PR
キーワードサーチ
▼キーワード検索
☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
カレンダー
コメント新着
フリーページ
2007.02.04
テーマ： 塾の先生のページ(7782)
カテゴリ： 数学について
相加・相乗平均の関係に関する問題の第6弾．
今回は「変数変換の重要性と定義域の変化」について書きます．
[問題]～携帯用～
x＜0のとき，x/(x^2+x+1)の最小値とそのときのxの値を求めよ．
前回と同じ問題ではないですよ．
分数式における最小値を求める問題．
ということは「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予測．
しかし，今までの問題とは大きく異なる点がある．
x＜0という条件に要注意．
じゃあどうするか？
「負」だから使えない．なら「正」にしてしまえばよい．
というか，「負」って考えにくい！「正」の方が考えやすくない？
ってことで無理やり正にしてしまいましょう！
そして，これが今回の最大のポイント！
「x＜0のときは，t を正の数として，x＝-t と置き換えて考える！」
何回も言ってると思うけど，これは思いついているのではない．
こうすれば考えやすいから・解けるからこうするのだ．
こういう一つ一つの考え方を理解し，覚えていくことが重要だ．
「答え」を理解・暗記するのではなく，「考え方」を理解・暗記するのだ．
見たことのない問題を解く際には，まず自分が解いた問題の中で「似たような問題」を探す．
脳内検索によって類似問題が見つかった場合，その問題で使った解法を当てはめてみる．
解けなければ，また脳内検索をして次の手を考える．
それでも解けない場合，その問題を解くための「知識」がないか，「道具の使い方」が分からない（気付いてない）かどちらかだろう．
どちらの場合でもその問題を解くための「知識」や「道具の使い方」を吸収して忘れないようにすればよい．
それでは実際に変数変換してみよう．
[改題]～携帯用～
これで解けるかな？
前回と同様，分数式の変形における原則が満たされているので，分母・分子を同じ式で割ることを考える．
つまり，分母・分子を t で割れば解決！
改題の解答は，元の問題の解答とほとんど重複するため，元の問題の解答を書きます．
[解答]～携帯用～
tを正の数として，x=-t とおくと，
（与式）=-t/(t^2-t+1)
となる．分母・分子をt(≠0)で割って
（与式）=-1/(t+1/t-1)
t＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
t+1/t≧2√(t・1/t)=2
⇔ t+1/t-1≧1
⇔ 1/(t+1/t-1)≦1
∴ -1/(t+1/t-1)≧-1（等号成立は，t＝1 ⇔ x=-1 のとき）
したがって，求める最小値は-1（x＝-1 のとき）
今回は「変数変換の重要性と定義域の変化」について書きます．
[問題]～携帯用～
x＜0のとき，x/(x^2+x+1)の最小値とそのときのxの値を求めよ．
前回と同じ問題ではないですよ．
分数式における最小値を求める問題．
ということは「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予測．
しかし，今までの問題とは大きく異なる点がある．
x＜0という条件に要注意．
じゃあどうするか？
「負」だから使えない．なら「正」にしてしまえばよい．
というか，「負」って考えにくい！「正」の方が考えやすくない？
ってことで無理やり正にしてしまいましょう！
そして，これが今回の最大のポイント！
「x＜0のときは，t を正の数として，x＝-t と置き換えて考える！」
何回も言ってると思うけど，これは思いついているのではない．
こうすれば考えやすいから・解けるからこうするのだ．
こういう一つ一つの考え方を理解し，覚えていくことが重要だ．
「答え」を理解・暗記するのではなく，「考え方」を理解・暗記するのだ．
見たことのない問題を解く際には，まず自分が解いた問題の中で「似たような問題」を探す．
脳内検索によって類似問題が見つかった場合，その問題で使った解法を当てはめてみる．
解けなければ，また脳内検索をして次の手を考える．
それでも解けない場合，その問題を解くための「知識」がないか，「道具の使い方」が分からない（気付いてない）かどちらかだろう．
どちらの場合でもその問題を解くための「知識」や「道具の使い方」を吸収して忘れないようにすればよい．
それでは実際に変数変換してみよう．
[改題]～携帯用～
これで解けるかな？
前回と同様，分数式の変形における原則が満たされているので，分母・分子を同じ式で割ることを考える．
つまり，分母・分子を t で割れば解決！
改題の解答は，元の問題の解答とほとんど重複するため，元の問題の解答を書きます．
[解答]～携帯用～
tを正の数として，x=-t とおくと，
（与式）=-t/(t^2-t+1)
となる．分母・分子をt(≠0)で割って
（与式）=-1/(t+1/t-1)
t＞0だから，相加・相乗平均の関係より，
t+1/t≧2√(t・1/t)=2
⇔ t+1/t-1≧1
⇔ 1/(t+1/t-1)≦1
∴ -1/(t+1/t-1)≧-1（等号成立は，t＝1 ⇔ x=-1 のとき）
したがって，求める最小値は-1（x＝-1 のとき）
お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう
最終更新日
2007.02.04 15:37:52
[数学について] カテゴリの最新記事
-
無限級数～別解～ 2007.03.05
-
部分分数分解 その3 2007.03.05
-
部分分数分解 その2 2007.03.05
【毎日開催】
15記事にいいね！で1ポイント
© Rakuten Group, Inc.
