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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.09
テーマ： 塾の先生のページ(7838)
カテゴリ： 数学について
高1の授業で少し説明したので具体例を挙げておきます．
この問題を見て
「点Pってどこ？っていうか
『点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする』
の意味が分からない！」
となってどうしたらいいのか分からなくなる人がいると思う．
数学の問題は「～のとき，・・・を求めよ」となっているものが多い．
言うまでもなく，条件や求めるべきものをしっかりと理解することが大切．
条件が数式で表されている場合はまだ楽．
また，求めるべきものも数式ではどういうものを求めるのかということを知っておく必要がある．
それでは一つ一つ整理していこう．
この問題で求めなければならないのは「点Pの軌跡」．
点Pは直線・放物線・円・楕円・双曲線や3次関数などの何かしら曲線を描くわけで，「その方程式を求めなさい」と言われている．
「軌跡を求めよ」と言われれば，通常は，軌跡を描く点の座標を(X,Y)とおいて，X,Yの満たす関係式(方程式)を求めることになる．
ということで，点Pの座標を(X,Y)とおくことにする．
では次に条件とされている
「点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする」
について考えよう．
とりあえず「ただ1つである」という部分は一旦無視して考える．
「点Pを通る直線 l_t」は「直線 l_t は点Pを通る」と言い換えることができる．
実際に代入すると，Y=2tX-t^2 となる．
では「ただ1つである」の部分について考えよう．
何がただ1つ，言い換えると何が1つしかないかというと，「直線 l_t が1つしかない」のである．
では直線 l_t は何によって決まるのか？
問題文にもあるように「実数 t」の値が決まれば，それに応じて直線 l_t が1つだけ決まる．
つまり「Y=2tX-t^2 を満たす t が1つしかない」のである．
Y=2tX-t^2 は t についての2次方程式と見ることができるから，
「t についての2次方程式 t^2-2Xt+Y=0 がただ1つの実数解をもつ」
ということである．
ここまで言い換えればもう分かるよね？
2次方程式がただ1つの実数解をもつ条件について考えればよく，それは判別式が0ということだ．
以上のことを踏まえて解答を書くと次のようになる．
ちなみにこの問題は「包絡線」に関した問題．
包絡線とは・・・与えられた曲線族と接線を共有する曲線，すなわち与えられた（一般には無限個の）全ての曲線たちに接するような曲線のことである．
この問題を見て
「点Pってどこ？っていうか
『点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする』
の意味が分からない！」
となってどうしたらいいのか分からなくなる人がいると思う．
数学の問題は「～のとき，・・・を求めよ」となっているものが多い．
言うまでもなく，条件や求めるべきものをしっかりと理解することが大切．
条件が数式で表されている場合はまだ楽．
また，求めるべきものも数式ではどういうものを求めるのかということを知っておく必要がある．
それでは一つ一つ整理していこう．
この問題で求めなければならないのは「点Pの軌跡」．
点Pは直線・放物線・円・楕円・双曲線や3次関数などの何かしら曲線を描くわけで，「その方程式を求めなさい」と言われている．
「軌跡を求めよ」と言われれば，通常は，軌跡を描く点の座標を(X,Y)とおいて，X,Yの満たす関係式(方程式)を求めることになる．
ということで，点Pの座標を(X,Y)とおくことにする．
では次に条件とされている
「点Pを通る直線 l_t はただ1つであるとする」
について考えよう．
とりあえず「ただ1つである」という部分は一旦無視して考える．
「点Pを通る直線 l_t」は「直線 l_t は点Pを通る」と言い換えることができる．
実際に代入すると，Y=2tX-t^2 となる．
では「ただ1つである」の部分について考えよう．
何がただ1つ，言い換えると何が1つしかないかというと，「直線 l_t が1つしかない」のである．
では直線 l_t は何によって決まるのか？
問題文にもあるように「実数 t」の値が決まれば，それに応じて直線 l_t が1つだけ決まる．
つまり「Y=2tX-t^2 を満たす t が1つしかない」のである．
Y=2tX-t^2 は t についての2次方程式と見ることができるから，
「t についての2次方程式 t^2-2Xt+Y=0 がただ1つの実数解をもつ」
ということである．
ここまで言い換えればもう分かるよね？
2次方程式がただ1つの実数解をもつ条件について考えればよく，それは判別式が0ということだ．
以上のことを踏まえて解答を書くと次のようになる．
ちなみにこの問題は「包絡線」に関した問題．
包絡線とは・・・与えられた曲線族と接線を共有する曲線，すなわち与えられた（一般には無限個の）全ての曲線たちに接するような曲線のことである．
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最終更新日
2007.02.09 05:21:47
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