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【数学】 和算の話 （その３） 外見と内面 ---見かけは怖いが、とんだいい人だ---
関考和は次のような表記方法を考え出しました。 図１ ： 傍書法表の上は、現在使用している西洋式表記です。西洋と交流がなかった日本において、同じような数学表記が誕生したことに、数学の不思議さを感じずにはいられません。これは数学と言うものが、それぞれが勝手に突き詰めていっても、やがては同じような道を辿ることを示しています。仮に宇宙人がいたとしたら、彼らとの意思疎通が数学で行われる根拠でもあります。表記方法は異なっても、同じ宇宙に存在しているならば数学の本質は同じだからです。まあ、宇宙人には遭遇しないほうがよいのですが、それはまた別の話です。----------数学嫌いの一つとして、『数学独特の表記が苦手』 があります。幼いころに植え付けられた数学に対する嫌悪が、数式表記を避けさせるのです。このことは非常に重要な問題です。嫌いな表記を無理やり使わせても、その面白さが感じられるはずがありません。では、各人が好きな表記を使うのはどうでしょうか。そんな馬鹿な。と思うかもしれませんが、数学の本質は表記方法ではなく、その中身なので、表現方法など好きにすればよいのです。実際、物理では 『ニュートン流』 と 『ライプニッツ流』 の二つの表記方法があり、それぞれ好きな方を使ってよいのです。それでもこの２つは、『みんなが使う表記』 として使用を強制されていますが、究極の 『自分専用の表記』 を使用している数学者がいます。それは、ブラックホールの特異点定理をスティーブン・ホーキングと証明した、天才理論物理であるロジャー・ペンローズ（1931～）です。図２ ： ペンローズ流表記一般表記の式は物理で使う式ですが、面白いことに下の絵も同じ数式を意味しているそうです。このマヤ語のような絵は、ペンローズが計算に使うという表記です。たぶん大丸が微分で、四角がPだと思いますが、それがわかってもペンローズ表記の仕組みが分からないのでまったくお手上げです。しかし、鑑賞するなら断然ペンローズ流です。何だか見ているだけで、天才の頭の中を垣間見た気になります。話が和算とずれてきましたが、表記という外面に惑わされて、数学の本質が隠されてしまうのは非常に残念なことです。----------話を元に戻します。紙に数式を書きだす方法を得た和算は、世界で初めて 『行列式』 を発見するに至ります。ニュートンやライプニッツが 『行列式』 を発見したのが１６９３年であり、ファンデルモントが 『行列式の計算』 を発表したのが１７７１年ですが、関は１６８０年代にはすでに 『行列式』 を研究したことが分かっています。また関だけでなく、井関知辰（いぜきともたつ）や田中由真（よしざね）という和算家達も、関とは関係なしにそれぞれ独自に 『行列式』 を発見しています。当時の和算は世界レベルに匹敵していたのです。ニュートンやライプニッツよりも数学研究が進んでいた、誇るべき和算家達がいたことを何故私たちは忘れてしまったのでしょうか。また、関は円周率の計算において、『加速法』 という計算方法を編み出しました。この計算方法は現在で言うところの 『エイトケン加速』 と呼ばれるもので、海外では１９２６年に発見されました。しかし関はそれより２００年早く、その計算方法を発見していたのです。（つづく）----------
2013.03.22
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再び 『蚊』 シリーズ（その９） ---ミクロのカキピー---
終わったと思っていたのは、人間の方だけであった。図１ ： 蚊の卵シャーレに浮いていた蚊の卵は、やがて水中に没した。しかし、今回は研究の予備演習のつもりであったため、卵が水没したことには特に気を払っていなかった。そして、数日後。処分しようとしていたシャーレに一瞥をくれたところ、ふと違和感を覚えた。 何か微生物が増えているようだ。シャーレごと顕微鏡で覗きこんだ。図２ ： 蚊の卵水中にはおびただしい数の蚊の卵が沈殿していた。そして図２（上の卵）のような、カキピーの如く欠けている卵をいくつか発見する。室内が暖かいため、どうやら孵化したらしい。図３ ： ボウフラやはりボウフラが孵化していた。ボウフラといえども、孵化したては顔があどけなく見える。とは言っても、彼らはシャーレ内で一生を終え、解放されることはない。（仕方なく続く・・・のか？）----------【今日のちょっぴり衝撃話】 ・ シャーレの中でボウフラが、共食いをしていた。----------
