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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.01.22
テーマ： 塾の先生のページ(7782)
カテゴリ： 数学について
今回は 前の記事で扱った整数問題
どうやって考えたか思い出しながら書きます．
q, 2q+1, 4q-1, 6q-1, 8q+1 がすべて素数という条件から，まず分かることは何か？
「q」がある以上，qが2以外の偶数のときは不適だと分かります．
というかq自体が素数でないといけない．
それを踏まえて，とりあえず「実験」です．
q=2のときは順に，2, 5, 7, 11, 17となりすべて素数であるから解．
q=3のときは順に，3, 7, 11, 17, 25となり「25」が素数でないから不適．
q=5のときは順に，5, 11, 19, 29, 41となりすべて素数であるから解．
q=6は偶数だから飛ばす．
q=7のときは順に，7, 15, 27, 41, 57となり「15, 27, 57」が素数でないから不適．
q=8,9,10は素数でないから飛ばす．
q=11のときは順に，11, 23, 43, 65, 89となり「65」が素数でないから不適．
これ以上は数が大きくなるから調べる時間が無駄．
q=2, 5 が解？でも他にあるかもしれない．
第一，問題が「すべて求めよ」ということから場合分けが絶対必要．
問題はどのようにして分けるか？
qは奇数と決まっている以上，偶数，奇数の2つの場合分けは出来ない．
ではどうするか？
(I)q=3n(n≧2)のとき
qが3の倍数となるから，明らかに不適．
(II)q=3n+1(n≧1)のとき
とりあえず2q+1から順にどうなるか計算．
2q+1=2(3n+1)+1=6n+3=3(2n+1)
結構調子良く進む．このまま終わったら楽だなと思いながら次へ・・・
(III)q=3n+2(n≧1)のとき
これも2q+1から順にどうなるか計算．
2q+1=2(3n+2)+1=6n+5
4q-1=4(3n+2)-1=12n+7
6q-1=6(3n+2)-1=18n+11
8q+1=8(3n+2)+1=24n+17
なんだこれ・・・うまく行かない．
他の場合分けって言っても，q=3n+2のときだけが問題だからこのまま行きたい．
ってことで，nを偶数・奇数の2通りに分けてみることに・・・
(i)n=2m(m≧1)のとき
q=3×2m+2=6m+2=2(3m+1)
となり偶数となるから不適．
あとはnが奇数のときのみ！
(ii)n=2m+1(m≧1)のとき
q=3(2m+1)+2=6m+5
2q+1=2(6m+5)+1=12m+11
4q-1=4(6m+5)-1=24m+19
6q-1=6(6m+5)-1=36m+29
8q+1=8(6m+5)+1=48m+41
あらま・・・うまく行かない・・・
ここから更に場合分けは答案が汚くなりすぎて嫌．
でもq=2,5以外に解があるとは考えにくい．
ってことはどれかが必ず何かの倍数になるはず．
ということでここでまた実験．
とは言え，そのままの数字を書くと大変．
倍数で見分けやすいのは何か？
5の倍数なら一の位が0か5になるからすぐ分かる．
しかもq=11(=3×3+2)のときに5の倍数が実際に存在することから，どれかが必ず5の倍数になるのではないか？と予想．
とにかく実験．一の位のみ考える．
q=6m+5・・・1, 7, 3, 9, 5, 1, ・・・
2q+1=12m+11・・・3, 5, 7, 9, 1, 3, ・・・
4q-1=24m+19・・・3, 7, 1, 5, 9, 3, ・・・
6q-1=36m+29・・・5, 1, 7, 3, 9, 5, ・・・
8q+1=48m+41・・・9, 7, 5, 3, 1, 9, ・・・
一の位に注目すると，必ずどれかが5になっている．
これで解はやはりq=2, 5以外にないことが分かるけど，解答としては汚くて仕方がない．
もう一度一の位に注目．
すべてが周期5になっていることが分かる．
周期が5・・・ってことは初めから5の倍数で分ければいいんじゃないの？
