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☆toshi☆
このブログでは，日々の出来事や中学・高校数学について書いて行きたいと思います．
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2007.02.13
テーマ： 塾の先生のページ(8620)
カテゴリ： 数学について
前回の問題
実際見かける問題もこの形になっていて，前回のような形では出題されない．
この漸化式を解くためには，変形する前の状態（前回の問題の形）に戻さなければならない．
どのようにして変形するかがポイントとなる．
与えられた漸化式が
と変形できたとしよう．(a_n の係数は 2 だから，その部分は変えない)
「+1」という定数を上手い具合に両辺に振り分けてやるのだ．
ここで注意することは，
左辺が「n+1 に関する式」
と添え字を一つだけずらした「同じ形」でなければならない．
それではこの式を展開・整理すると，
となり，係数比較によって c=-1 となることが分かる．
したがって，この問題は前回の問題
と変形でき， 解ける ことが分かる．
では，この定数 c を求めるために，いちいち
とおいて係数比較をしなければならないのか？という疑問が生じる．
そこでよくあるのが，次に示す特性方程式を用いて求める方法である．
この説明をすると，ほぼ確実に次のような質問を受ける．
「a_{n+1} と a_n は違うものなのに，同じ文字でおいても良いのですか？」
確かに異なる値をとるものを同じ文字で置いてしまうところが納得いかないだろう．
「そもそもこの定数 c にはどのような意味があるのか？」
この問題では c=-1 である．
では，数列{a_n}の初項を -1 と仮定しよう．
つまり次のような問題を考える．
この場合の一般項はどうなるだろうか？
上の計算からも分かるように，数列{a_n}の一般項は a_n=-1 となることが分かるだろう．
つまり，a_{n+1}=a_n となるような a_n の値が -1 だったということで，同じ文字において方程式を解けばその値が得られることも分かるだろう．
-1 は特性方程式の解であるから，-1=2・(-1)+1 を満たす．
この等式と元の漸化式から次のように変形することができる．
これで解けるはず．
答案には特性方程式によって -1 を求める過程を書く必要がない．
したがって，解答は次のように書けばよい．
実際見かける問題もこの形になっていて，前回のような形では出題されない．
この漸化式を解くためには，変形する前の状態（前回の問題の形）に戻さなければならない．
どのようにして変形するかがポイントとなる．
与えられた漸化式が
と変形できたとしよう．(a_n の係数は 2 だから，その部分は変えない)
「+1」という定数を上手い具合に両辺に振り分けてやるのだ．
ここで注意することは，
左辺が「n+1 に関する式」
と添え字を一つだけずらした「同じ形」でなければならない．
それではこの式を展開・整理すると，
となり，係数比較によって c=-1 となることが分かる．
したがって，この問題は前回の問題
と変形でき， 解ける ことが分かる．
では，この定数 c を求めるために，いちいち
とおいて係数比較をしなければならないのか？という疑問が生じる．
そこでよくあるのが，次に示す特性方程式を用いて求める方法である．
この説明をすると，ほぼ確実に次のような質問を受ける．
「a_{n+1} と a_n は違うものなのに，同じ文字でおいても良いのですか？」
確かに異なる値をとるものを同じ文字で置いてしまうところが納得いかないだろう．
「そもそもこの定数 c にはどのような意味があるのか？」
この問題では c=-1 である．
では，数列{a_n}の初項を -1 と仮定しよう．
つまり次のような問題を考える．
この場合の一般項はどうなるだろうか？
上の計算からも分かるように，数列{a_n}の一般項は a_n=-1 となることが分かるだろう．
つまり，a_{n+1}=a_n となるような a_n の値が -1 だったということで，同じ文字において方程式を解けばその値が得られることも分かるだろう．
-1 は特性方程式の解であるから，-1=2・(-1)+1 を満たす．
この等式と元の漸化式から次のように変形することができる．
これで解けるはず．
答案には特性方程式によって -1 を求める過程を書く必要がない．
したがって，解答は次のように書けばよい．
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最終更新日
2007.02.13 02:17:13
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