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小学生でも解ける高校入試数学の問題（東海高等学校２０２１年数学第１問（２））
点数が０点以上１０点以下の整数である小テストを７人の生徒が受験したところ、得点の範囲が７点、平均値と中央値がともに６点であり、最頻値は１つのみで７点であった。このとき、７人の得点を左から小さい順に書き並べると[ ]である。にほんブログ村近年は中学入試でも出されることがあるデータの分析（資料の整理）の問題です。入試で出されるデータの分析の問題は、くだらない計算問題にすぎないものが大半ですが、今回取り上げた東海高校の問題は、頭を使って考えると、面倒な計算を避けることができます。平均値から総和に持ち込むのではなく、平らに均すという平均の意味を考えて処理するのがポイントです。実際にはさっと解けるのですが、文章で解説を書くとちょっと面倒ですね。詳しくは、下記ページで。 東海高等学校２０２１年数学第１問（２）（問題） 東海高等学校２０２１年数学第１問（２）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年11月07日
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数の性質（単位分数の和）の問題（南山中学校女子部２０２０年算数第５問）
（１）１/（２×[ア]）＋１/（３×[ア]）＝１/６となる整数[ア]を求めなさい。（２）１/（２×[イ]）＋１/（３×[ウ]）＝１/６となる整数[イ]と整数[ウ]を求めなさい。 ただし、[イ]＜[ウ]とします。にほんブログ村単位分数の和の問題です。（１）は、式の意味を見抜ければほんの数秒で答えが出せます。（２）は、上限チェック・下限チェックを行えば、[イ]がすぐに求められ、[ウ]もすぐに求められます。上限チェックの際、消去算的な処理をしています（与えられた式のまま上限チェックすることもできますが、表記が若干煩雑になるので、それを回避しました）。因みに、南女の出題者の頭の中には、次のような問題があったのだと思います。 １/△＋１/□＝１/６となる整数△と□の組をすべて求めなさい。ただし、□は△以上であるとします。この問題と同じような問題が開成中学校でも出されています（開成中学校２０１０年算数第１問（３））。詳しくは、下記ページで。 南山中学校女子部２０２０年算数第５問（問題） 南山中学校女子部２０２０年算数第５問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年10月31日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２））
[１]のカードが３枚、[２]と[３]と[４]のカードが１枚ずつある。これら６枚のカードから４枚を選んで並べてできる４桁の自然数は、全部で何通りあるか。（注）自然数→１以上の整数にほんブログ村慶應志木の高校入試問題ですが、そのまま慶應中等部とか普通部とかの入試に出せそうですね。１が複数枚あって面倒なので、使用する１の枚数で場合分けして考えます。いずれの場合も計算で求めることができます。詳しくは、下記ページで。 慶應義塾志木高等学校２０２１年数学第１問（２）（問題） 慶應義塾志木高等学校２０２１年数学第１問（２）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年10月31日
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数の性質（余り）の問題（大谷中学校２０１８年１次Ａ算数第１問（６））
（２０１４＋２０１５×２０１６×２０１７＋２０１８）÷７を計算したときの余りは[ ]です。にほんブログ村むやみに計算しないことが大切です。開成中学校２０２２年算数第１問（２）同様、解くのに１０秒もかかりません。詳しくは、下記ページで。 大谷中学校２０１８年１次Ａ算数第１問（６） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年10月22日
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文章題（整数条件を利用する問題） 雙葉中学校２０２５年算数第４問
４７人で動物園に行く計画を立てました。４５人以上だと団体料金で入園することができ、全員の入園料が２割引きになります。当日に欠席者が出て、団体料金で入園することができなかったため、予定より全体で６７２円多くかかりました。欠席者は何人でしたか。また、割引き前の１人あたりの入園料は何円ですか。ただし、この入園料は３００円以上１０００円以下です。（式と計算と答え）にほんブログ村条件が足りなさそうな文章題だから、整数条件を利用することを考えます。整数条件を利用した後すぐに７通りを調べつくしてもよかったのですが、少し楽をしようとして、上限と下限をチェックしたら、見事に空振りさせられました。結果的には、何も考えずに調べつくせばよかったです。因みに、求めた答えの人数では、４５人の団体として料金を支払ったほうが得（神戸女学院中学部２００８年算数第２問を参照）で、微妙な感じでした。詳しくは、下記ページで。 雙葉中学校２０２５年算数第４問（問題） 雙葉中学校２０２５年算数第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年10月01日
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比と割合の文章題（商売の問題） 灘中学校２０２５年算数１日目第３問
あるお店は商品Ａを販売（はんばい）しています。商品Ａの定価から仕入れ値と経費を差し引いた金額が利益です。以下では定価、仕入れ値、経費、利益はすべて１個あたりのものを考えます。 ２０２２年の商品Ａの定価は１０００円で、利益は[ ]円でした。２０２３年も定価は１０００円でしたが、仕入れ値が２０２２年より２割高くなり、経費は変わらなかったため、利益が２０２２年の６８％になりました。２０２４年は仕入れ値は２０２３年と変わりませんでしたが、経費が２０２３年より４割高くなったので、利益を２０２２年と同じにするために商品Ａの定価を２２０円高くしました。にほんブログ村経費という小学生にとってなじみのない言葉があったり、年によって利益などに変化があったりして、一見すると難しそうな問題ですが、実際には大したことはありません。定価、仕入れ値、経費、利益の変化に着目して消去算に持ち込めば簡単に解けます。詳しくは、下記ページで。 灘中学校２０２５年算数１日目第３問（問題） 灘中学校２０２５年算数１日目第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年09月30日
