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This is the blog of Maverick , by Maverick , for the people, about COSMOS.
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2008.05.06
カテゴリ： COSMOS
次元の定義とは何か？
デカルト流に定義するなら『次元とは、ある特定の位置を確定するために必要な数値の個数である。』と定義できる。この定義を具体的に見てみる事にしよう。まずは、大きさを持たない点は何次元だろうか？ 点の中に位置は決められないので、点は0次元の存在である。また直線はどうだろうか？ 基準点からの距離をあらわす１つの数値で表されるから、直線及び曲線は１次元である。同じようにして面は２次元、立体は３次元である事がわかる。
また、ユークリッドやポアンカレ流に定義するなら『端が0次元になるものを1次元と呼び、端が1次元になるものを2次元と呼ぶ。また、端が2次元になるものを3次元と呼ぶ。更に端が3次元になるものを4次元と呼ぶ、、、、、』と定義できる。この定義に従えば、何次元でも好きなだけ多くの次元を定義し、数学的に扱う事が出来るのがわかるだろう。
4次元とは何か？
4次元というのは良く聞く言葉だがそれは果たしてどういう意味なのだろうか？
『４次元』と言う言葉は非科学的な印象を伴ったりするが、それは主に私達人間が目にしたり思い描いたりできる空間が3次元までだという事に由来するだろう。
物理的に『4次元』と言う言葉が何を意味するかは、それが『4次元空間』なのか『4次元時空』なのかによって大きく異なる。と言うのは、前者の場合四つ目の次元は私達の知らない未知の方向を表す4番目の空間であるが、後者の場合四つ目の次元とは時間を表すからだ。即ち、前者は3次元空間に四つ目の空間次元を加えた超空間を表し、後者は3次元空間に時間を加えた、この世界そのものをあらわす事になるのである。
では、四つ目の空間次元とはなんだろうか？ 数学的には矛盾なく定義する事が出来るが、私達3次元に住む存在には四つ目の空間次元がどの方向を向いているのか、目で見たり想像したりする事は出来ない。しかし、もしそれが大きさを観測出来ないほど小さい場合や私達が行き来する事の出来ない特別な次元であるなら、たとえ我々が住む世界が4次元空間だとしても人間の知覚や観測結果と矛盾を生じない事になる。
『3次元空間』と『4次元時空』
我々が住むこの世界は、一般的には『３次元空間』だとされている。しかし、アインシュタインによれば『4次元時空』だと言う事になっている。ではどちらが正しいのだろうか？
私達が暮らす空間を眺める限り、１点の位置を決定するのに必要な数値は縦、横、奥行きの3個で十分だ。と言う事は『この世界は3次元だ！』と決め付けるのは少し早い。たとえば、Ａ君とＢさんが待ち合わせをしたとしよう。その約束はこうだ。『元町大丸の時計の前』ところが翌日2人が会うことは出来なかった。『時刻』を決めていなかったからである。このように、ある物事を特定するためには、場所だけでなく時刻をも決定する必要があるのだ。つまり、時刻を目盛りに持つ時間も3次元空間に続く第4の次元と見なす事が出来るのである。とはいえ、時間の性質は、空間とは大きく異なる。たとえば、空間は3次元だが、時間は過去から未来へと向かう一直線だから1次元しかない。しかも空間は行ったり来たり出来るが、時間を自由に行き来する事は出来ない。過去にさかのぼる事はおろか私達は現在の時刻に踏みとどまることすら出来ないのである。さらに、時間の過去と未来は対等ではない。過去は未来に影響を及ぼす事が出来るが、未来は過去に影響を及ぼす事が出来ないのである。
『4次元時空』とは？
では、この世の中で絶対的なものとは、何なのか？ ニュートンによれば『空間と時間』であるが、アインシュタインによれば『光の速度』という事になる。このアインシュタインの考え方は、特殊相対性理論として有名であるが、この相対性とは『立場によって空間や時間は延びたり縮んだりする』と言う事である。と言う事は先程の例において『Ａ君とＢさんに流れる時間のテンポが一致しない』という事になる。コレでは、二人が上手く会えるかどうか、にわかに怪しくなるが、アインシュタインによればこのような時間の食い違いは実際に生じうるというのである。この特殊相対性理論では、時間が伸び縮みする時必ず空間も伸び縮みするのだと言う。そこで、アインシュタインはこの宇宙が持つ3次元空間と1時限の時間を一体の物とみなして『4次元時空』と呼んだのである。
