27n+81 = 111n^2+9n+27 = 37n^2+9n-10 = 0(n+10)(n-1)=0n≧2より、解は存在しない。(A),(B)よりn=9,m=12が解となる。解き方としては基本的な倍数の問題であり、さほど難しくはないでしょう。さて、この問題は解くことよりも背景が面白い。実は、12^3+1^3=9^3+10^3＝1729であり、この1729のことをハーディ・ラマヌジャンのタクシー数という。ラマヌジャンとはインドの生んだ天才数学者であり，イギリスに来て1918年2月ごろ療養所に入っていた．見舞いに来たハーディは「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった．さして特徴のない，つまらない数字だったよ．」と言った．これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った．「そんなことはありません．とても興味深い数字です．それは2つの立方数の和で2通りに表せる最小の数なのです．」すなわち、1729が「A=B^3+C^3=D^3+E^3」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。これは、ラマヌジャンの天才ぶりを表すエピソードの一つであるが、数学に詳しい人はニヤニヤしてこの問題を解いたのではないかと推察するよ。まさか、これが入試になるとは…
2014年11月08日
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2005 東京大学 整数問題 倍数の基本的性質
3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。コメント：東大入試にしては簡単な類かもね。こういう問題で得点しないと東大合格は厳しいかも。基本的には、整数の基本的な性質を意識するだけで解ける問題です。頑張って解いてみてください。(解法)aは3以上の奇数なので、a=2k+1とおく。(1≦k≦4999)10000で割り切れるので、任意の自然数pを用いて下記の式が成り立つ。a^2-a = a(a-1) = 2k*(2k+1) = 10000p⇔ k(2k+1)= 5000p…(1)ここで、5000=50*100=5*5*2*5*5*4=8*5^4…(2)であり、2k+1が奇数であることから、kは8の倍数だとわかる。k=8qとおいて(1)式に代入すると、下記三式が成り立つ。8q(16q+1)=5000p⇔q(16q+1) = 5^4*p…(3)このような条件を満たす、(q,16q+1)の値の組を考える。(A)qがpの倍数であるとき、(q,16q+1) = (p,5^4),(5p,5^3),(5^2*p,5^2),(5^3*p,5),(5^4*p,1)が解として考えられるが、これを満たすqは、q=p,16q+1=16p+1=625⇔p=q=624/16=39の場合に限られる。このとき、k=8q=312,a=2*312+1=624+1=625となる。(B)qがpの倍数でないとき、(q,16q+1) = (1,5^4*p),(5,5^3*p),(5^2,5^2*p),(5^3,5*p),(5^4,p)が解として考えられるが、q≧5^n(3≧n≧1)に対して16qは10の倍数になるので、16q+1は5で割って必ず1余る数となる。すなわち、q≧5^n(3≧n≧1)に対してpは必ず分数となる。よって、q≧5^n(3≧n≧1)は解とならない。残りは(q,16q+1) = (1,5^4*p)、(5^4,p)が解として考えられるが、q=1では16q+1が5の倍数にならず、明らかに成立しない。q=5^4=625のとき、pは整数値となり条件を満たしている。ところが、k=8*625=5000となり、a=10001となるがaが9999を超えてしまうので不適。以上より、このようなaは625のみ。ところで、色々な解法を見てもa=2k+1とおかず、aのまま処理しているんだけど、僕はとりあえず条件を満たす文字式は式変形していくことで、より簡単な関係式に直したいです。そうやってより簡単な式を考察していくやり方が好きです。むしろ、そういう思考をしないと落ち着かない悲しい人間なのです。だから、文字式aのままで処理している人の処理能力の高さに感心しますね(笑)おっさんにはない才能だ。
2014年11月08日
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1984 一橋大学 三角関数と整数問題の融合
