再生核研究所

再生核研究所声明 734 （ 20 23.11.24):   ゼロ除算算法　発見前の状況、ー　夜明け前

ゼロ除算算法の発見前の印象的な状況を表現して置きたい。これは、地動説の公認に至る状況に似ていると感じられる。　間もなくゼロ除算発見後 10 年を迎えてしまうが、理解の遅れは興味深い歴史として語られるだろう。　それを予見して、詳しい記録を保存している。しかし、ここでは表現を柔らかくするために文献を正確に表現しない。

地動説もそうであるが、公認は大変であったが　巷では相当常識的には認知されていたと考えられる。多くの偉大な発見はそのように　巷で当たり前だったことは多いのではないだろうか　 ( 声明 732 参照）。ピタゴラスの定理は言うに及ばず、地球　球体説、ニュートンの運動法則、微積分さえも本質を捉えれば、当たり前に感じられるだろう。

そこで、ゼロ除算、ゼロ除算算法について語りたい。初めから、まずいのは　ゼロで割ってはならないことは　アリストテレス以来の　数学十戒の第一で、しかも割り算を掛け算の逆と考えれば、不可能性も証明されてしまうことである。できないことが証明されてしまえば、それを克服するのは容易なことではない。算術に強いインドでの　 1000 年を越える議論でも　解決できず、ゼロ除算で相当交流の深い　ゼロ除算愛好者は　 0/0=1 は　分っても　 1/0 　は神秘的で、想像もできないと言っていたものである。ちなみに 0/0=1 の過ちも　 10 年以上も続けている有様である。

さて　ゼロ除算 1/0=0, 0/0=0 と　関数の場合のゼロ除算算法は　違うので、割り算のゼロ除算を先ず、考えよう。

得ている情報によれば、面白いことに、 1980 年代にイサベルホル計算機システムは　 1/0=0 　を結構広く認識したが、関係者は大したことはないとして、現在まで積極的に無視している状況がある。この詳しい状況は分からないが、面白いことは　私の電卓も、 1/0=0 　を一旦出力して、その後にエラーと出していたことである。これは計算機が始めに０を出したが、まずいことに気づいて修正したように考えられる。　同じように進んだ上記計算機システムが　 1/0=0 　を自然に出力していたように思われる。ー　人間より早く、計算機はゼロ除算ができていたと考えると楽しい。

ある理論家は　徹底的に　数学的に論理を追及して、ゼロ除算について、 1/0=0 　とする可能性が、論理上あるとしたが、その場合　普通の分数の演算法則に崩れるところが有るとして、さらなる追求を止めているが、可能性を指摘していた事は　大変興味深い。また、数学の歴史家が　数学には　不可能を可能にしてきた歴史が有るとして、ゼロ除算はやがて可能になるだろう　と述べていたのも大変興味深い。　まるでゼロ除算算法の数学の出現を予見したように ずっしりと感じられる。記憶によれば 1930 年代、インドの方であったと思われる。

ゼロで割ることについて、割り算の意味を考えて、ゼロで割ればゼロになるとは、相当の人が解釈できる。　面白いのは　発見当時２０１４年 2 月アヴェイロ大学におり、私の結果 1/0=0 を話したところ、隣部屋にいたドイツ人も ゼロ除算は意味から当たり前である と、他の教室員とは　ひとり違って 言明されていた。　日本でも　我々のゼロ除算について、道脇裕氏などの解釈、説明も相当詳しく記録されている。　感覚的にゼロ除算はゼロとして　分っていた状況が結構有ると言える。

それでは、厳格な数学としてはどうだろうか。先ず、ゼロ除算の意味を厳格に定義しなければならない。ー　多くの素人が矛盾や混乱、不可能性に嵌ってしまうのは、適切な、厳格な定義を与えることが出来なかったことに由来する。

a 割る b の定義であるが、　これは方程式　 bx=a 　の解で、それを　 x=a/b 　と書き、割り算、分数の定義とする。これが、割り算が掛け算の逆と言われる所以である。

