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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.04
テーマ： 塾の先生のページ(7838)
カテゴリ： 数学について
相加・相乗平均の関係に関する問題の第5弾．
今回は「分数式の変形におけるもう一つのポイント」について書きます．
[問題]～携帯用～
x＞0のとき，x/(x^2+x+1)の最大値とそのときのxの値を求めよ．
この問題の分数式は「（分子の次数）＜（分母の次数）」を満たしているので，別の変形を考える．
さてどうしよう？
もう一度問題文を見てみよう．
「最大値」を求めよ．
ってある．
ところがこの問題では「最大値」が知りたいらしい．
じゃあ「逆数の最小値」を求めればよいってことになる．
aが最大となるとき，aの逆数1/aが最小となるってことね．
[改題]～携帯用～
x＞0のとき，(x^2+x+1)/x の最小値とそのときのxの値を求めよ．
こうなれば分数式の変形における原則
「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形する」
に従って変形することができる．
[改題の解答]～携帯用～
（与式）=x+1/x+1
x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
∴ x+1/x+1≧3 （等号成立は x＝1 のとき）
したがって，求める最小値は3 （x＝1のとき）
「逆数をとって問題を変える」ことをせずに解答を書いてみよう．
そこで分数式の変形において，もう一つのポイントがある．
「分母・分子を同じ数(式)で割る」
ということだ．
まぁ同じことなんですけどね・・・
利点は「逆数の最小値を求めればよい」と書かずに済むくらいですね．
[解答]～携帯用～
分母・分子をx(≠0)で割って
（与式）=1/(x+1/x+1)
x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
x+1/x≧2√(x・1/x)=2
∴ x+1/x+1≧3
∴ 1/(x+1/x+1)≦1/3（等号成立は，x＝1 のとき）
したがって，求める最大値は1/3（x＝1のとき）
今回は「分数式の変形におけるもう一つのポイント」について書きます．
[問題]～携帯用～
x＞0のとき，x/(x^2+x+1)の最大値とそのときのxの値を求めよ．
この問題の分数式は「（分子の次数）＜（分母の次数）」を満たしているので，別の変形を考える．
さてどうしよう？
もう一度問題文を見てみよう．
「最大値」を求めよ．
ってある．
ところがこの問題では「最大値」が知りたいらしい．
じゃあ「逆数の最小値」を求めればよいってことになる．
aが最大となるとき，aの逆数1/aが最小となるってことね．
[改題]～携帯用～
x＞0のとき，(x^2+x+1)/x の最小値とそのときのxの値を求めよ．
こうなれば分数式の変形における原則
「（分子の次数）＜（分母の次数）となるように変形する」
に従って変形することができる．
[改題の解答]～携帯用～
（与式）=x+1/x+1
x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
∴ x+1/x+1≧3 （等号成立は x＝1 のとき）
したがって，求める最小値は3 （x＝1のとき）
「逆数をとって問題を変える」ことをせずに解答を書いてみよう．
そこで分数式の変形において，もう一つのポイントがある．
「分母・分子を同じ数(式)で割る」
ということだ．
まぁ同じことなんですけどね・・・
利点は「逆数の最小値を求めればよい」と書かずに済むくらいですね．
[解答]～携帯用～
分母・分子をx(≠0)で割って
（与式）=1/(x+1/x+1)
x＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
x+1/x≧2√(x・1/x)=2
∴ x+1/x+1≧3
∴ 1/(x+1/x+1)≦1/3（等号成立は，x＝1 のとき）
したがって，求める最大値は1/3（x＝1のとき）
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最終更新日
2007.02.04 02:16:19
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