『3次元空間』は影なのか？
3次元の立方体が2次元の平面を通り過ぎる時、その断面は『点→正三角形→六角形→正六角形→六角形→正三角形→点』となる。コレと同じように4次元超立方体が3次元空間を通過する際その断面がどのように変化するのかを考えてみたい。しかしその前に4次元超立方体の作り方を考えなければならない。まず、点を動かして線分を作り、その線分を動かして正方形を作り、正方形を動かして立方体を作る。そして、4番目の空間次元が示す方向に立方体を動かせば、4次元超立方体が完成する。では、本題に戻ろう。4次元空間を扱う幾何学によればその3次元空間における断面は『点→正四面体→八面体→正八面体→八面体→正四面体→点』となる。これが、ユークリッドの言った、私達が見ている世界は影なのかもしれないと言う事なのである。
『4次元目の空間次元』は何が出来る？
“ｄ”の文字を2次元上でどんなに回転させても“ｐ”にはなるが“ｂ”にはならない。しかし、3次元目を使って回転させると“ｂ”に変化させる事が出来る。
コレと同じように4次元目を使えば、右巻きのらせん階段を左巻きに変化させる事が出来るのである。また、しっかりとゲージに入れて鍵をしたはずの愛犬が4次元目を使って脱走する事だって考えられるのである。こんな事が実際には起こりえないのに、なぜ物理学者は、4つ目の空間次元があると主張するのだろうか？ 次の項目で見てみよう。
『4つの力』は統一できるか？
最近では、物理学者の間では、宇宙は『5次元時空』であると言う説が注目を集めている。ではなぜそういった考えが登場してきたのだろうか? その原因は『4つの力』にある。『4つの力』と言うのは『重力』『強い力』『弱い力』『電磁気力』と言う物理学において最も基本的な力である。素粒子物理学ではそれぞれの力は粒子によって伝えられていると考えられており、それぞれ順番に『グラビトン』『グルオン』『ウィークボソン』『フォトン』と言う粒子によって伝えられているとされている。この4つの力が実は同じ一つの力なのではないかというのが4つめの空間次元を必要とする理由なのである。と言うのは、たった1つの立体が円や正方形、正三角形という3つの影を映し出す事が出来るように、この4つの力もたった1つの『根源的な力』が映し出す4つの影なのかも知れないからだ。現在、強い力と弱い力、電磁気力を統一した『大統一理論（ＧＵＴ）』が発表されているが、いまだ『重力』をも統一した、物理学の終着点とも言える『究極の理論』の完成には至っていない。その原因は、重力のみが非常に弱い力であるということだ。
しかし、その理論を完成させるかもしれないのが『ワープした余剰次元モデル』である。
『ワープした余剰次元モデル』とは？
1990年にハーバード大学のリサ・ランドール教授らが提唱した『ワープした余剰次元モデル』とは何なのだろうか？
このモデルでは、私達の宇宙、即ち1つの4次元時空宇宙を1つのブレーンと考え、私達はそのブレーンの中に閉じ込められており、その外にはグラビトンのみが行き来できる第5の次元が存在していると言うのである。またその第5の次元はワープ(湾曲)しておりその先にはもう1つのブレーンが存在するとしている。そのもう1つのブレーンでは、グラビトンが密に存在し重力が強く、ワープした次元によりグラビトンの密度が薄められ、我々のブレーンでは重力が弱くなっていると説明するのである。
『第5の次元』は実証できるか？
現在スイス、ジュネーブの地下で、巨大な粒子加速器の建設が最終段階を迎えている。CERN(ヨーロッパ原子核研究機構)の『LHC(大型ハドロン衝突加速器)』で、その全長は一周27kmにも及ぶ。このHLCでは陽子を光速の99.9999991％まで加速させる事ができ、更にその陽子を正面衝突させる事ができるというのである。『ワープする余剰次元モデル』では、陽子の衝突によって新たに生じる粒子の状態を測定する事によって『第5の次元』の存在を確かめる事が可能だと言う。即ち、第五の次元方向に運動量を持つグラビトン(カルツァー・クライン粒子)が出現しその効果が検出される可能性があるということだ。