2009.09.18
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【数学】 数学のタスキ ---「誰だよ～。たすきをメビウスの輪にしたの」---
数学者を長い間悩ませてきたものに 『五次方程式の解（答え）は存在するのか』 という問題があります。・・・あ、チャウチャウみたいに眉間にしわを寄せなくても大丈夫ですよ。今回は数学史なので、数式は使いません。----------数学の初期では、『エックスの２乗たす～云々』 という式が登場しますが、その 『２乗』 が 『二次方程式』 と呼ばれる由来です。二次方程式には、『解の公式』 という便利な公式が存在し、どんな形の二次方程式でも必ず解が存在します。また同じように 『エックスの５乗～云々』 という数式が、五次方程式です。この、『五次方程式に解は存在するのか』 という難題は長い間数学者を悩ませました。今回はそのその難問に立ち向かった代表の５人を紹介します。----------【１人目】彼なくして数学史は語れない。否、むしろ彼自身が数学史か。超天才数学者オイラー。しかし数学というものは知識の積み重ねであり、個人ひとりの力ではおのずと限界があります。数学を飛躍的に発展させたオイラーでも、解決に必要なレベルまで数学を発展させるには、少し時間が足りなかったようです。----------【２人目】物理がなければ数学をやればいいのに。巧みな数学さばきで物理を料理した物理界の鉄人。ラグランジュ。物理を志す者ならば必ず学ばなければならないのが『解析力学』です。それは、物体の運動をまるで譜面を描くが如く数式に表す数学です。達人になると、その数式を撫でるだけで物体の運動を手に取るように感じ取れるという。（嘘）しかし、ラグランジュでも５次方程式の解には到達しませんでした。----------【３人目】その頭脳に神が嫉妬したか。夭折したイケメン数学者。アーベル。『五次方程式の解』 に最初に手が触れたのがアーベルです。その内容は、『五次方程式には一般的な解の公式はない』 というものでした。それは、『解がない』 という意味ではなく、『答えがスパッと出るような便利な公式はない』 という意味です。これは大変大きな一歩でしたが、期待むなしく彼は２７歳で病没しました。----------【４人目】数学者で革命家ってどないやねん。数学界の伝説的カリスマ、ガロア。数学の重要な問題を解決するための手段を与えた『ガロア理論』の祖です。女性をめぐってピストルで決闘の末、出血多量で死亡した。このことはつい最近、ガロアの死亡原因を追究した論文でも再び目にした。数学の中身ではなく、死亡原因がいまだに追及されている数学者は彼くらいだろう。２１歳で没した為に業績が歴史に埋もれかけましたが、それを救ったのがリウヴィルです。【飛び入り参加】超越的な発見、超越数。リウヴィルなくしてガロアなし。他人の業績を横取りすることなど日常茶飯事の世界で、彼は良心的に行動しました。超越数は簡単に言うと作図できない数の事です。（例えば、円周率πは定規とコンパスで作図ができない）----------【５人目】目つきでわかるよ。あんたは天才だ、エルミート。数多くの数学者達を返り討ちにしてきた五次方程式にも、ついに土が付きました。それは、『関数の答えを関数で求める』 という離れ業でした。いいかえると、アーベルが発見した 『答えがスパッと出るような便利な公式はない』というのもこれで意味が通りました。つまり、エルミートが発見した答えは 『関数の答えが別の関数』 という事だからです。簡単に言うと、 五次方程式 ⇒ 解はできないが、 五次方程式 ⇒ （様々な）楕円関数 ⇒ 解なら可能であるということです。----------さて、五次方程式の解の歴史を簡単に紹介しましたが、実は江戸時代にも和算で 『五次方程式の解』 をもとめる研究はされていました。その結末は・・・また別のお話。（おしまい）----------
2013.03.19
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【数学】 和算の五次方程式 ---驚愕の結末---
