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2015年02月01日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
タイトルの通りです。大学受験で超有名な問題です。
前回千葉大学でlog[2]3が無理数かと論じたり、京都大学で、
(2)^(1/3)は無理数かと論じたのでこれも論じてみよう。
====================================
tan1°が有理数だと仮定する。すなわち、互いに素な整数p,qを用いて、
tan1°= p/qと表せるとする。
このとき、tan2°= 2(tan1°)/{1 - (tan1°)^2}=2(p/q)/{1-(p/q)^2}と表せるので、
分子、分母がともに有理数であり、tan2°も有理数となる。
同様に、tan2°,tan4°,tan8°,tan16°,tan32°は有理数である。
であり、右辺辺は有理数となる。
一方、tan30°=1/√3より左辺は無理数であるので、矛盾。
すなわち、tan1°は有理数ではない。
この辺の問題というのは、有理数という概念を理解していますか?
というだけの問題であり、一連の問題は有理数の定義さえしっていれば
焦る問題ではないだろう。
前回千葉大学でlog[2]3が無理数かと論じたり、京都大学で、
(2)^(1/3)は無理数かと論じたのでこれも論じてみよう。
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tan1°が有理数だと仮定する。すなわち、互いに素な整数p,qを用いて、
tan1°= p/qと表せるとする。
このとき、tan2°= 2(tan1°)/{1 - (tan1°)^2}=2(p/q)/{1-(p/q)^2}と表せるので、
分子、分母がともに有理数であり、tan2°も有理数となる。
同様に、tan2°,tan4°,tan8°,tan16°,tan32°は有理数である。
であり、右辺辺は有理数となる。
一方、tan30°=1/√3より左辺は無理数であるので、矛盾。
すなわち、tan1°は有理数ではない。
この辺の問題というのは、有理数という概念を理解していますか?
というだけの問題であり、一連の問題は有理数の定義さえしっていれば
焦る問題ではないだろう。
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