再生核研究所

再生核研究所声明 292(2016.03.2 ５ ) ユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、平行線公理、そしてゼロ除算

（２０１６．３．２３　朝、目を覚まして、情念と構想が閃いたものである。）

まず基本語をｳｲｷﾍﾟデｱで確認して置こう：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9

アレクサンドリアの エウクレイデス （ 古代ギリシャ語 :  Εὐκλείδης ,  Eukleídēs 、 ラテン語 :  Euclīdēs 、 英語 :  Euclid （ ユークリッド ）、 紀元前 3 世紀 ? - ）は、 古代ギリシア の 数学者 、 天文学者 とされる。 数学史 上最も重要な著作の 1 つ『原論』（ ユークリッド原論 ）の著者であり、「 幾何学 の父」と称される。 プトレマイオス 1 世 治世下（紀元前 323 年 -283 年）の アレクサンドリア で活動した。『原論』は 19 世紀末から 20 世紀初頭まで数学（特に 幾何学 ）の教科書として使われ続けた。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%

非ユークリッド幾何学 の成立： ニコライ・ イワノビッチ・ロバチェフスキー は「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」 ( 1829 年 ) において、「虚幾何学」と名付けられた幾何学を構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。 ボーヤイ・ヤーノシュ は父・ ボーヤイ・ファルカシュ の研究を引き継いで、 1832 年 、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学（ Σ ）、および平行線公準の否定を仮定した幾何学（ S ）を論じた。更に、 1835 年 「ユークリッド第 11 公準を証明または反駁することの不可能性の証明」において、 Σ と S のどちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。

ユークリッド幾何学は　２０００年を超えて数学及び論理と　あらゆる科学の記述の基礎になってきた。その幾何学を支える 平行線の公理 については、非ユークリッド幾何学の成立過程で徹底的に検討、議論され、逆に　平行線の公理がユークリッド幾何学の特徴的な仮定（仮説）で 証明できない公理 であることが明らかにされた。それとともに　 数学とは何か に対する認識が根本的に変わり、数学とは公理系（仮説系）の上に建設された理論体系であって、 絶対的な真理という概念 を失った。

ここで焦点を当てたいのは　 平行線の概念 である。ユークリッド幾何学における平行線とは　任意の直線に対して、直線上以外の点を通って、それと交わらない直線のことで、平行線がただ１つ存在するというのが ユークリッドの公理 である。非ユークリッド幾何学では、そのような平行線が全然存在しなかったり、沢山存在する幾何学になっており、そのような幾何学は　実在し、現在も盛んに利用されている。

この平行線の問題が、ゼロ除算の発見 1/0=0 、台頭によって　驚嘆すべき、形相を帯びてきた。

ユークリッド自身、また、非ユークリッド幾何学の上記発見者たち、それに自ら深い研究をしていた天才ガウスにとっても驚嘆すべき事件であると考えられる。

何と　 ユークリッド空間で　平行線は ある意味で 全て原点で交わっている　 という、現象が明らかにされた。

もちろん、ここで交わっていることの意味を　従来の意味にとれば、馬鹿馬鹿しいことになる。

そこで、その意味をまず、正確に述べよう。まずは、　イメージから述べる。リーマン球面に立体射影させると　 全ユークリッド平面は　球面から北極点を除いた球面上に一対一に写される。そのとき、球面の北極点に対応する点が平面上になく、想像上の点として無限遠点を付け加えて対応させれば、立体射影における円、円対応を考えれば、平面上の平行線は無限遠点で交わっているとして、すっきりと説明され、複素解析学における基本的な世界観を与えている。平行線は無限遠点で　角 ゼロ（度）で交わっている（接している）も立体射影における等角性で保証される。あまりの美しさのため、１００年を超えて疑われることはなく、世の全ての文献はそのような扱いになっていて数学界の定説である。

ところがゼロ除算 1/0=0 では　無限遠点は空間の 想像上の点 として、存在していても、その点、無限遠点は数値では　ゼロ（原点）に対応していることが明らかにされた。　すなわち、北極（無限遠点）は南極（原点）と一致している。そのために、平行線は原点で交わっていると解釈できる。もちろん、全ての直線は原点を通っている。

この現象はユークリッド空間の考えを改めるもので、このような性質は解析幾何学、微積分学、複素解析学、物理学など広範に影響を与え、統一的に新しい秩序ある世界を構成していることが明らかにされた。２２００年を超えて、ユークリッド幾何学に全く新しい局面が現れたと言える。

平行線の交わりを考えてみる。交わらない異なる２直線を１次方程式で書いて、交点の座標を求めて置く。その座標は、平行のとき、分母がゼロになって、交点の座標が求まらないと従来ではなっていたが、ゼロ除算では、それは可能で、原点（０，０）が対応すると解釈できる。ゼロ除算と解析幾何学からの帰結である。上記幾何学的な説明が、ゼロ除算で解析幾何学的にも導かれる。

一般の円の方程式を２次関数で表現すれば、 (x^2+y^2) 　の係数がゼロの場合、直線の一般式になるが、ゼロ除算を用いると、それが保証されるばかりか、直線の中心は　原点である、直線も点円も曲率がゼロであることが導かれる。もちろん、ゼロ除算の世界では、全ての直線は原点を通っている。このとき、原点を無限遠点の映った影ともみなせ、原点はこのような意味で　もともとの原点とこの意味での点としての、２重性を有し、この概念は今後大きな意味を有することになるだろう。

ゼロ除算 1/0=0 は　ユークリッド幾何学においても、大きな変革を求めている。

以上

２０１６．３．２３．１５：４５

２０１６．３．２３．１６：４０

２０１６．３．２３．１８：２５　夕方小雨

２０１６．３．２４．０５：５５　朝方雨、やがて止む。

２０１６．３．２４．１０：２０　晴れてくる。

２０１６．３．２４．１４：００広く晴れてくる。

２０１６．３．２４．１７：００　英文版声明２９３の素案も出来た。

２０１６．３．２４．２０：３０　原点の２重性を加える。

２０１６．３．２５．０６：２０　良い。

２０１６．３．２５．０７：００　完成、公表　陽は既に研究室に差している。