snowrun29さんからリクエストを頂いた、『和算の五次方程式』 を紹介します。今回紹介するのは、１７７５年に出版された稀覯本 『算法少女』 です。（『算法少女』 ってどんなタイトルやねん！ と突っ込みたくなる気持ちを抑えつつ）これは数学をモチーフにした小説 『数学ガール』 の元祖ではないでしょうか。しかし、数学ガールは読んだことがないので何とも言えませんが。そのタイトルは、著者が千葉桃三の娘・平章子であることに由来するようです。（この行・後日訂正）----------では、『算法少女』 をめくってみます。１６ページ目に五次方程式の問題が載っています。図１ ： 算法少女 １６ページ目 ： 国立国会図書館 蔵書和算には未知数ｘという概念がないので、ｘの何乗と言う表記がありません。そのため和算の方程式は、現在とは逆に、定数 ｘの１乗 ｘの２乗 ｘの三乗…というように次数が小さい方から表します。そうすることにより、その次数の係数を順に並べるだけで、ｘの何乗と言う表記がなくとも何乗の方程式なのかが分かるからです。つまり、２・３・４・５ と書くだけで、 ２ + ３・ｘ + ４・ｘの２乗 ＋ ５・ｘの３乗という方程式を表現することができるのです。それでは、問題文を訳してみます。図２ ： 算法少女 解説何だか変わった書き方ですが、分かると思います。数式の途中で出てくる白棒と黒棒は、正と負の意味です。誤植がありますが、白棒のおかげで問題文が違うまま解き進む悲劇は避けられました。驚くべきは、その係数の大きさです。４０億とは書くだけでも大変です。しかし、もっと驚くべき事があります。それは、答えが１０、４０/３、２５０１/２５０、２０１/２０ だと書いてあるのですが、それに続く文章には、こう書いてあるのです。『数式の解き方は書いてないよ。答えだけは書いておいてあげるから頑張ってね』（現代風意訳） ・・・・・え？・・・・・・・。かくなる上は・・・・・熊八！算盤と算木を持ってこ～い！こうして、庶民の数学レベルがあがっていくのでした。めでたし。めでたし。----------和算書はこのように解説がない物が多く、中には答えすらないものもあります。そのため、口伝で伝えれられ文章として残らなかった和算の概念は歴史に埋もれました。明記しなかった理由として、『他流派にその計算方法が漏れることを防いだ』というのもありますが、結果論から推測すると、『よもや和算が衰退するとは全く想定していなかった』 ことも原因です。----------
2013.03.24
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【数学】 正五角形の作図 ---陰陽師も職人だったのだろうか---
そろそろ顕微鏡が返ってくる頃です。ミジンコのヒゲ、線虫の毛、ケイソウの破片…１０年分たまりにたまった戦場の汚れをおとして、帰ってくるはずです。…覗こうと保管してあるサンプルが、春の陽気に誘われて痛んでいないか心配です。----------さて、前回に正５角形が登場したので、その作図方法の紹介です。正５角形の作図方法はあまり知名度が高くないようです。正５角形は人気があると思うのですが、何故なのでしょうか。浮世絵が好きでも、自分では浮世絵を書かないようなものでしょうか。・・・何か、うまい（もしくは妙な）説得力のある台詞を絶賛募集中。計算式は見づらいので省きました。古来の日本には、次のような作図法もあったようです。後半はただの遊びで資料を写しただけなので、質問されても困ります。３番目の 『円の接点を通る』 作図は、相当無茶な手順なのですが数学的に間違ってはいません。もしかすると無茶な事は知りつつも、図を汚したくなかったので、補助線を極力減らそうとした結果なのかもしれません。----------５角形は格好良い形です。正方形と違い、接地面に対する辺の壁が斜めにしまっている所がスマートです。それに対して控えめな屋根も、なかなか風格を感じます。無人島にひとつ多角形を持っていくとしたら、自分は正５角形を持っていきます。正７角形も捨てがたいのですが、作図できないのでやはり正５角形にします。----------さて、正３角形や正５角形は作図できるのに、同じ奇数である正７角形や正１１角形、正１７角形、正２９角形などはなぜ作図できないのでしょうか。この怪しげな問いにはもちろん 『何かがある』 のですが、それは次回分で解説します。罠があることが分かっていても気にしない猛者の回答をお待ちしております。----------
2013.03.27