直ちに分ることは、 b がゼロならば、 a がゼロでなければ解は存在せず、ゼロ除算は不可能であることが証明される。すなわち、たとえば 1/0 は　考えられない。　その解 X が有るとすると、 1=0 x X =0 　となって矛盾になってしまう。

それ故に　ゼロ除算は一般には定義できない。

ところが　数学者はとても面白いことを考える。　方程式　 bx=a 　が　何時でも　唯一つの解があるように考える方法が存在する：　 Moore-Penrose 　一般逆　 (1950 年代）。普通　行列で考えられるが 1 次元の最も簡単な場合に考える。ここが肝心である。その考えに寄れば、その理論に寄れば、新しい考え方によれば、方程式　 bx=a 　が　 何時でも唯一つの解がある　 と言うのだから、その解を拡張された分数、割り算と考えれば良いと発想する。　一般化された解とか　拡張された意味における解となる。数学者にとっては　この発想は自然で、簡単に理解できるが、初めて経験する方は　相当な考察、考えが必要であろう。　この考え方を理解して欲しい。　すると面白い、 0 x =a 　の Moore-Penrose 　一般解は　 0 であることが示されるから、ゼロ除算は　この意味でゼロである；すなわち、 a/0=0.

（この意味でとは、従来の分数の性質で、通分法則が一般に成り立たない、厳格には、ゼロ除算を含む　山田体　を参照。これが実は大事な　計算方法、計算方法を与える　体である）。

我々はいろいろな知見からこの事実を導き、そのように定義すると　いろいろ良いことが起きることを　沢山の例で示している。

面白いことは、　 Moore-Penrose 　一般逆は 1950 　年代に確立して、行列論で有名、超古典的な結果になっているのに、 1 次元の場合に当たるゼロ除算は、全然認識されて来なかった盲点が存在した。　 Moore-Penrose 　一般逆は　行列論の世界と決めつけて来た事実と、結果が驚嘆すべきことで、初めから先の検討をして来なかったことによる。ー　 1/0 　は　無限大のようなものと想像していたのに　 0 　であるとは　とんでもないと　人は発想した。

ゼロ除算の意味の重要性が増してくれば、人はゼロ除算は当たり前で、 Moore-Penrose 　一般逆で知られていたと　人は言うだろう。　それは真実で実は　ゼロ除算は自明のように知られていたと言明したい。厳格に定義され、知られていた。真理とはそのようなものではないだろうか。ゼロ除算は Moore-Penrose によって１９５０年代に確立していたのである。　我々はその重要性をここ 10 年強調してきている。　ゼロ除算の重要ないろいろな意味と意義を広く論じてきている。

更に言及したい。　再生核の理論を　数値解析的な面から研究し、チコノフ正則化法の重要性を認識して研究を進めていた。それは　基本的な Moore-Penrose 　一般逆の考え方では、それは神秘的な対象で、正則化法で　数値解析的に捉えられるという認識であるが、それ故に Moore-Penrose 　一般逆については　知り尽くしていた。　ゼロ除算の問題を提起されて振り返ったら　何んと　ゼロ除算は　とっくに自明にできていたことを認識した。すなわち、ゼロ除算の意味を自覚、認識しないだけだった。既に出版済みの論文に　ゼロ除算は　全て含まれる形で公刊されていた。

更に驚嘆すべき記録が存在する：

長野県算数数学教育研究会『数理の理解段階に応じた算数の学習指導指針 : 落伍者を作らぬ学習指導のために』第 3 東京、暁教育図書、 1954 年。 【 34 除数が 0 の時はどんな場合でも答は 0 になることを知る。 35 被除数も除数も 0 の時の答は 0 であることを知る。 】漫画のピカピカ光る線を当てたい。 https://twitter.com/temmusu_n/status/1154993056623370241

