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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.03
テーマ： 塾の先生のページ(7854)
カテゴリ： 数学について
相加・相乗平均の関係に関する問題の第4弾．
今回は「分数式の変形における原則」について書きます．
では問題です．
[問題]～携帯用～
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2) の最小値とそのときの x の値を求めよ．
ここで，「a^b」は「a の b 乗」を表すことにします．
またまた分数式の最小値を求める問題．
しかし，今までとは異なり，積が一定というのが見えない．
何とか積が一定になるように変形しなければならない．
その変形方法がポイントである．
分数式の変形における原則というものがある．
それは
「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形すること」
である．
これは具体的には「割り算」をすることによって可能である．
[重要事項]～携帯用～
整式 A を整式 B で割ったときの商を Q，余りを R とすると，
A=BQ+R ← 7=2×3+1 という感じ
と表すことができる．両辺を B で割ると
A/B=Q+R/B ← 7/2=3+1/2 という感じ
となる．
割り算の結果，x^4+7x^2+19=(x^2+2)(x^2+5)+9 となるから，
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=x^2+5+9/(x^2+2)と変形できる．
ここから前回同様，積が一定になるようにするにはどうすればいいか？を考えると，
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+3+9/(x^2+2)となる．
この後は相加・相乗平均の関係が使える条件に気を付けるだけです．
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+9/(x^2+2)+3
x^2+2>0 だから，相加・相乗平均の関係より，
(x^2+2)+9/(x^2+2)≧2√{(x^2+2)・9/(x^2+2)}=6
∴ (x^2+2)+9/(x^2+2)+3≧9
（等号成立は，x^2+2=9/(x^2+2)，すなわち x=±1 のとき）
したがって，求める最小値は9（x=±1のとき）
今回は「分数式の変形における原則」について書きます．
では問題です．
[問題]～携帯用～
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2) の最小値とそのときの x の値を求めよ．
ここで，「a^b」は「a の b 乗」を表すことにします．
またまた分数式の最小値を求める問題．
しかし，今までとは異なり，積が一定というのが見えない．
何とか積が一定になるように変形しなければならない．
その変形方法がポイントである．
分数式の変形における原則というものがある．
それは
「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形すること」
である．
これは具体的には「割り算」をすることによって可能である．
[重要事項]～携帯用～
整式 A を整式 B で割ったときの商を Q，余りを R とすると，
A=BQ+R ← 7=2×3+1 という感じ
と表すことができる．両辺を B で割ると
A/B=Q+R/B ← 7/2=3+1/2 という感じ
となる．
割り算の結果，x^4+7x^2+19=(x^2+2)(x^2+5)+9 となるから，
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=x^2+5+9/(x^2+2)と変形できる．
ここから前回同様，積が一定になるようにするにはどうすればいいか？を考えると，
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+3+9/(x^2+2)となる．
この後は相加・相乗平均の関係が使える条件に気を付けるだけです．
(x^4+7x^2+19)/(x^2+2)=(x^2+2)+9/(x^2+2)+3
x^2+2>0 だから，相加・相乗平均の関係より，
(x^2+2)+9/(x^2+2)≧2√{(x^2+2)・9/(x^2+2)}=6
∴ (x^2+2)+9/(x^2+2)+3≧9
（等号成立は，x^2+2=9/(x^2+2)，すなわち x=±1 のとき）
したがって，求める最小値は9（x=±1のとき）
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最終更新日
2007.02.03 11:12:23
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