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中学入試算数の計算問題（東海中学校２０１８年算数第１問（１））
次の□に当てはまる数を求めなさい。 ５．６×（０．７５－１/３）－（５．１９－２．３１）÷２７/２０＝□にほんブログ村基本的な計算問題で、東海中学の受験生なら解けて当たり前の問題です。入試本番では、短時間で解けるかどうかが勝負の分かれ目となります。前半部分の計算で無駄な約分をしてしまうようなことをすると時間をロスしてしまいます。前半部分の計算をする際に、後半部分も視野に入れながら処理することが大切です。詳しくは、東海中学校２０１８年算数第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年09月02日
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中学入試算数の計算問題（愛知中学校２０２５年算数第１問（２））
次の□に当てはまる数を答えなさい。 （２０５６＋２０４０＋２０２４＋２００８＋１９９２）÷１０１２＝□にほんブログ村（ ）内の５つの数の平均が２０２４になっていることに着目すれば一瞬で答えが求められます。詳しくは、愛知中学校２０２５年算数第１問（２）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年08月31日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１））
ある正の整数Ｎは正の整数a、b、cを用いて、Ｎ＝６a＋４b＋６cともＮ＝５a＋６b＋５cとも表される。（ⅰ）Ｎをbだけを用いて表せ。（ⅱ）Ｎが１７０以上、１８０以下の整数とするとき、a＋b＋cの値を求めよ。（注）正の→０より大きい６a→６×a（他も同様）にほんブログ村簡単な消去算の問題です。親切な誘導がついているので、小学生でも普通に解けるでしょう。６a＋４b＋６cと５a＋６b＋５cを見比べれば、（ⅰ）の答えが簡単に求められます。（ⅱ）は、整数条件（倍数条件）を利用すればおしまいです。詳しくは、下記ページで。 ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１）（問題） ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年08月01日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（灘高等学校２０１８年数学第３問）
１個のサイコロを３回続けてふり、出た目の数を順にa、b、cとする。（１）ab＝６となる確率を求めよ。（２）（ab－６）（bc－６）（ca－６）＝０となる確率を求めよ。（３）（ab－４）（bc－４）（ca－４）＝０となる確率を求めよ。（注）ab=６→a×b＝６（他も同様）確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。（ab－６）（bc－６）（ca－６）＝０→（ab－６）×（bc－６）×（ca－６）＝０（他も同様）にほんブログ村灘高校の入試問題ですが、小学生でも解ける問題です。灘高入試の場合の数・確率の問題にありがちですが、灘中の入試問題よりも簡単です。（１）は（２）を解くためのヒントになっています。（２）と（３）はダブりに注意するだけです。（２）と（３）の違いは、トリプルカウントがあるかどうかだけです。トリプルカウントがあろうがなかろうがその可能性に注意を払わないといけないのだから、（２）と（３）の両方を問う意味はないような気がします。（２）でトリプルカウントの可能性を検討したときに、６が平方数でないからトリプルカウントがないという結論に至るので、当然６が４になった場合は、トリプルカウントがあるだろうと（２）の時点で見切ることができますからね。詳しくは、下記ページで。 灘高等学校２０１８年数学第３問（問題） 灘高等学校２０１８年数学第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年07月23日
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平面図形（角度）の問題（同志社香里中学校２０２５年前期算数第２問（１））
右の図において、印をつけた角度の和は何度ですか。（図はホームページにあります。）にほんブログ村角度の典型問題の１つで、同じような問題がどの塾のテキストでも取り上げられているでしょう。様々な解法が考えられますが、解説では、３つの解法を紹介しておきました。いずれの解法でも、１０秒以内に暗算で答えが求められるでしょう。詳しくは、同志社香里中学校２０２５年前期算数第２問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年07月15日
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場合の数の問題（甲南中学校２０２４年３期算数第４問）
次のように、同じ数字の入った整数（１１、２２、１００、１０１など）を除いた整数が並んでいます。 １，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１２，１３，・・・，９８，１０２，１０３，・・・（１）５０は何番目の整数ですか。（２）１００番目の整数は何ですか。（３）３けたの整数は何個ありますか。にほんブログ村場合の数の基本問題です。（１）と（３）はいずれも１０秒程度で解けるでしょう。（３）は、「同じ数字の入った整数（中略）を除いた整数」という言葉に騙されないことが大切です。単に、各位の数が異なるということですからね。（２）は、２桁以下の整数で条件を満たすものが９０個であることがすぐにわかるので、あと１０個を調べつくせばよいでしょう。詳しくは、下記ページで。 甲南中学校２０２４年３期算数第４問（問題） 甲南中学校２０２４年３期算数第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年07月13日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（慶應義塾高等学校２０２１年数学第２問）
