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2014年11月11日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件
a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧dを満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。
(コメント)
これはなかなかタフな問題です。でも、好きな問題でもあります。
この問題は、問題文の条件で値を絞り込みながら使っていない条件をうまく盛り込んでいくと
答えが自然にでてくるという問題です。最初からこの問題を解く全体像を僕は見えていませんし、
定石問題でもないですよね。悩む都度、この条件を使うのだろうか？？と考えながら
計算していくと、何とか答えがでたというところでしょうか。
とてもタフな問題だと思いました。でもそういう問題こそ、京大らしくて大好きです。
大きなヒントかもしれないし、筆が止まってもどこかで使うのかもと
懐疑してほしいということです。
それでは解説に入ります。
(解法)
a = -(b+c+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=(b+c+d)d+bc=d^2+bd+bc+cd=d(b+d)+c(b+d)=(b+d)(c+d)…(1)
b = -(a+c+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=-ad-(a+c+d)c=-c^2-cd-ca-ad=-c(c+d)-a(c+d)=-(a+c)(c+d)…(2)
c = -(a+b+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=-ad-(a+b+d)b=-b^2-bd-ab-ad=-b(b+d)-a(b+d)=-(a+b)(b+d)…(3)
d = -(a+b+c)より、ad-bc+p=0に代入すると
(1)～(4)を整理すると、pは下記の式を満たす。
p=(a+c)(a+b)=(b+d)(c+d)=-(a+c)(c+d)=-(a+b)(b+d)…(5)
今、p=(a+c)(a+b)が素数ということは、
(a+c)、(a+b)の一方が1、一方がp、または一方が-1、一方が-pのときである。
a+b=-p≦-3のとき、a+c=-1となり、a+b＜a+c⇔b＜cとなるが
a+b=-1のとき、a+b+c+d=0⇔c+d=1となり、c+d＞a+bとなる。
ところが、d≦b,c≦aを考えるとc+d≦a+bを満たすはずなので
問題文の条件をみたさず矛盾。よってa+b≠-1
a+b=1のとき、a+b＜p=a+c⇔b＜cとなるので同様に矛盾。
これらの条件から、a+b、およびa+cは下記の条件が成り立つ。
a+b=p…(6) a+c=1…(7)
更に(5)に(6)、(7)を代入すると(8)、(9)が成り立つ。
b+d=-1…(8) c+d=-p…(9)
以上より、b,c,dをa、pであらわすと下記のように表せる。
b=p-a…(10) c=1-a…(11) d=a-p-1…(12)
(10)～(12)をもとに、a,b,c,dの大小関係を考えると下記の不等式が成り立つ。
b≦a ⇔ p-a≦a ⇔ p/2 ≦ a…(13)
d≦c ⇔ a-p-1≦1-a ⇔ a≦ p/2+1…(14)
ここで、pは3以上の奇数なので、任意の自然数kを用いると、
p=2k+1と表せる。これを(13)、(14)に代入すると、下記(15)がなりたつ。
p/2≦a≦(p+2)/2⇔k+0.5≦a≦k+1.5…(15)
これを満たす整数aは、a=k+1⇔a=(p+1)/2…(16)のみである。
よって、a,b,c,dの値は下記のとおりである。
a=(p+1)/2
b=(p-1)/2
c=(1-p)/2
d=-(p+1)/2
この答えが見えた時すごく感動しました。やっぱり京大の数学ってすごいよね。
a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧dを満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。
(コメント)
これはなかなかタフな問題です。でも、好きな問題でもあります。
この問題は、問題文の条件で値を絞り込みながら使っていない条件をうまく盛り込んでいくと
答えが自然にでてくるという問題です。最初からこの問題を解く全体像を僕は見えていませんし、
定石問題でもないですよね。悩む都度、この条件を使うのだろうか？？と考えながら
計算していくと、何とか答えがでたというところでしょうか。
とてもタフな問題だと思いました。でもそういう問題こそ、京大らしくて大好きです。
大きなヒントかもしれないし、筆が止まってもどこかで使うのかもと
懐疑してほしいということです。
それでは解説に入ります。
(解法)
a = -(b+c+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=(b+c+d)d+bc=d^2+bd+bc+cd=d(b+d)+c(b+d)=(b+d)(c+d)…(1)
b = -(a+c+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=-ad-(a+c+d)c=-c^2-cd-ca-ad=-c(c+d)-a(c+d)=-(a+c)(c+d)…(2)
c = -(a+b+d)より、ad-bc+p=0に代入すると
p=-ad-(a+b+d)b=-b^2-bd-ab-ad=-b(b+d)-a(b+d)=-(a+b)(b+d)…(3)
d = -(a+b+c)より、ad-bc+p=0に代入すると
(1)～(4)を整理すると、pは下記の式を満たす。
p=(a+c)(a+b)=(b+d)(c+d)=-(a+c)(c+d)=-(a+b)(b+d)…(5)
今、p=(a+c)(a+b)が素数ということは、
(a+c)、(a+b)の一方が1、一方がp、または一方が-1、一方が-pのときである。
a+b=-p≦-3のとき、a+c=-1となり、a+b＜a+c⇔b＜cとなるが
a+b=-1のとき、a+b+c+d=0⇔c+d=1となり、c+d＞a+bとなる。
ところが、d≦b,c≦aを考えるとc+d≦a+bを満たすはずなので
問題文の条件をみたさず矛盾。よってa+b≠-1
a+b=1のとき、a+b＜p=a+c⇔b＜cとなるので同様に矛盾。
これらの条件から、a+b、およびa+cは下記の条件が成り立つ。
a+b=p…(6) a+c=1…(7)
更に(5)に(6)、(7)を代入すると(8)、(9)が成り立つ。
b+d=-1…(8) c+d=-p…(9)
以上より、b,c,dをa、pであらわすと下記のように表せる。
b=p-a…(10) c=1-a…(11) d=a-p-1…(12)
(10)～(12)をもとに、a,b,c,dの大小関係を考えると下記の不等式が成り立つ。
b≦a ⇔ p-a≦a ⇔ p/2 ≦ a…(13)
d≦c ⇔ a-p-1≦1-a ⇔ a≦ p/2+1…(14)
ここで、pは3以上の奇数なので、任意の自然数kを用いると、
p=2k+1と表せる。これを(13)、(14)に代入すると、下記(15)がなりたつ。
p/2≦a≦(p+2)/2⇔k+0.5≦a≦k+1.5…(15)
これを満たす整数aは、a=k+1⇔a=(p+1)/2…(16)のみである。
よって、a,b,c,dの値は下記のとおりである。
a=(p+1)/2
b=(p-1)/2
c=(1-p)/2
d=-(p+1)/2
この答えが見えた時すごく感動しました。やっぱり京大の数学ってすごいよね。
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