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2014年11月16日
カテゴリ： 数学自由研究
中学数学の知識があればわかるだろうが、
1/(√2+1)=√2-1が成り立っている。
従って、下記の式が成り立つ。
√2=1+1/( √2 +1)
よく、この式をみると、分数の中に√2がまたでてきている。
そこで右辺の√2に√2=…という式を再び代入しよう。
すると下記のようになる。
√2=1+1/(2+1/(√ 2
また√2がでてきた。
これを繰り返してみよう。
すると下記の式が得られる。
√2というのは,連分数であらわすととてもきれいな式になるのです。
もう少し、一般的に考えてみましょう。
A[i]の整数部分をB[i], 小数部分をC[i]としたときに、A[i+1]=1/C[i]とすれば連分数分解を行えます。
例えば下記の通りです。
A[1]=B[1]+1/A[2]
=B[1]+1/(B[2]+1/A[3])
=B[1]+1/(B[2]+1/(B[3]+1/…))
もちろん、C[i]=0になれば、そこで連分数展開は終了。
√2の連分数展開を考えると、
A[1]=√2, B[1]=1, C[1]=√2-1
A[2]=√2+1, B[2]=2, C[2]=√2-1
A[3]=√2+1, B[3]=2, C[3]=√2-1
…
B[i]は1,2,2,2,2,2,2,...という数列をなす。
何ともう美しい数式ではございませんか。
1/(√2+1)=√2-1が成り立っている。
従って、下記の式が成り立つ。
√2=1+1/( √2 +1)
よく、この式をみると、分数の中に√2がまたでてきている。
そこで右辺の√2に√2=…という式を再び代入しよう。
すると下記のようになる。
√2=1+1/(2+1/(√ 2
また√2がでてきた。
これを繰り返してみよう。
すると下記の式が得られる。
√2というのは,連分数であらわすととてもきれいな式になるのです。
もう少し、一般的に考えてみましょう。
A[i]の整数部分をB[i], 小数部分をC[i]としたときに、A[i+1]=1/C[i]とすれば連分数分解を行えます。
例えば下記の通りです。
A[1]=B[1]+1/A[2]
=B[1]+1/(B[2]+1/A[3])
=B[1]+1/(B[2]+1/(B[3]+1/…))
もちろん、C[i]=0になれば、そこで連分数展開は終了。
√2の連分数展開を考えると、
A[1]=√2, B[1]=1, C[1]=√2-1
A[2]=√2+1, B[2]=2, C[2]=√2-1
A[3]=√2+1, B[3]=2, C[3]=√2-1
…
B[i]は1,2,2,2,2,2,2,...という数列をなす。
何ともう美しい数式ではございませんか。
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