ＡＢ＝２、ＡＤ＝３の長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢの中点をＥ、辺ＡＤを２：１に分ける点をＦとする。このとき、∠ＡＦＥ＋∠ＢＣＥの大きさを求めよ。（図はホームページにあります。）（注）中点→真ん中の点∠→角にほんブログ村小学生でも簡単に解ける問題で、小学生が解いても１０秒もかからないでしょうね。どの中学受験の塾のテキストでも取り上げられている典型問題ですし、ご丁寧に長方形の枠まで書いてくれていますからね。因みに、中学入試ではもう少しひねった感じで出されることもあります（西大和学園中学校２０１７年算数第２問（５）など）。詳しくは、下記ページで。 慶應義塾高等学校２０２１年数学第２問（１）（問題） 慶應義塾高等学校２０２１年数学第２問（１）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年07月08日
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数の性質（単位分数の和）の問題（開成中学校２０１０年算数第１問（３））
１/１２＝１/△＋１/□となる整数△と□の組をすべて求めなさい。ただし、□は△以上であるとします。また、解答欄（らん）をすべて用いるとはかぎりません。（解答欄は１０個ありました。）にほんブログ村単位分数の和の問題です。単位分数の和の問題には様々な解法があります（麻布中学校２００７年算数第４問、慶應義塾普通部２００８年算数第２問、大阪教育大学附属天王寺中学校２０１１年算数第１問（１）、同志社国際中学校２０２４年算数第４問、慶應義塾志木高等学校２０１７年数学第１問（３）、広島大学２０２５年前期文系数学第１問（（５）の一部）の解答・解説を参照）が、難しい問題であっても、通常は、範囲をしぼって調べつくせば簡単に解決します。単位分数２つや３つである程度大きな数（例えば１に近い数など）を作る場合、大きな単位分数が限られているため、答えの候補はそんなにありませんからね。ただ、今回取り上げた開成中の問題の場合、与えられた分数（１/１２）が小さいため、範囲をしぼって解こうとしても答えの候補が多くて面倒そうですね。そこで、解説では、通分を分析して解いています。ただ、答えが８個もあったので、結果として、あまり楽になったという感じはしませんね。△は１２より大きく、１２×２＝２４以下の整数で、１７とか１９とか明らかにありえないものがあるため、全部調べつくしても３分ぐらいでできそうですからね。詳しくは、下記ページで。 開成中学校２０１０年算数第１問（３）（問題） 開成中学校２０１０年算数第１問（３）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年06月30日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（２））
図においてＡＢ＝３、ＡＣ＝２、直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線であり、ＡＥ⊥ＢＥである。点Ｄは直線ＡＥとＢＣの交点である。（ⅰ）線分の長さの比ＡＤ：ＤＥを求めよ。（ⅱ）面積の比△ＡＤＣ：△ＢＥＤを求めよ。（図はホームページにあります。）（注）直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線→直線ＡＥが角ＢＡＣの大きさを２等分するということです（図の２つの〇を見ればわかることですね）。⊥→垂直にほんブログ村灘中や東海中など、レベルの高い平面図形の問題を出す中学校の受験生を教えるときに取り扱う問題の１つです。直角三角形を２つ組み合わせて二等辺三角形を作り出す解法のマスターにちょうどいいですし、解説で紹介した２つの解法を確認すれば、いわゆる隣辺比、ベンツ切り、等高図形の面積比の確認ができますからね。ついでに、角の二等分線定理も確認できるので、この１問を通じて様々なことを学ぶことができます。こういう学習は、志望校対策で過去問に取り組む際にも大切なことです。単に過去問を解いて、解けたとか解けなかったとか確認するだけでは不十分です。すでに実力が完成してほぼ満点を取れるのであれば、時間を短縮して過去問に取り組み、解けなかった問題の解法等を確認する勉強でもいいでしょうが、そうでなければ、こんな学習をしても本当の実力はつきません。過去問を学ぶのではなく、過去問で（様々なことを）学ぶことが重要です。詳しくは、下記ページで。 ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（２）（問題） ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（２）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年06月30日
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数の性質（フィボナッチ数列の一の位の周期性）の問題（渋谷教育学園幕張中学校２０２３年１次算数第２問）
次の①～③のルールにしたがって整数をつくって、左から右へ順番に並べていきます。 ＜ルール＞ ①１番目の数を０とする。 ②２番目の数をaとする。（aは１けたの整数とする。） ③３番目からあとの数は、１つ前につくった数と２つ前につくった数をたした数の１の位の数とする。 このルールで整数を並べたときのn番目の数を、(a、n)と表します。たとえば、a＝１とすると、数が０、１、１、２、３、５、８、３、…… と並ぶので、(１、８)＝３となります。 次の各問いに答えなさい。（１） (１、n)＝0 にあてはまるnのうち、２番目に小さい数を求めなさい。（２） (１、２０２３)＋(a、２０２３)＝１０にあてはまるaをすべて求めなさい。にほんブログ村フィボナッチ数列と余りの周期性の問題です。渋幕では、過去に同種の問題が出されています（渋谷教育学園幕張中学校２００８年２次算数第３問）が、その問題とは雲泥の差があります。実際、今回取り上げる問題は大学入試レベルで、以前取り上げた一橋大学の問題（一橋大学２０２４年後期数学第５問・選択問題[１]）より難しい（作業量が多いので面倒）でしょう。この一橋大学の問題は愚直に数を書き出して解いたところで２８個書き出せば終わりですし、大学入試は時間が長いので余裕で処理できますが、今回取り上げる渋幕の問題は愚直に書き出すと６０個も書き出さないといけないので、かなり面倒なことになります。試験時間はそれほど長くありませんし、書き出している途中で計算を間違えたかもしれないと不安になりかねませんんしね。解説では６０個書き出すという愚直な解法ではなく、少し頭を使って解く方法（一橋の問題でも同様の解法を採用しています）を紹介しています。因みに、今回取り上げた問題と同様の問題が、東京出版のマスター・オブ・整数でも取り上げられていますが、その問題と比べても渋幕の問題は難しいと言えるでしょう。詳しくは、下記ページで。 渋谷教育学園幕張中学校２０２３年１次算数第２問（問題） 渋谷教育学園幕張中学校２０２３年１次算数第２問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年06月24日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（慶應義塾高等学校２０１６年数学第１問（１））