私達は幸運な事に、今後数年のうちに次元の常識が覆されるという、科学史上きわめて重大な事件に立ち会う事ができるかもしれないのだ。
デカルト流に定義するなら『次元とは、ある特定の位置を確定するために必要な数値の個数である。』と定義できる。この定義を具体的に見てみる事にしよう。まずは、大きさを持たない点は何次元だろうか？ 点の中に位置は決められないので、点は0次元の存在である。また直線はどうだろうか？ 基準点からの距離をあらわす１つの数値で表されるから、直線及び曲線は１次元である。同じようにして面は２次元、立体は３次元である事がわかる。
また、ユークリッドやポアンカレ流に定義するなら『端が0次元になるものを1次元と呼び、端が1次元になるものを2次元と呼ぶ。また、端が2次元になるものを3次元と呼ぶ。更に端が3次元になるものを4次元と呼ぶ、、、、、』と定義できる。この定義に従えば、何次元でも好きなだけ多くの次元を定義し、数学的に扱う事が出来るのがわかるだろう。
4次元とは何か？
4次元というのは良く聞く言葉だがそれは果たしてどういう意味なのだろうか？
『４次元』と言う言葉は非科学的な印象を伴ったりするが、それは主に私達人間が目にしたり思い描いたりできる空間が3次元までだという事に由来するだろう。
物理的に『4次元』と言う言葉が何を意味するかは、それが『4次元空間』なのか『4次元時空』なのかによって大きく異なる。と言うのは、前者の場合四つ目の次元は私達の知らない未知の方向を表す4番目の空間であるが、後者の場合四つ目の次元とは時間を表すからだ。即ち、前者は3次元空間に四つ目の空間次元を加えた超空間を表し、後者は3次元空間に時間を加えた、この世界そのものをあらわす事になるのである。
では、四つ目の空間次元とはなんだろうか？ 数学的には矛盾なく定義する事が出来るが、私達3次元に住む存在には四つ目の空間次元がどの方向を向いているのか、目で見たり想像したりする事は出来ない。しかし、もしそれが大きさを観測出来ないほど小さい場合や私達が行き来する事の出来ない特別な次元であるなら、たとえ我々が住む世界が4次元空間だとしても人間の知覚や観測結果と矛盾を生じない事になる。
『3次元空間』と『4次元時空』
我々が住むこの世界は、一般的には『３次元空間』だとされている。しかし、アインシュタインによれば『4次元時空』だと言う事になっている。ではどちらが正しいのだろうか？
私達が暮らす空間を眺める限り、１点の位置を決定するのに必要な数値は縦、横、奥行きの3個で十分だ。と言う事は『この世界は3次元だ！』と決め付けるのは少し早い。たとえば、Ａ君とＢさんが待ち合わせをしたとしよう。その約束はこうだ。『元町大丸の時計の前』ところが翌日2人が会うことは出来なかった。『時刻』を決めていなかったからである。このように、ある物事を特定するためには、場所だけでなく時刻をも決定する必要があるのだ。つまり、時刻を目盛りに持つ時間も3次元空間に続く第4の次元と見なす事が出来るのである。とはいえ、時間の性質は、空間とは大きく異なる。たとえば、空間は3次元だが、時間は過去から未来へと向かう一直線だから1次元しかない。しかも空間は行ったり来たり出来るが、時間を自由に行き来する事は出来ない。過去にさかのぼる事はおろか私達は現在の時刻に踏みとどまることすら出来ないのである。さらに、時間の過去と未来は対等ではない。過去は未来に影響を及ぼす事が出来るが、未来は過去に影響を及ぼす事が出来ないのである。
『4次元時空』とは？
では、この世の中で絶対的なものとは、何なのか？ ニュートンによれば『空間と時間』であるが、アインシュタインによれば『光の速度』という事になる。このアインシュタインの考え方は、特殊相対性理論として有名であるが、この相対性とは『立場によって空間や時間は延びたり縮んだりする』と言う事である。と言う事は先程の例において『Ａ君とＢさんに流れる時間のテンポが一致しない』という事になる。コレでは、二人が上手く会えるかどうか、にわかに怪しくなるが、アインシュタインによればこのような時間の食い違いは実際に生じうるというのである。この特殊相対性理論では、時間が伸び縮みする時必ず空間も伸び縮みするのだと言う。そこで、アインシュタインはこの宇宙が持つ3次元空間と1時限の時間を一体の物とみなして『4次元時空』と呼んだのである。
『3次元空間』は影なのか？