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【数学】 和算の話 （その１） ---世界的に稀な数学民族---
（初めに）自分は趣味で数学をやっているだけで 『和算研究家』 ではありません。和算研究者から見れば間違いなく専門性に欠けます。その辺を踏まえてお読みください。----------自分の本業は物理屋ですが、数学の講義も受け持っています。数学を教えていると、必ず耳にする文句があります。 「数学なんか学んで、何の役に立つの？」小学生ならともかく、大人である大学生が口にするのです。確かに生きて行く上では、微分積分は必要とする機会はまずないし、４次元ホモトピー球面なんかは耳にすることすら絶対にありません。では、音楽は生きて行くのに必要でしょうか。芸術やスポーツは生存に必需でしょうか。それは「必要がない」だけであり「意味がない」のとは大いに違います。それらは人生に潤いをもたらすという、大きな「意味がある」のです。では何故、数学が避けられているのか。それは音楽・芸術・スポーツ等と違い、数学は義務教育で強制的に学ばされるからです。（『学ばされる』 という響きはとても嫌いなのですが、話がそれるので割愛します）それなら、数学が強制的でなければ 『趣味』 として扱われることはあるのでしょうか？それに対する答えとしては、『ある』 です。正確に言うと 『あった』 ですが。----------それは江戸時代のことです。受験や試験がないならば決して学ぶ必要のない『数学』が、江戸時代は 『趣味』 として大流行しました。庶民が楽しむ趣味の範囲にしては、その数学レベルは異常に（信じられない程に）ハイレベルで、現在の数学科４年生でも解けないであろう問題はざらでした。そんな超難問の数学は当時 『和算』 と呼ばれており、それを庶民が解いていた嘘のような時代が、江戸時代なのです。-----------そんな和算独特の文化に 『算額』 というものがあります。それは 『算術の扁額』 のことであり、神社仏閣に掲げる額に数学の問題（ときに答え）が書かれているものです。例えば、図１のようなものです。図１ ： 算額想像してみてください。あなたが神社仏閣に参拝した後、ふと社殿を見上げるとそこには、数学が書かれた額がかかっていた。さて、どう感じるでしょうか？それを奇異に感じないほどに、当時は数学（つまり和算）は身近なものであったのです。では何故、算額なんかを奉納するのでしょうか。それは、難問を解く力を授けてくれた神仏の加護に感謝し、奉納したのです。（そこで薬師如来ならぬ算術如来が生まれなかったのは残念ですが）次に算額を人目に触れるところに置くことにより、問題文が広まるようにしたのです。『解けるものなら解いて見ろ』 といった挑発的算額が庶民を刺激し、８次方程式（後日掲載）を解かせるまでに庶民の数学力は向上したのです。（つづく）----------【おまけ】図１は算額では簡単な方ですが、実際問題として解くのは難しいです。使う知識は、相似と三平方の定理だけですが、だからこそ難しいのです。高等な数式を使うだけが数学ではないことを『和算』は教えてくれます。----------
2013.03.20
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【番外編】 真夏のホラー劇場 ---生物顕微鏡で覗くお化け屋敷---
「しょり・・・しょり・・・」聞きなれぬ物音で、旅人は目が覚めた。 「しょり・・・」その奇妙な音はどこから来るのか。灯りのない部屋に寝ていると、音の方向がいまいち掴めない。するりと寝床から抜け出し、壁の隙間から外を覗いた。今日は満月だろうか。月明かりが木々を照らしていた。暫らく目を凝らしていると、背後から音が聞こえてきた。 「しょり・・・」どうやら障子の向こうから聞こえてくるようだ。障子へにじり寄り、隙間へ目を近づけた。揺らめく蝋燭のそばで、白無垢の老婆が何かを砥石で研いでいた。小柄(こづか)だろうか。否、南蛮渡来の小刀かもしれない。いずれにしろ、見慣れぬ光景に目は釘付けになった。不意に老婆が立ち上がり、意外な速さで奥の部屋へ消えた。立ち上がったことに思わずたじろいだが、旅人の視線がまたひきつけられた。砥石の横には、重厚なカラクリが鎮座していた。その怪しげな造形に魅せられたか、気が付けば旅人は、その物体の傍らにいた。老婆は小刀で何かを刻んでいたようだ。生物とも無生物とも言いがたい物体が、これでもかと切り刻まれて散乱している。棚には瑠璃(るり)の小壺がずらりと並んでいる。