（１－１/２2）（１－１/３2）（１－１/４2）…（１－１/９９９2）を計算すると、□となる。（注）（１－１/２2）（１－１/３2）（１－１/４2）…（１－１/９９９2）→（１－１/２2）×（１－１/３2）×（１－１/４2）×…×（１－１/９９９2）３2→３×３（他も同様）にほんブログ村小学生でも解ける問題です。実際、この問題が塾高で出された年のちょうど２０年前に同じような問題が中学入試で出されていますからね（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４））。和と差の積が２乗の差となることを利用した後約分すれば簡単に解けます。詳しくは、下記ページで。 慶應義塾高等学校２０１６年数学第１問（１）（問題） 慶應義塾高等学校２０１６年数学第１問（１）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年06月19日
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数の性質（約数）の問題（名古屋中学校２０２５年算数第１問（３））
次の式と２つの□に同じ整数をあてはめて、正しい式になるようにします。 □/３０＋３０/□＝２．９①あてはめた数が１以上３０以下であることが分かっているとき、その整数を答えなさい。②あてはめた数が３１以上であることが分かっているとき、その整数を答えなさい。にほんブログ村今から３０年ぐらい前に神戸女学院中学部で同じような問題が出されています。女学院の問題は、□＋３７８/□（□は整数）が整数となるもので答えが異なるものが何通りあるか求める問題などでしたが、名古屋中学校の問題のように小数があっても同じことです。何倍かして整数にすればいいだけのことですからね。約数のペアに着目するのが本質的な解法だから、問題の誘導（らしきもの）は無視して解いています。因みに、上の神戸女学院の問題は、３７８の約数のペアが何組あるか求める問題にすぎませんね。詳しくは、名古屋中学校２０２５年算数第１問（３）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年06月13日
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中学入試算数の計算問題（甲陽学院中学校２０１２年算数１日目第１問（１））
次の□の中に適当な数を入れなさい。 ７/１３＋６/１３×７/１２＋６/１３×５/１２×７/１１＋６/１３×５/１２×４/１１×７/１０＝□にほんブログ村ジュニア数学オリンピック（JJMO）で同じような問題が過去に出されています（日本ジュニア数学オリンピック２００７年第１問）。因みに、甲陽学院中学校では、算数オリンピックや数学オリンピックの過去問と同じような問題が過去に何度も出されています。さて、今回取り上げた問題ですが、計算の工夫をしないとかなり面倒な計算をすることになります。解説では、２つの解法を紹介しています。詳しくは、甲陽学院中学校２０１２年算数１日目第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年06月09日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問）
４ｍ3＋ｎ2＝２０２０を満たす正の整数ｍ、ｎの組は２組ある。その２組を求めよ。（注）４ｍ3→４×ｍ×ｍ×ｍｎ2→ｎ×ｎ正の→０より大きいにほんブログ村範囲をしぼって調べつくすだけの問題で、しかも、調べる範囲も少ないので、小学生でも簡単に解けるでしょう。答えが２組あることが明記されていますしね。とはいえ、条件の緩いｎの範囲をしぼるという頓珍漢なことをすると面倒なことになってしまいます。なお、３の平方剰余・立方剰余に着目する（京都大学２０２５年理系数学第２問の解答・解説を参照）と、調べる範囲をさらにカットできますが、この問題でそこまでする必要はないでしょう。詳しくは、下記ページで。 久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問（５）（問題） 久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問（５）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年06月05日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（慶應義塾大学２０２５年理工学部数学第１問（２））
ｎを自然数とする。１からｎまでの自然数の中で６または８または９で割り切れるものの個数をanで表す。このとき、a30＝[ ]となる。また、an＝１０００を満たす最大のｎは[ ]である。（注）自然数→１以上の整数にほんブログ村中学入試でも昔から出されている問題で、小学生でも解けます。６と８と９の最小公倍数が７２だから、１周期分の１から７２までを調べつくせばいいですが、少し面倒ですね。メインの問題を解くためには、個数だけが求められる解法（包除原理を利用する解法）を採用するのは本来よくありませんが、１から３０までの中で条件を満たすものの個数を出題者がわざわざ問うていることに意味があると考え、１周期分については、包除原理を利用する解法をあえて採用し、調べる範囲を最小限にしています。慶應大学の出題者が意味のない問題を出さないだろうと考えてこの解法を選択しています。詳しくは、下記ページで。 慶應義塾大学２０２５年理工学部数学第１問（２）（問題） 慶應義塾大学２０２５年理工学部数学第１問（２）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年05月30日
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中学入試算数の計算問題（白陵中学校２０２５年前期算数第１問（３））