ということで5の倍数で分けました．
どうやって考えたか思い出しながら書きます．
q, 2q+1, 4q-1, 6q-1, 8q+1 がすべて素数という条件から，まず分かることは何か？
「q」がある以上，qが2以外の偶数のときは不適だと分かります．
というかq自体が素数でないといけない．
それを踏まえて，とりあえず「実験」です．
q=2のときは順に，2, 5, 7, 11, 17となりすべて素数であるから解．
q=3のときは順に，3, 7, 11, 17, 25となり「25」が素数でないから不適．
q=5のときは順に，5, 11, 19, 29, 41となりすべて素数であるから解．
q=6は偶数だから飛ばす．
q=7のときは順に，7, 15, 27, 41, 57となり「15, 27, 57」が素数でないから不適．
q=8,9,10は素数でないから飛ばす．
q=11のときは順に，11, 23, 43, 65, 89となり「65」が素数でないから不適．
これ以上は数が大きくなるから調べる時間が無駄．
q=2, 5 が解？でも他にあるかもしれない．
第一，問題が「すべて求めよ」ということから場合分けが絶対必要．
問題はどのようにして分けるか？
qは奇数と決まっている以上，偶数，奇数の2つの場合分けは出来ない．
ではどうするか？
(I)q=3n(n≧2)のとき
qが3の倍数となるから，明らかに不適．
(II)q=3n+1(n≧1)のとき
とりあえず2q+1から順にどうなるか計算．
2q+1=2(3n+1)+1=6n+3=3(2n+1)
結構調子良く進む．このまま終わったら楽だなと思いながら次へ・・・
(III)q=3n+2(n≧1)のとき
これも2q+1から順にどうなるか計算．
2q+1=2(3n+2)+1=6n+5
4q-1=4(3n+2)-1=12n+7
6q-1=6(3n+2)-1=18n+11
8q+1=8(3n+2)+1=24n+17
なんだこれ・・・うまく行かない．
他の場合分けって言っても，q=3n+2のときだけが問題だからこのまま行きたい．
ってことで，nを偶数・奇数の2通りに分けてみることに・・・
(i)n=2m(m≧1)のとき
q=3×2m+2=6m+2=2(3m+1)
となり偶数となるから不適．
あとはnが奇数のときのみ！
(ii)n=2m+1(m≧1)のとき
q=3(2m+1)+2=6m+5
2q+1=2(6m+5)+1=12m+11
4q-1=4(6m+5)-1=24m+19
6q-1=6(6m+5)-1=36m+29
8q+1=8(6m+5)+1=48m+41
あらま・・・うまく行かない・・・
ここから更に場合分けは答案が汚くなりすぎて嫌．
でもq=2,5以外に解があるとは考えにくい．
ってことはどれかが必ず何かの倍数になるはず．
ということでここでまた実験．
とは言え，そのままの数字を書くと大変．
倍数で見分けやすいのは何か？
5の倍数なら一の位が0か5になるからすぐ分かる．
しかもq=11(=3×3+2)のときに5の倍数が実際に存在することから，どれかが必ず5の倍数になるのではないか？と予想．
とにかく実験．一の位のみ考える．
q=6m+5・・・1, 7, 3, 9, 5, 1, ・・・
2q+1=12m+11・・・3, 5, 7, 9, 1, 3, ・・・
4q-1=24m+19・・・3, 7, 1, 5, 9, 3, ・・・
6q-1=36m+29・・・5, 1, 7, 3, 9, 5, ・・・
8q+1=48m+41・・・9, 7, 5, 3, 1, 9, ・・・
一の位に注目すると，必ずどれかが5になっている．
これで解はやはりq=2, 5以外にないことが分かるけど，解答としては汚くて仕方がない．
もう一度一の位に注目．
すべてが周期5になっていることが分かる．
周期が5・・・ってことは初めから5の倍数で分ければいいんじゃないの？
ということで5の倍数で分けました．
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最終更新日
2007.01.22 01:24:54
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