問い 三角形ABCにおいて、tanA,tanB,tanCの値が全て整数であるとき、それらの値を求めよ。コメント こういうシンプルな問題大好きです。有名な解き方があるのかもしれませんが、 僕の考えた解法をとりあえず載せておきます。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝(解法)三角形においてA≦B≦Cとしても一般性は失われない。今、tanA = m, tanB = nとおくと、三角形において最低二つの角は鋭角になるので、m＞0かつn＞0が成り立つ。更に、m,nが整数であることを考慮するとm,nの満たす条件は下記のとおりである。n≧m≧1…(1)ここで、加法定理よりtanCは下記のようになる。tanC = tan(π-A-B) = -tan(A+B) = -(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tanC = (m+n)/(mn-1)…(2)tanCが整数であるためには、m+n≧mn-1を満たす必要がある。(分数式において分数
2014年11月08日
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2014 一橋大学 整数問題(合同式その5)
a-b-8とb-c-8が全て素数となるような素数の組(a,b,c)を全て求めよ。コメント：非常にシンプルな問題ですよね。一見すると、攻める手立てがなく、多くの受験生にとって漠然とした問題に感じられたのでは？この問題を見た方。とりあえず考えてみえてください。いい練習になります。特に素数の基本的な性質として、素数は2以上であり、2を超える素数は奇数だということを良く意識してください。そのうえで解法を読んでください。解法は書きながら※で注釈をいれて追加のコメントをしていきます。===============================================(解法)a-b-8もb-c-8も素数なので、a-b-8≧2かつb-c-8≧2をみたす。よって下記の不等式がなりたつ。a-b-8≧2かつb-c-8≧2⇔a-b≧10かつb-c≧10⇔a-10≧bかつb≧c+10…(1)(1)より、a≧c+20かつb≧c+10となり、必然的にa,bは2より大きい素数なのでa,bは奇数となる。従って、a-b-8は必ず偶数となり、これを満たす素数は2である。よって、a-b-8=2⇔a=b+10…(2)と定まる。ここで、b-c-8=pとおき、pが奇数の場合、および偶数の場合を考える。(A)pが奇数の場合、b-c-8=pを考えるとbが奇数なので、cが偶数になる。cは素数であることから、c=2となる。このとき、b=10+p…(3),a=20+p…(4)となりa,bが素数となるようなpの値を考えればよい。※なんとなく、この式をみたらp=3、b=13、a=23じゃないのか？と疑問に持ってほしい。 そして僕はこの条件だとこれしか解がないんじゃないの？って思いました。 その時、ふと2004年の早稲田の政経の合同式の問題を思い出しました。 そうか、この問題も3で割ったあまりで考えていくとp=3以外の素数は存在しないと 証明できるんじゃないのか？本質的には早稲田の政経や阪大2013年と同じ問題だ。 こう連想したので、次のように解きました。今、pを3で割ったあまりの値ごとにa,bが存在する条件を考える。(A-1) p≡0(mod3)のとき、pは素数だからp=3となる。このとき、b=13かつa=23より条件を満たしている。(A-2) p≡1(mod3)のとき、a≡21≡0(mod 3)となり、必ずaが20以上の3の倍数になるのでaが素数になることはなく、不適。(A-3) p≡2(mod3)のとき、b≡12≡0(mod 3)となり、必ずbが10以上の3の倍数になるのでbが素数になることはなく、不適。以上より、pが奇数のときの解はp=3に限られ、(a,b,c)=(23,13,3)が解となる。(B)pが偶数の場合、pは素数なのでp=2となる。このとき、b=c+10,a=c+20となり、これらが素数を満たす条件を各cごとに考えていく。同様に、cを3で割ったあまりごとにa,bが存在する条件を考える。(B-1) c≡0(mod3)のとき、cは素数だからc=3となる。このとき、b=13かつa=23より条件を満たしている。(B-2) c≡1(mod3)のとき、a≡21≡0(mod 3)となり、必ずaが20以上の3の倍数になるのでaが素数になることはなく、不適。(B-3) c≡2(mod3)のとき、b≡12≡0(mod 3)となり、必ずbが10以上の3の倍数になるのでbが素数になることはなく、不適。以上より、pが偶数のときの解はp=2に限られ、(a,b,c)=(23,13,2)が解となる。∴(a,b,c)=(23,13,2),(23,13,3)
2014年11月08日
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