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2015年01月31日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
3次方程式 8x^3-6x+1 = 0の解をα,β,γとする。
このとき、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)を求めよ。
コメント：個人的に好きな問題です。この問題を解くには、
数学の基礎知識をいろいろ組み合わせていく必要があります。
そういう意味では色々な知識が復習できる意味で非常に良問ですので、
練習問題に加えておくといいでしょう。
(解法)
S=Σ(k=0→n)(α^k+β^k+γ^k)とおくと、下記が成り立つ。
S=Σα^k+Σβ^k+Σγ^k
今、α、β、γの大小関係を考える。
f(x)=8x^3-6x+1として、第一導関数は下記のとおりである。
f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)=6(2x-1)(2x+1)…(2)
x=±1/2のとき、f(x)は変曲点を取り、
f(1/2) = -2
f(-1/2) = 3
f(1)=3＞0
f(-1)=-13＜0…(2)
となるので、三次方程式の各解は
-1＜x＜-1/2,-1/2＜x＜1/2, 1/2＜x＜1の間に解をもつ。
従っていずれの解も1より小さいので、下記のように収束する。
(3)を変形していくと、(4)式が得られる。
ここで、解と係数の関係より、α+β+γ=0、αβ+βγ+γα=-3/4を代入すると
1/(1-α)+1/(1-β)+1/(1-γ)
= {(1-α)(1-β)+(1-β)(1-γ)+(1-γ)(1-α)}/(1-α)(1-β)(1-γ)
= 8{3-2(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)}/{8(1-α)(1-β)(1-γ)}…(4)
= 8*(12/4-3/4)/3
= 8*(3/4)
= 6
となり、求める極値は、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)=6
このとき、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)を求めよ。
コメント：個人的に好きな問題です。この問題を解くには、
数学の基礎知識をいろいろ組み合わせていく必要があります。
そういう意味では色々な知識が復習できる意味で非常に良問ですので、
練習問題に加えておくといいでしょう。
(解法)
S=Σ(k=0→n)(α^k+β^k+γ^k)とおくと、下記が成り立つ。
S=Σα^k+Σβ^k+Σγ^k
今、α、β、γの大小関係を考える。
f(x)=8x^3-6x+1として、第一導関数は下記のとおりである。
f'(x)=24x^2-6=6(4x^2-1)=6(2x-1)(2x+1)…(2)
x=±1/2のとき、f(x)は変曲点を取り、
f(1/2) = -2
f(-1/2) = 3
f(1)=3＞0
f(-1)=-13＜0…(2)
となるので、三次方程式の各解は
-1＜x＜-1/2,-1/2＜x＜1/2, 1/2＜x＜1の間に解をもつ。
従っていずれの解も1より小さいので、下記のように収束する。
(3)を変形していくと、(4)式が得られる。
ここで、解と係数の関係より、α+β+γ=0、αβ+βγ+γα=-3/4を代入すると
1/(1-α)+1/(1-β)+1/(1-γ)
= {(1-α)(1-β)+(1-β)(1-γ)+(1-γ)(1-α)}/(1-α)(1-β)(1-γ)
= 8{3-2(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)}/{8(1-α)(1-β)(1-γ)}…(4)
= 8*(12/4-3/4)/3
= 8*(3/4)
= 6
となり、求める極値は、Σ(n=0→∞) (α^n+β^n+γ^n)=6
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Re:慶應大学医学部 1993年 解と係数の関係と極限(01/31)
細かい事ですが さん
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