中に何かが入っているようだ。蝋燭の灯りを近づけ目を凝らしたが、見たことがないものばかりだ。おや。 これは目玉だろうか。小壺を手に取り、灯りに照らした。目玉に身体のようなものが直接生えていた。気が付けば、目玉がこちらを凝視していた。不意に奥の部屋から物音がし、思わず小瓶を落としてしまった。とっさに旅人は足の甲で小瓶を受け止めた。鈍い痛みは、目玉が走り去ったことでどこかに消し飛んでしまった。 嗚呼、やはり普通の家ではなかったか。気が付けば、旅人は全身に汗をかいていた。ここを出なくては。しかし足は震えるばかりでどうにも動かない。顔を横に向けると、あの重厚なカラクリが目に入った。そして、無意識に旅人はカラクリの双頭の筒へ目を近づけた。 ---了---《現代語に解説》 ・白無垢 ： 白衣 ・南蛮渡来の小刀 ： 解剖メス ・重厚なカラクリ ： 顕微鏡 ・瑠璃の小壺 ： ビーカー ----------秘術を使って、気泡を抜くと図２のようになります。 図２ ： 竹気が抜けたので、生気が感じられません。----------画像がぶれているように見えますが、それは後ろ側の細胞が見えているため、ぶれて見えるのです。立体的に映っているとわかれば、また見え方が異なる不思議。スライス技術はまだまだ修行中です。----------
2009.08.04
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【数学】 図が高い 二人羽織で はかる線 ---道路にのびるはヘロンヘロンな図形---
いびつな四角形の面積はどのように計算するのが簡単でしょうか。そのまえに少し補足です。----------kats mizさんが指摘した 『ヘロンの公式』 とは次のような式の事です。補足図１三角形の３辺の長さだけで三角形の面積が求まる便利な公式であり、紀元前３００年よりもさらに昔から知られていたようです。この公式に必要な３つの値は定規だけで求められる為、測定に手間がかからない計算方法となっています。実際、ヘロンの公式を用いて面積を求めていた道路工事に遭遇したのが図２です。補足図２曲がりくねった３０メートルの工事個所に、延々と三角形の辺の長さが描かれていました。あまりにも面白かったので、自分も延々と撮影してしまいました。（この画像は１０年前に撮ったものなので、探し出すのに骨が折れました。）ただこの公式の難点は、根号（ルート）を外す作業が手計算では面倒なことです。現在では計算機がありますが、算盤だけの勘定奉行にはあまり向かない計算方法です。それでは、勘定奉行が採った方法とはいったい何でしょうか。図１まず、見やすくするために数学的な証明を省いた手順だけの解答です。図２いかがでしょうか。 掛け算だけなので、算盤だけで簡単に計算できます。想像以上に簡単な公式であり、最初見たときは大層感心しました。中点と垂線を取る手間はありますが、計算がかけ算だけになるのがこの公式の強みです。どんないびつな四角形でも、２箇所の長さを測るだけで面積が求められるのです。ところで、図３のような絵を見たことがあると思います。図３これは、ご存じの通り検地奉行が農地の面積を求めている絵です。ただ、どのような計算をしている図であるかはあまり知られていないようです。この絵は図２の公式を使って、農地の面積を測量しているのです。農地の真ん中に２人いますが、これは手下が持っている十字の垂直板にヒモがしっかりと垂直に交わっているか検地奉行が検分している図なのです。数学民族である日本人は江戸時代にこの公式を日常的に使用していました。さらにこの絵はよく観察すると、図２の公式でいう 『甲』 の長さをどこにしているのかがわかります。左辺にいる真ん中の人は、よく見ると左辺の真ん中にはいません。 これはつまり、『手前から奥のヒモ』 が公式の 『甲』 に相当し、 右の羽織を着た役人が尺杖を用いて 『右辺の中点』 からの垂線 『乙』 を測っている絵だと分かります。『右辺の中点』 から 『手前から奥のヒモ』 に対して垂線を引いている為、その垂線と左辺の交点が左辺の中心ではないのです。----------最後に、この公式の視覚的な証明として、いびつな四角形を長方形に分割してみます。手順は、図２の解答と同じです。図４なんとすっきりとした分割でしょうか。 『いびつな形の板を買っちゃったけど、無駄に切らずに長方形にしたいな～』という稀な境遇の方は、この分割法を使うと無駄を出さずに綺麗に長方形にできます。そんな机を作った方がいましたら教えてください。