再生核研究所

何故数学を学ぶか

数学における最高の結果

数学が神秘的に美しいこと

始めに、数学とは何かを、考えたいと思います。　数学とは何かが　歴史的にも　うまく述べられていないようであったので、

（数学名言集:　ヴィルチェンコ編、松野武、山崎昇訳　1989年　大竹出版　参照）、

数学とは何かを論じ、さらに数学における最高の成果と、数学が神秘的に美しいことを　論文で発表しました：

(Themistocles M. Rassias, Editor: Nonlinear Mathematical Analysis and Applications, Hadronic Press, Palm Harbor, FL 34682-1577, USA: ISBN 1-57485-044-X, 1998, pp. 223-234: Nonlinear transforms and analyticity of functions, Saburou Saitoh).

そこでは、数学とは　 関係たち 　であり、　 関係を発見　 するのが　 数学の研究　 である　と述べています。

簡単な例を挙げれば、２点があると　それらを通る直線が、ただ１つ定まり、逆に２直線が交われば　ただ１点を定めるは　最も原始的な数学と言えます。
何故ならば、点と直線の間の関係を表しているからです。もう１歩進めれば、そのときの、点とか直線とは　実は、何でもよく、点と直線自体については何も分からず、知る必要もなく、所謂　 無定義用語　 だということです、 ただ関係だけ　 が　数学では問題なのです。

日々発表される世界の　数学の論文のすべてが　何らかの関係を述べている事実を指摘し、数学が　 関係を研究する学問　 である　としたいと思います。厳密な意味でも、数学は所謂　 公理系　 と呼ばれる、何でもよい無定義用語間の関係を仮定しており、そこから導かれる関係の全体が　1つの数学を構成していることに　思いを致したいと思います。　

-　ここで　人間も　 じんかん 　と読み、実は　 人と人との間の関係　 が　 人間　 であり、 関係が人間のすべて　 になることを思い致すと　面白い事になるでしょう。-

しかしながら、そのような本質的な議論の上に、数学としての重要な面、すなわち、神は 数学を言語として　世界を創造されている　 とか、 世界の設計図　 が数学で書かれているなどと述べ、世界を理解し、表現するには　数学が必要であると　述べたいと思います。ニュートンやアインシュタインの法則や　マックスウェルの方程式、ＣＴスキャナーの原理や電磁波の予想の物語など　いろいろな例を思い起したいと思います。数学の有効性です。これらは　工学部の人達には当たり前ですから　更に述べる必要は無いと思います。

ここで神が出てきますが、ここで言う神とは　大自然の法則、大自然そのもの、ありとあらゆるものの総称と考えていますが、更に何らかの意味で　 人格的なものを反映している存在　 です。　人格的なものを反映している存在でなければ　私達は自然と語り合うことも、自然と気持ちを交わすこともできません。　- 人間も本来　大自然の一部であり、自然と人間は調和がとれているはずです。自然とともに在りたいは　人生の１つの原理ではないでしょうか。-

それでは　数学における最高の成果と、数学が如何に神秘的に美しいか　を説明したいと思います。

その前に、その論文では、数学の 価値判断の基準 も述べ、定理と述べられる、良い結果、関係とは、

•１）       基本的であること、２）　美しいこと、そして　３）人間に良い影響を与える関係である

と述べている事を想起しておきたいと思います。

まず、平面上に、1つの直線を描いてください。そして、勝手に2点を指定し、0と１と定めてください。そこに例のように、 数直線の概念　 を説明します。0，1間を長さの基準として、原点0からの距離がそれぞれ　２，３，４、、、にあり、しかも 1がある方向にある直線上の点を整数点　２，３，４、、、として定めます。　それらと反対方向にある点を　－１、－２、－３ - 4、、、　として定めます。　次に分数も指定し、更にルート2、ルート３、、、　なども直線上に指定します。無理数もあることにも触れたいと思います。　更に、原点0

を中心に半径１の円を描きます。　その円は　１の点と　－ 1の点を通っています。　そこで、　1と －１を結ぶ円の周の長さが　π　であることを説明します。πの意味と数値の永い歴史や、超越数である事を思い起こしたいと思います。　

さて　 関係を研究する学問である数学　 において、いま数として、0，1;　そして、－ 1とπが現れたことを心に留めたいと思います。

ここで、神様の気持ちに触れたいと思います。　 神は２を愛し給う　 という世界観です（２．３節　 良い社会のために　-よっちゃんの想い-　）。 ２つが大事であり、２つから成るのが世には多い事に触れたいと思います。　ギリシャ語によれば、人間とは片割れであり、2つ合わせて人になるという事です。本来１つの存在であった人が、別れて、人間である男と女になったというのです。　片割れである男と女は　もとの人になるべく求め合うのが恋の本質であると理解しています。日本にも夫婦で1つで、人であり1人前という考え方がありました。－　私も妻を迎えるまでは、母に1人前に扱われませんでした。まだ人になっていないからというのです。

