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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.04
テーマ： 塾の先生のページ(7838)
カテゴリ： 数学について
今回は相加・相乗平均の関係に関する問題の第5弾・第6弾をまとめて解く方法について書きます．
[問題]～携帯用～
x/(x^2+x+1)の最大値と最小値を求めよ．
考え方としては，分母も分子も好き勝手に動かれては，全体の動きなんてさっぱり分からない．
ということで，全体を一つの文字においてしまえば動きがみやすくなります．
つまり，与式を k とおいて，k の最大値・最小値を求めようということです．
[解答]～携帯用～
x/(x^2+x+1)=k とおくと，
kx^2+(k-1)x+k=0 ・・・(1)
(i) k=0 のとき
(1) ⇔ -x=0 ∴x=0
(ii) k≠0 のとき
(1) の判別式を D とすると，
D=(k-1)^2-4k^2=-3k^2-2k+1
(1) は実数解をもつから，D≧0 より，
-3k^2-2k+1≧0
⇔ 3k^2+2k-1≧0
⇔ (3k-1)(k+1)≧0
∴ -1≦k≦1/3，k≠0
(i)，(ii)より，-1≦k≦1/3
k=1/3 のとき，x=-(k-1)(2k)=1
であるから，求める最大値・最小値は次のようになる．
最大値 1/3 (x=1 のとき)，最小値 -1 (x=-1 のとき)
[問題]～携帯用～
x/(x^2+x+1)の最大値と最小値を求めよ．
考え方としては，分母も分子も好き勝手に動かれては，全体の動きなんてさっぱり分からない．
ということで，全体を一つの文字においてしまえば動きがみやすくなります．
つまり，与式を k とおいて，k の最大値・最小値を求めようということです．
[解答]～携帯用～
x/(x^2+x+1)=k とおくと，
kx^2+(k-1)x+k=0 ・・・(1)
(i) k=0 のとき
(1) ⇔ -x=0 ∴x=0
(ii) k≠0 のとき
(1) の判別式を D とすると，
D=(k-1)^2-4k^2=-3k^2-2k+1
(1) は実数解をもつから，D≧0 より，
-3k^2-2k+1≧0
⇔ 3k^2+2k-1≧0
⇔ (3k-1)(k+1)≧0
∴ -1≦k≦1/3，k≠0
(i)，(ii)より，-1≦k≦1/3
k=1/3 のとき，x=-(k-1)(2k)=1
であるから，求める最大値・最小値は次のようになる．
最大値 1/3 (x=1 のとき)，最小値 -1 (x=-1 のとき)
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最終更新日
2007.02.04 20:06:31
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