次の□にあてはまる数を答えなさい。 （６７８９＋７８９６＋８９６７＋９６７８）÷２２２２×（５×６×７－５×５×５＋□）＝２０２５にほんブログ村（６７８９＋７８９６＋８９６７＋９６７８）÷２２２２の部分の計算は、平均を利用すれば一瞬で答えが出せます（洛南高校附属中学校２０１４年算数第１問（３）と高槻中学校２００９年前期算数第１問（１）もぜひ解いてみましょう）。もちろん、南山中学校女子部２０２１年算数第１問（３）の解説のように各位の和が等しくなることに着目して３０×１１１１÷（２×１１１１）＝１５とすることもできます。詳しくは、白陵中学校２０２５年前期算数第１問（３）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年05月25日
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場合の数（最短経路）の問題（慶應義塾普通部２０２５年算数第４問）
すべて正方形に整備された道路を、Ａ地点からＢ地点まで道のりが最も短くなるように行きます。①図１のような道路があります。行き方は何通りありますか。②図２のように、ＣＤ間、ＥＦ間を通行止めにし、さらに新たに斜めの道路を４本つくりました。行き方は何通りありますか。（図はホームページにあります。）にほんブログ村灘中入試（灘中学校２０１７年算数１日目第８問）やジュニア数学オリンピック（日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００９年予選第２問)で同じような問題が出されたことがあります。因みに、南山中学校女子部の今年の入試でも同じような問題が出されています（南山中学校女子部２０２５年算数第２問）。南山女子の問題の解説では、ダブりの心配が皆無であったことと場合分けして計算で解いてしまったほうが明らかにはやく解けると考えられたことから、場合分けして地道に解いていますが、今回取り上げた慶應普通部の問題では、灘中の問題で紹介した解法で解いています。最後のところは、いわゆるいちいち解法で処理していますが、点対称をうまく活用すればほんの少しだけ楽になります。因みに、そのように処理することで大幅に楽になる問題が灘中で過去に出されています（灘中学校１９９５年算数１日目第３問）。詳しくは、下記ページで。 慶應義塾普通部２０２５年算数第４問（問題） 慶應義塾普通部２０２５年算数第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年05月20日
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中学入試算数の計算問題（清風南海中学校２０２５年Ａ算数第１問（１））
□に当てはまる数を求めなさい。 ２０２５×８/８１－２２５×８/８１÷２/９＝□にほんブログ村２０２５年の受験生であれば、２０２５と２２５を見た瞬間にどうすればよいかわかったでしょうね。暗算で解ける問題です。詳しくは、清風南海中学校２０２５年Ａ算数第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年05月14日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（西大和学園高等学校２０２４年県外入試数学第１問（６））
次のように数を並べた。 [１段目] １，２，３，４，５ [２段目] １１，１０，９，８ [３段目] １４，１５，１６，１７，１８ [４段目] ２４，２３，２２，２１ [５段目] ２７，・・・・・・ ・ ・ ・ 例えば、１５は３段目の左から２番目にある。このとき、２０２４は[ ]段目の左から[ ]番目にある。にほんブログ村中学入試でもよく出される群数列の問題です。高校受験生より中学受験生のほうがさっと解けるかもしれませんね。数式などをこねくり回したところで何も前進しない問題ですからね。規則性自体は小１ぐらいでも見抜けます。割り算をマスターしていれば、低学年の子でも十分解ける可能性のある問題です。詳しくは、下記ページで。 西大和学園高等学校２０２４年仙台・東京・東海・高松会場数学第１問（６）（問題） 西大和学園高等学校２０２４年仙台・東京・東海・高松会場数学第１問（６）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年05月12日
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場合の数（整数の和と積が等しくなる場合の数）の問題 東大寺学園中学校２０２５年算数第５問
いくつかの整数の和と積が等しくなるような数の組を考えます。 [例]和と積がともに８になるような数の組は２通りあり、それぞれの数の小さい順に並べると、 １、１、２、４と１、１、２、２、２です。 １、１、２、４について調べてみると、 １＋１＋２＋４＝８ １×１×２×４＝８です。 １、１、２、２、２について調べてみると、 １＋１＋２＋２＋２＝８ １×１×２×２×２＝８です。次の問いに答えなさい。（１）いくつかの整数の和と積がともに１２になるような数の組は３通りあります。それらの組をそれぞれ、例のように数の小さい順に並べなさい。答えのみを解答欄に書きなさい。（２）いくつかの整数の和と積がともに２１０になるような数の組は全部で何通りありますか。（３）いくつかの整数の和と積がともに２３１０になるような数の組は全部で何通りありますか。にほんブログ村１を使わない積を考えた後、適当に１を加えて和が積と等しくなるようにするのがポイントです。（１）はウオーミングアップのための問題にすぎません。（２）から本格的な問題になります。（２）は、２１０を素因数分解した後、素因数の割り振りを考えると計算で簡単に解くことができます。（３）も同じ方針で解くこともできますが、（２）と同じ作業を繰り返しても時間の無駄なので、親切な出題者が用意してくれた解法に乗っかると簡単に解けます。詳しくは、下記ページで。 東大寺学園中学校２０２５年算数第５問（問題） 東大寺学園中学校２０２５年算数第５問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年05月11日
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仕事算の問題（愛光中学校２０２５年算数第３問）
Ａ、Ｂ、Ｃ３種類のポンプが２台ずつあり、これらを使ってある水そうの水をすべてくみ出します。Ａ２台とＢ１台とＣ２台を使うと３５分、Ａ１台とＢ２台とＣ１台を使うと５２分３０秒かかります。（１）６台をすべて使うと何分何秒かかりますか。[式と計算]（２）６台をすべて使って水そうの水をくみ出す予定でしたが、くみ出し始めてから２１分後にＢとＣが１台ずつこわれました。残りの水をこわれていない４台でくみ出したところ、予定より３分３０秒長くかかりました。Ａ１台で水そうの水をすべてくみ出すのに何分かかりますか。[式と計算]にほんブログ村やや条件が複雑な仕事算の問題ですが、難しくなくはありません。愛光のレベルを考えると、簡単と言えるでしょう。（１）は、途中で消去算（というほどのものではないですが・・・）の処理が必要となります。（２）は、解説では逆比を利用して解いています。因みに、今年の愛光中学校の入試では大問２で和差算が出されていました。愛光中では、昔から特殊算がよく出されます。しっかり対策しておくとよいでしょう。詳しくは、下記ページで。 愛光中学校２０２５年算数第３問（問題） 愛光中学校２０２５年算数第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年05月05日