凄い情報を得る。 長野県算数数学教育研究会　は凄い。　これは公教育としては行きすぎではないでしょうか。ゼロ除算は不可能、考えないが数学界の常識なのに　それを越えたことを教えている。深刻な事態。　文部科学省も　数学会も　きちんとすべきではないでしょうか。ゼロ除算の理由をどのように説明するかも　大変興味ある （この先の情報は BING でも不明となっている）。

それでは関数の場合における　ゼロ除算算法の解説に移ろう。

先ず定義を与えよう。関数ｙ＝ｆ (x) が x=a 　で微分可能である時

f(x) /( x -a )

の　 x=a 　での値を　そこでの微分係数  f ’ (a) で　定義する。

ｎ回微分係数が存在する時　関数

f(x) / (x -a)^n

の x=a における値を

f^(n)(a) / n!

で定義する。

この定義で、特に、関数　 y= f(x)=1/x, y=g(x) =0/x 　に対して、 f(0)=0, g(0)=0 すなわち、

1/0=0, 0/0=0 。

これらは、 Moore-Penrose の一般分数の結果と一致している。　しかしながら、ゼロ除算の分数と、ゼロ除算算法の結果の関係は微妙であり、その関係には注意深い注意を行う必要がある。その研究がゼロ除算算法の研究課題と言える。

この表現におけるゼロ除算算法という計算法は　世に新規なもの、概念と言える。

本質は、基本関数 y= f(x)=1/x 　の原点での値がゼロである事である。他の典型的な例は、

tan(\pi/2)=0, a^n/n の　 n=0 の値は　 log a (a> 0)

であるから、新規な世界を拓いているのは　歴然である。　この計算法、分母がゼロである点、特異点と呼ばれるが、特異点上の値が発見された。ー　従来　数学では、特異点の近くで、極限の考えで（近ずく考え）で特異点での近傍での値を考えたが、特異点自身での関数値を考えなかったが、初めて、特異点での値を考える数学が出現した。このゼロ除算算法は、ゼロ除算の自然な拡張として　関数に対して考えられたものである。初めて導入された演算であるから、その性質と効用を広く示す必要が求められてきた。　それがゼロ除算算法の研究である。新分野であるから　中々馴染めない状況にあると言える：

再生核研究所声明  726(2023.10.21): 　 ゼロ除算における黄金律、　ゼロ除算は　黄金律によって確定、絶対的な存在である。

再生核研究所声明  727(2023.10.22): 　ニュ - トン現われよ、期待される、絶好の機会 ; 　アリストテレスの歴史上の間違い 3 点　―　ゼロ除算の発見

再生核研究所声明  728(2023.10.24):   素人も数学の研究ができる、ピタゴラスのような存在に成れる。ー　ゼロで割る、ゼロ除算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

１１．２２．１９：２６　一気に纏めた。ゼロ除算算法は高級になってしまう。必然か？

２０２３．１１．２２．２１：３０　最後の部分を加えて形にする。

２０２３．１１．２３．８：４０　一応完成する。

２０２３．１１．２３．９：０４　精読。

２０２３．１１．２３．１１：３３　買い物から帰って、慎重に検討する。穏やかな日和、華愛もとみ様の美しい薔薇を拝見し、愉しい交信ができ、心がホット明るくなっている。皆天？！！

２０２３．１１．２３．１２：４２　検討。

２０２３．１１．２３．１４：２０　近くの、神社、お寺、沢山の観光者でににわっていた。外人も含まれる。

２０２３．１１．２３．１５：５４　良い、明朝完成、公表できる。

２０２３．１１．２３．１８：２０　長野県の情報挿入。

２０２３．１１．２３．２１：１４　良い。何と Butzer 氏からメールを受け取る。直ちに返事。

２０２３．１１．２４．５：３５　良い、完成、公表、星空の美しい朝、インドでの国際会議に招待されて参加を決める。

２０２３．１１．２４．１１：４４　美しい日、サニールームで考察した。これは良い。

２０２３．１１．２７．６：０５　間があって確認した。良い。磯井先生とメール交換。