----------【おまけ話】和算書で扱うような分割図を載せる予定はないのですが、今回たまたま検地の公式と内容が交わったので、少し和算の話をします。図形分割は和算が得意とするもので、『裁ち合わせ』 と呼んでいたようです。サンプルは沢山あって困るのですが、例えば国立国会図書館が所有する和算書 『観者御伽双紙』 を紹介します。図５ ： 観者御伽双紙 ２５ページ （国立国会図書館：蔵書）筆で書いたとは思えない緻密な図です。文章が読めなくても図形だけで理解はできますが、文章を読みたくなりませんか？自分は和算書を読みたくて、書を勉強しました。学んでみると草書はまるで漢字のように、読むのは簡単で書くのは難しい事を知りました。数学を勉強する為に書を学ぶ。学問と言うものは無関係でも繋がっていて、とてもとても面白いものです。----------
2013.03.17
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ミクロの世界 ---人間は地球の微生物---
図１ ： イカダモ図２ ： 一戸建て 図３ ： テトラスポラ----------
2011.03.26
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茎の堪能の仕方（その３） ---切らなきゃ見えない全体図---
これまで、双子葉草本茎（ドクダミ）と単子葉草本茎（モウソウチク）を覗いてきました。今回は、双子葉木本茎（ハナモモ） を覗きます。サンプルであるハナモモの茎は直径３ミリほどであり、スライスしやすい形状でしたが、硬いうえに表皮がはがれやすく、スライスは非常に困難でした。ミクロのカンナが欲しいところです。図１ ： ハナモモの茎図２ ： 図１の解説双子葉木本茎の維管束はバウムクーヘン状になっているのが特徴です。（思えば、バウムクーヘンに似ているというのもおかしな表現です。 バウムはドイツ語で木を意味しているからです。 クーヘンはケーキの意味）手に入らなかった裸子植物も同じ構造なので、ハナモモで代えさせていただきます。---------- 《茎シリーズ 『茎の堪能の仕方』 まとめ》 双子葉草本茎 ・ 木部・形成層・師部のセットが円形に並ぶ 単子葉草本茎 ・ 木部・師部のセットが、ランダムに配置 ・ 形成層はない 双子葉木本茎 及び 裸子植物の茎 ・ 木部・形成層・師部が、バウムクーヘン状に配置----------『茎シリーズ』 はここで一旦終了です。 花粉やキノコ、ハーブ等、シリーズの候補はあるのですが、なかなか素材がそろいません。かと思えば、茎シリーズのように突如としてシリーズ化するものもあります。つまりネタがそろい次第握ってしまうので、何が出てくるか自分にもわかりません。
2009.06.15
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ミクロの富士山 ---用途不明な器官の話---
『図１において頭部はどちらか』 という話を前回しました。図１（再掲） ： 線虫正解は、細い方（左側）が頭部です。解答者の方々は全滅のようです。 ふっふっふ。一見すると細い方は、進むために必要な尻尾のように見えます。しかしこれは逆であり、進むために必要な触手なのです。目がないため、この触手で前方をまさぐりながら蛇のように進みます。触手の急に細くなっている根元のあたりに何かあるのがわかるでしょうか。これはいわゆる口に相当する部分です。今回のメインである謎の器官と言うのは、図１からも確認できます。どこの部分を言っているのか、是非探してみてください。----------（ＭＥＭＯ） ・１８世紀フランクリンが発明した避雷針は、神の意志にそむくという理由で長い間普及しなかった。----------図２ ： 線虫の謎の器官謎の器官と言うのはこれです。図１のど真ん中にあります。さて、これは何の器官でしょうか。是非その推理を聞かせてください。読者の推理の邪魔になるので、自分の仮説は今回は書きません。----------そしてお決まりの失敗をして、線虫は昇天遊ばしました。図３ ： 線虫の器官うっかりピンセットでつぶしてしまい、臓物が肛門から飛び出してしまいました。この失敗からも、色々と知ったことはあったのですが、それはまたの機会に。----------
2009.10.06
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