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中学入試算数の計算問題（東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（１））
次の計算をしなさい。 １/３＋３６/７×４．２５－５/８÷０．５２５にほんブログ村大した計算問題ではありませんが、ちょっとしたことで差が生じます。５/８÷０．５２５のところを瞬時に６２５/５２５として２５で約分すると簡単になります。２５で約分するとき、２５×４＝１００を利用して、頭の中で、４×５＋１＝２１、４×６＋１（あるいは２１＋４）とすれば、ほんの数秒で処理できます。また、普段の学習の際、次のような分数の引き算をするときにどういう処理をしているかでも差が生じます。 ２４/１７－１８/１９２４/１７を頭の中で帯分数に直し、１－１８/１９＝１/１９と７/１７の和を求める処理をしていれば、今回の東大寺学園の問題も簡単に答えが求められるでしょう。因みに、この計算の分母は、先日取り上げた「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説を参照）と平方数の知識を利用すると、（１８＋１）×（１８－１）＝３２４－１＝３２３と暗算で求められます（もちろん、３４０－１７＝３２３とすることもできます）。詳しくは、東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年04月28日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（京都大学２００６年後期理系数学第３問）
さいころをｎ個同時に投げるとき、出た目の数の和がｎ＋３になる確率を求めよ。（注）確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょうにほんブログ村今年の大阪星光学院高校の入試問題（大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４））を取り上げたときに言及した問題です。１０秒以内に答えが出せる小学生も結構いるでしょう。重複組合せの考え方はある程度のレベルの中学校を受験する子供であれば当然マスターしているはずですからね。因みに、重複組合せの考え方を利用せずに、地道に場合分けして解いても１分程度で答えが出せます（文字式の計算が小学生には少しきついかもしれませんが・・・）。ただ、一部の場合で、さいころが３個以上であることを前提としたものになることから、そのことに配慮しなければ点数がもらえなかったのでしょうね。京大の理系であれば、それぐらいでしか差がつかないでしょうからね。文系の問題では、ｎ＋３がｎ＋２となっていたので、差がつかない問題になっていました。問題文の「同時に」とか「出た目の数の和」とかの表現を考慮すると、さいころが２個以上であることは前提としてもいいでしょうからね。詳しくは、下記ページで。 京都大学２００６年後期理系数学第３問（問題） 京都大学２００６年後期理系数学第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年04月23日
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中学入試算数の計算問題（甲陽学院中学校２０２５年算数１日目第１問（１））
次の□の中に適当な数を入れなさい。 １＋１８÷（１/７－１/１６）＋１/１７÷（１/２５－１/８１）×１１９＝２２５×□にほんブログ村与えられた式の右辺を見た瞬間に、左辺から２２５を取り出してくださいねという出題者の意図が読み取れるはずです。この意図をきっちり読み取れれば解くのに３０秒もかかりません。なお、計算の途中で２５×８１が出てきます。２０２５年の受験生なら２０２５となることを覚えているでしょうが、２０２５としてはいけません。何のメリットもありませんからね。計算の途中で和と差の積が２乗の差となることを利用していますが、和と差の積が２乗の差となることについては、関西学院中学部１９９６年２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説ページを参照しましょう。詳しくは、甲陽学院中学校２０２５年算数１日目第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年04月17日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２））
ある分数の分母に５を加えると分数の値は１/３となり、分子に３を加えると分数の値は１より大きく２より小さい。この分数を求めよ。ただし、この分数は既約分数とする。 にほんブログ村小学生でも簡単に解ける問題です。中学入試で同じような問題でもっと難しいもの（神戸女学院中学部１９９８年算数２日目第３問）が出されています。もとの分数の分母に５を加えたものが分子の３倍で、３の倍数となることから、分母は３で割ると１余る数となります。このことを見抜ければ、次のようにして、答えをすぐに見つけることができます。 分母１ 分子２（範囲の条件を満たしませんね。） 分母４ 分子３（範囲の条件を満たしますね。）よって、答えは３/４となります。解説では、もっと難しい問題が出されたときにも対応できるよう、もう少し丁寧に解く解法を紹介しています。この問題ではそこまでする必要はないかもしれませんが…詳しくは、下記ページで。 慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２）（問題） 慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年04月15日
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中学入試算数の計算問題（高槻中学校２０２５年Ｂ算数第１問（１）②）
