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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.02
テーマ： 塾の先生のページ(7854)
カテゴリ： 数学について
現在福井校舎で TeX が使えないが、書けそうなので解説を書いてみよう。
実際には TeX の図の方が見栄えは良いが、携帯からは見れないという欠点もある。
見栄えを気にしなければ、TeX を使わずに書いたほうが良いのだろう。
それでは解説です。
二つの答案のうち、答案 I が間違っています。
ではどこが間違っているのか？
ポイントは「その等号は本当に成り立つの？」である。
まずは、次の事項は分かるだろうか？
（等号成立は，A＝B かつ C＝D のとき）
証明は次の通り。
AC≧BC（等号成立は，A=B のとき）・・・(1)
となる．
また，C≧D＞0 の辺々にB(＞0)を掛けると，
BC≧BD（等号成立は，C=D のとき）・・・(2)
となる．
(1),(2)より，AB≧BC≧BD が成り立つ．
したがって，AC≧BD となる．等号成立は，A=B かつ C=D のとき．
答案 I の等号が成立する条件について考えてみよう！
1 の等号成立条件は、a=2/b ⇔ ab=2 のとき。
2 の等号成立条件は、b=3/b ⇔ ab=3 のとき。
1,2 をまとめた最後の式における等号成立条件は、ab=2 かつ ab=3 のときである。
つまり、1,2 をまとめた最後の式の等号は a, b をどのような値にしたとしても成り立つことはない。
では、次に答案 II について考えてみよう。
答案 II における等号成立条件は、ab=6/ab のとき。
すなわち、ab=√6 のときである。
ということで、ab=√6 のとき、与式は最小値 5+2√6 をとる。
したがって、「～の最小値を求めよ」という問題文のあとに「また、そのときの～の値を求めよ」となくても、最小値をとるときの変数の値を考えるようにしたほうが良い。
実際には TeX の図の方が見栄えは良いが、携帯からは見れないという欠点もある。
見栄えを気にしなければ、TeX を使わずに書いたほうが良いのだろう。
それでは解説です。
二つの答案のうち、答案 I が間違っています。
ではどこが間違っているのか？
ポイントは「その等号は本当に成り立つの？」である。
まずは、次の事項は分かるだろうか？
（等号成立は，A＝B かつ C＝D のとき）
証明は次の通り。
AC≧BC（等号成立は，A=B のとき）・・・(1)
となる．
また，C≧D＞0 の辺々にB(＞0)を掛けると，
BC≧BD（等号成立は，C=D のとき）・・・(2)
となる．
(1),(2)より，AB≧BC≧BD が成り立つ．
したがって，AC≧BD となる．等号成立は，A=B かつ C=D のとき．
答案 I の等号が成立する条件について考えてみよう！
1 の等号成立条件は、a=2/b ⇔ ab=2 のとき。
2 の等号成立条件は、b=3/b ⇔ ab=3 のとき。
1,2 をまとめた最後の式における等号成立条件は、ab=2 かつ ab=3 のときである。
つまり、1,2 をまとめた最後の式の等号は a, b をどのような値にしたとしても成り立つことはない。
では、次に答案 II について考えてみよう。
答案 II における等号成立条件は、ab=6/ab のとき。
すなわち、ab=√6 のときである。
ということで、ab=√6 のとき、与式は最小値 5+2√6 をとる。
したがって、「～の最小値を求めよ」という問題文のあとに「また、そのときの～の値を求めよ」となくても、最小値をとるときの変数の値を考えるようにしたほうが良い。
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最終更新日
2007.02.02 18:40:13
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