そこで、大事な場面に入ります。　○○　=　－１　の方程式を考えます。－ 1　は　ある数の2乗になるというのです。　－ 1　のある意味での半分です。　この数は　はじめの段階では、想像上の数として（虚数として） i として考えられました。　数学者には簡単ですが、i の導入を上手くしたいと思います。　奇妙にも　 複素数が本当の数　 であり、再び複素数が2つの部分からなっている事に触れたいと思います。複素です。複素数が本当の数であると言えます。　そのことを証明し、活用するのが　工学部の2年生が学ぶ、 複素解析学の雄大な学問 です。

ここで、面白い事実に注意してください。　－ 1 ・ － 1　=　1ですから、実は　－１ は　１を半分に分けた数と理解できるという事です。　１を分けて、分けて, すなわち, 2 回分けて、i に達していますね。(　i も更に分けていけますが、もはや面白いのは出てきません)。 

さらに、多くの偏微分方程式の中には　２がいっぱい現れる、偏微分作用素 ラプラシアン が現れますが、ラプラシアンを半分にした、ナブラ、 ハミルトンの演算子 が、世界の多くの理工科系の学生が必ず学ぶ、 古典ベクトル解析 の基本的な道具になっている事を想起すると、再び神が２を基準に世界を構成している事が良く分かると思います。

そこで、0，１は　基準として定められた数で、基本的な数として、－ 1、πそして i　を確認したいと思います。

関係を研究する学問である数学 において、これらを関係づける簡単な公式が存在します。　e という数を持ってくると、簡明な関係になり、その関係が　 オイラーの公式 で　e^｛πi｝= － 1 になるというのです。　この数　e　= 2.718281829...　 は、無理数どころか超越数です。　明確な実体を持つ数から　逆に　 この関係を成り立たせる数　 として e　を考えたいと思います。べき　の形に書かれた意味は　べき　の素朴な拡張された意味と理解できます。　あるいは、べき　はある一つの　 働き （何かをすること; すなわち、eとπiを何かすること）として考えてもいいと思います。　すなわち、基本的な数、－ 1、πそして i　を　 結びつける数　 として、e を考えたいと思います。

ちなみに　この数 e は　ネーピア数　または　オイラーの定数　と呼ばれる数で、人類が最初に見つけた超越数です。　超越数とは　整数係数の代数方程式の解にはならない数のことで,　 e は対数の底などに用いられる、最も基本的な数です。　また最も美しく、基本的な関数である　指数関数の基になります。　更に、数直線や実数は、実は殆どが　超越数からなることにも　触れたいと思います。

神は数学を言語　 として　世界を創造されたと述べました。最も基本的な数が超越数であるということの意味は、世界をそれだけ複雑に作られたという事を意味しないでしょうか。人間は　 人間存在の原理によって 　あらゆるものを究めていこうとしますが、神は　人間があまりにも神に近付くのを嫌っておられるように思います。それで、 神は人間に意地悪をしている のです。

三角関数を知っている皆さんには、更に進められます。 オイラーの公式 （ e ^ix  =  cos  x  + i sin  x ） を一般化として紹介できます。そのとき、数と　 角の大きさの単位　 の関係で、 神が数で　角を測っている事　 に気付くでしょう。

これが　 神様方式による角の単位　 です。角の単位が数ですから、そして、数とは複素数ですから、複素数の三角関数が考えられます。このとき、特に　純虚数の角の余弦関数が　電線をぶらりとたらした時に描かれる、けんすい線　として　実際に物理的に意味のある美しい関数を表現します。そこで、複素関数として意味のある　 雄大な複素解析学の世界 　が広がる事になります。そしてそれらは　数学そのものの基本的な世界を構成することになります。

私のその論文で、面白いことには　それらを数学における　 最高の定理 、結果として述べた事です：

数0，１は基準を定める数ですが、基本的な数、－１、π、i、 e　との 間にある　簡明な関係、オイラーの公式 e^｛πi｝= － 1 を　 数学上の　最高の成果 　として主張し、アインシュタインの公式　E = mc^2　と並ぶものと考えています。　アインシュタインの公式は　すべてものはエネルギーであると述べていますから　神秘的ですが、それに匹敵できると考えています。　

虚数、複素数がなければ、およそ方程式は解けず、量子力学もフ－リエ変換もラプラス変換も考えられません。振動現象も説明できなくなってしまいます。

続く：