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2025年04月07日

小学生でも解ける高校入試数学の問題（筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問）

テーマ：数学(322)

カテゴリ：高校入試数学の問題

ｎは２以上の整数とします。
　ｎ以下の正の整数のうち、ｎとの最大公約数が１であるものの個数を<ｎ>と表すことにします。
　例えば、ｎ＝４のとき、４以下の整数のうち４との最大公約数が１であるものは１と３の２個なので、<４>＝２です。
　また、ｎ＝５のとき、<５>＝４です。
　次の問いに答えなさい。
（１）<９９>を求めなさい。
（２）aは正の整数とします。ｎ＝３ ^a のとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。
（３）a、bは正の整数とします。ｎ＝３ ^a ^b のとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。
（４）a、bは正の整数とし、ｐ、ｑはたがいに異なる素数とします。ｎ＝ｐ ^a ｑ ^b のとき、<ｎ>＝２４をみたす整数ｎのうち、１００以下のものをすべて求めなさい。
（注）
正の→０より大きい
３ ^a →３をa個かけあわせた数（他も同様）
ｐ ^a ｑ ^b →ｐ ^a ^b の積

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オイラー関数にまつわる有名問題で、（１）～（３）は小学生でも秒殺できます。
ヴェン図をイメージしたり、１周期分調べたりして解く解法で処理したとしてもそれぞれの小問を解くのに１分もかからないでしょう。
実際、中学入試にも同じような問題（武蔵中学校２０２４年算数第１問（１）、洛南高等学校附属中学校２０２１年算数第２問（１）
ただ、（４）が面倒です（難しいのではありません）。
ｐ、ｑに使える素数が２、３、５、７、１３だけであることがすぐにわかるので、パワーで押し込むことも可能だと思いますが、面倒そうで、しかも、ミスが起こりそうなので、解説では、２４に素因数２がたくさん含まれることに着眼し、唯一の素数２が含まれるかどうかで場合分けした上で、偶奇性を利用して解いています。
詳しくは、下記ページで。
筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（問題）
筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（解答・解説）
余裕のある人は次の一橋の問題も解いてみるとよいでしょう。
一橋大学２０２１年前期数学第１問（問題）

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