次の計算をしなさい。 ２０２・１/４－２８・４/５－１０９・１/２（帯分数を・を使って表記しています。例えば、２０２・１/４は２０２と１/４のことです。）にほんブログ村通分して計算することもできますが、１/４＝０．２５、４/５＝０．８、１/２＝０．５を利用して小数で計算してしまったほうがはやいでしょう。臨機応変に対処することが大切です。詳しくは、高槻中学校２０２５年Ｂ算数第１問（１）②の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年04月12日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問）
ｎは２以上の整数とします。 ｎ以下の正の整数のうち、ｎとの最大公約数が１であるものの個数を<ｎ>と表すことにします。 例えば、ｎ＝４のとき、４以下の整数のうち４との最大公約数が１であるものは１と３の２個なので、<４>＝２です。 また、ｎ＝５のとき、<５>＝４です。 次の問いに答えなさい。（１）<９９>を求めなさい。（２）aは正の整数とします。ｎ＝３aのとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。（３）a、bは正の整数とします。ｎ＝３a×５bのとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。（４）a、bは正の整数とし、ｐ、ｑはたがいに異なる素数とします。ｎ＝ｐaｑbのとき、<ｎ>＝２４をみたす整数ｎのうち、１００以下のものをすべて求めなさい。（注）正の→０より大きい３a→３をa個かけあわせた数（他も同様）ｐaｑb→ｐaとｑbの積にほんブログ村オイラー関数にまつわる有名問題で、（１）～（３）は小学生でも秒殺できます。ヴェン図をイメージしたり、１周期分調べたりして解く解法で処理したとしてもそれぞれの小問を解くのに１分もかからないでしょう。実際、中学入試にも同じような問題（武蔵中学校２０２４年算数第１問（１）、洛南高等学校附属中学校２０２１年算数第２問（１）など）が出されていますからね。ただ、（４）が面倒です（難しいのではありません）。ｐ、ｑに使える素数が２、３、５、７、１３だけであることがすぐにわかるので、パワーで押し込むことも可能だと思いますが、面倒そうで、しかも、ミスが起こりそうなので、解説では、２４に素因数２がたくさん含まれることに着眼し、唯一の素数２が含まれるかどうかで場合分けした上で、偶奇性を利用して解いています。詳しくは、下記ページで。 筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（問題） 筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（解答・解説）余裕のある人は次の一橋の問題も解いてみるとよいでしょう。 一橋大学２０２１年前期数学第１問（問題） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年04月07日
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場合の数（最短経路）の問題（南山中学校女子部２０２５年算数第２問）
図のようなＡ町からＢ町へ行く道があります。Ａ町からＢ町へ行く最短経路は何通りありますか。ただし、図の線の部分が道です。（図はホームページにあります。）にほんブログ村灘中入試（灘中学校２０１７年算数１日目第８問）やジュニア数学オリンピックで同じような問題が出されたことがあります（因みに、慶應普通部の今年の入試にも同じような問題が出されています。また、斜めの線が絡む経路の場合の数の問題で、最短経路でなくてもよいものが１９７０年の東大入試で出されています）。最短距離で進むためには、できるだけ斜めの線を通る必要があります（三角形の成立条件を考えればすぐにわかりますね）が、斜めの線を２か所以上通ることはできませんね。詳しくは、下記ページで。 南山中学校女子部２０２５年算数第２問（問題） 南山中学校女子部２０２５年算数第２問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年04月02日
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数の性質の問題（洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問） 算数オリンピック対策に！
０以外の数字を使ってできる整数を小さい方から順に１から９９９まで並べると、 １，２，３，４，５、６，７，８，９，１１，１２，……，９９９となります。 これらの整数について、次の問いに答えなさい。（１）整数は全部でいくつ並んでいますか。（２）並んでいる整数をすべてたすといくらになりますか。（３）並んでいる整数をすべてかけ合わせた整数を考えます。（ア）０は一の位から続けていくつ並びますか。（イ）一の位、十の位、百の位、…と順に見ていくとき、０以外で初めて現れる数字は何ですか。にほんブログ村（１）、（２）、（３）（ア）は標準的な問題で、洛南の受験生（特に合格最低点が高い女子受験生）なら、絶対に落としてはいけない問題です。（３）（イ）は算数オリンピックレベルの難問で、受験生にはきつい問題だったかもしれません。実際、ジュニア広中杯（算数オリンピックの中１、中２版）のファイナルで同じような問題が出されたことがあります（ジュニア広中杯２０１２年ファイナル第２問（３）で、２０１２以上４０２４以下の整数の積の末尾に並ぶ０をすべて取り除いた数の一の位を求める問題）。昔、ジュニア広中杯で入賞した教え子が、一応解けたけど、もっと簡単に解ける解法はないですかと質問してきた問題で、この問題を見た瞬間に面倒だと思いましたから。ジュニア広中杯の問題も洛南の問題も安易に一の位だけを考えると間違えてしまいます。例えば、１５×２＝３０の０を取り除くと３になりますが、一の位の数だけを考えた場合、５×２＝１０の０を取り除くと１となり、一致しませんからね。５の倍数と偶数の積によって新たに生み出される「一の位」を考える必要があるわけです。ただ、答えとして考えられるものは２、４、６、８であることがすぐにわかるので、適当に答えを書いて偶然正解した受験生が結構いたかもしれませんね。検証していませんが、安易に一の位だけ考えたときに、偶然正しい答えと一致していたらよくない問題でしょうね。詳しくは、下記ページで。 洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問（問題） 洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 関西の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月31日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（広島大学２０２５年前期文系数学第１問）