3次元の立方体が2次元の平面を通り過ぎる時、その断面は『点→正三角形→六角形→正六角形→六角形→正三角形→点』となる。コレと同じように4次元超立方体が3次元空間を通過する際その断面がどのように変化するのかを考えてみたい。しかしその前に4次元超立方体の作り方を考えなければならない。まず、点を動かして線分を作り、その線分を動かして正方形を作り、正方形を動かして立方体を作る。そして、4番目の空間次元が示す方向に立方体を動かせば、4次元超立方体が完成する。では、本題に戻ろう。4次元空間を扱う幾何学によればその3次元空間における断面は『点→正四面体→八面体→正八面体→八面体→正四面体→点』となる。これが、ユークリッドの言った、私達が見ている世界は影なのかもしれないと言う事なのである。
『4次元目の空間次元』は何が出来る？
“ｄ”の文字を2次元上でどんなに回転させても“ｐ”にはなるが“ｂ”にはならない。しかし、3次元目を使って回転させると“ｂ”に変化させる事が出来る。
コレと同じように4次元目を使えば、右巻きのらせん階段を左巻きに変化させる事が出来るのである。また、しっかりとゲージに入れて鍵をしたはずの愛犬が4次元目を使って脱走する事だって考えられるのである。こんな事が実際には起こりえないのに、なぜ物理学者は、4つ目の空間次元があると主張するのだろうか？ 次の項目で見てみよう。
『4つの力』は統一できるか？
最近では、物理学者の間では、宇宙は『5次元時空』であると言う説が注目を集めている。ではなぜそういった考えが登場してきたのだろうか? その原因は『4つの力』にある。『4つの力』と言うのは『重力』『強い力』『弱い力』『電磁気力』と言う物理学において最も基本的な力である。素粒子物理学ではそれぞれの力は粒子によって伝えられていると考えられており、それぞれ順番に『グラビトン』『グルオン』『ウィークボソン』『フォトン』と言う粒子によって伝えられているとされている。この4つの力が実は同じ一つの力なのではないかというのが4つめの空間次元を必要とする理由なのである。と言うのは、たった1つの立体が円や正方形、正三角形という3つの影を映し出す事が出来るように、この4つの力もたった1つの『根源的な力』が映し出す4つの影なのかも知れないからだ。現在、強い力と弱い力、電磁気力を統一した『大統一理論（ＧＵＴ）』が発表されているが、いまだ『重力』をも統一した、物理学の終着点とも言える『究極の理論』の完成には至っていない。その原因は、重力のみが非常に弱い力であるということだ。
しかし、その理論を完成させるかもしれないのが『ワープした余剰次元モデル』である。
『ワープした余剰次元モデル』とは？
1990年にハーバード大学のリサ・ランドール教授らが提唱した『ワープした余剰次元モデル』とは何なのだろうか？
このモデルでは、私達の宇宙、即ち1つの4次元時空宇宙を1つのブレーンと考え、私達はそのブレーンの中に閉じ込められており、その外にはグラビトンのみが行き来できる第5の次元が存在していると言うのである。またその第5の次元はワープ(湾曲)しておりその先にはもう1つのブレーンが存在するとしている。そのもう1つのブレーンでは、グラビトンが密に存在し重力が強く、ワープした次元によりグラビトンの密度が薄められ、我々のブレーンでは重力が弱くなっていると説明するのである。
『第5の次元』は実証できるか？
現在スイス、ジュネーブの地下で、巨大な粒子加速器の建設が最終段階を迎えている。CERN(ヨーロッパ原子核研究機構)の『LHC(大型ハドロン衝突加速器)』で、その全長は一周27kmにも及ぶ。このHLCでは陽子を光速の99.9999991％まで加速させる事ができ、更にその陽子を正面衝突させる事ができるというのである。『ワープする余剰次元モデル』では、陽子の衝突によって新たに生じる粒子の状態を測定する事によって『第5の次元』の存在を確かめる事が可能だと言う。即ち、第五の次元方向に運動量を持つグラビトン(カルツァー・クライン粒子)が出現しその効果が検出される可能性があるということだ。
私達は幸運な事に、今後数年のうちに次元の常識が覆されるという、科学史上きわめて重大な事件に立ち会う事ができるかもしれないのだ。
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Last updated
2008.05.06 19:40:11
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