１個のさいころを３回投げ、出た目を順にa1、a2、a3とする。次の問いに答えよ。（１）集合｛a1,a2,a3｝が集合｛２，５，６｝と等しくなる確率を求めよ。（２）a1＜a2＜a3である確率を求めよ。（３）a1、a2、a3がすべて異なる確率を求めよ。（４）集合｛a1,a2,a3｝と集合｛２，３｝が等しいとき、a1＝３、a2＝２、a3＝３である条件付確率を求めよ。（５）１/a1＋１/a2＋１/a3である確率を求めよ。（注）確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。集合｛a1,a2,a3｝が集合｛２，５，６｝と等しくなる→要するに、２と５と６の目が（１回ずつ）出るということです。集合｛a1,a2,a3｝と集合｛２，３｝が等しい→要するに、２と３の目だけが出るということです。条件付確率→小学生の場合、とりあえず、条件を満たす場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。にほんブログ村小学生にとってわかりにくい文章になっていますが、どの小問も中学受験生なら解けるような問題ばかりです。さいころを３回ふる問題ですが、問題の条件が単純なので、６×６の表をかくまでもありません。因みに、（２）は先日取り上げた今年の北大の問題（北海道大学２０２５年前期理系数学第５問）の（１）と同じです。メインの（５）は、実質的には単位分数の和の問題で、中学入試にも出されています（大阪教育大学附属天王寺中学校２０１１年算数第１問（１）、同志社国際中学校２０２４年算数第４問など）。上の解説で紹介しているきっちりとした解き方（平均で範囲を絞る解き方）は、広大の問題でも通用します。詳しくは、下記ページで。 広島大学２０２５年前期文系数学第１問（問題） 広島大学２０２５年前期文系数学第１問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月28日
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速さ（旅人算（Ｎ回目の出会い））の問題（滝中学校２０２５年算数第５問）
２つの地点ＳとＴを結ぶ道があります。ＡさんはＳからＴへ、ＢさんはＴからＳへそれぞれ一定の速さで歩きます。ＡさんはＢさんより時速２km速く歩き、２人はそれぞれ一定の速さで歩きます。そして、Ａさん、Ｂさんは、それぞれＴ、Ｓに着くとすぐに引き返し、最初にすれ違った時刻から５４分後に、Ｓから９００ｍの地点で再びすれ違いました。次の問いに答えなさい。（１）２人が同時に歩き始めてから最初にすれ違うまでにかかった時間は何分か求めなさい。（２）Ａさんの歩く速さは時速何kmか求めなさい。また、２つの地点ＳとＴの距離は何kmか求めなさい。にほんブログ村旅人算の有名問題であるＮ回目の出会いの問題です。この種の問題は、昔から様々な中学校で出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第７問、洛南高等学校附属中学校２０２４年算数第２問など）。（１）も（２）も比例を使うとすぐに解決します。解説では（２）を相当算で処理していますが、下のように消去算に持ち込んで解くこともできます。ＳＴ間の距離を□ｍとします。Ｂが進んだ距離に着目します。 （□－２０００×２７/６０）×１/２×３＝□＋９００（なぜこの式を作ることができるのか自分で考えてみるとよいでしょう。） □×３/２－１３５０＝□＋９００（約分できることを見越して分配法則を利用しました。） □×１/２＝２２５０ □＝４５００（以下略）詳しくは、下記ページで。 滝中学校２０２５年算数第５問（問題） 滝中学校２０２５年算数第５問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月24日
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中学入試算数の計算問題（ラ・サール中学校２０２５年算数第１問（２））
次の□にあてはまる数を求めなさい。 ３７×１０．７－１１１×０．９＋４×１８．５＝□にほんブログ村ラ・サール中学校で繰り返し出されている計算の工夫の問題（ラ・サール中学校２０２４年算数第１問（３）、ラ・サール中学校２０２３年算数第１問（２）など）です。いかに短時間で解けるかが勝負の分かれ目です。３７、１１１、１８．５を見た瞬間にどのようにすればわかるはずです。詳しくは、ラ・サール中学校２０２５年算数第１問（２）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月23日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問）
〇と書いてあるカードと、△と書いてあるカードが、それぞれたくさんある。これらのカードを、△と書いてあるカードが隣り合わないように横一列に並べていく。例えば３枚のカードの並べ方は〇〇〇、〇〇△、〇△〇、△〇〇、△〇△の５通りである。次の問に答えよ。（１）４枚のカードの並べ方が何通りあるか求めよ。（２）５枚のカードの並べ方が何通りあるか求めよ。（３）ｎ枚のカードの並べ方がはじめて２００通りを超えるときのｎの値を求めよ。にほんブログ村高校入試だけでなく、中学入試や大学入試でも昔からよく出される問題です。（大学入試の出題例） 京都大学１９９９年前期文系数学第５問 京都大学２００７年理系乙数学第１問 問２（高校入試の出題例） 大阪星光学院高等学校２０２２年数学第４問（中学入試の出題例） 大阪星光学院中学校２００７年算数第４問（ラ・サール中学校１９９６年算数１日目第５問の表記が変わっただけの問題） 灘中学校１９９６年算数１日目第９問 ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問 ラ・サール中学校２００４年算数第４問 洛南高等学校附属中学校２０２４年算数第５問上の出題例からわかるように、カードを並べるという表面的なことに本質があるわけではありません。最難関中学校の受験生であればルーティーンワークと言える問題で、表（のようなもの）をかいてすぐに解けるはずです。（３）はともかく、（１）と（２）は低学年の子でも解ける問題なので、キッズBEEにチャレンジする子は解いてみるとよいでしょう。因みに、この問題を小学生向けの表現にしたものを教え子に出して、まず１枚の場合から考えてみようかとヒントを出したら、次のようにして解けていました。 １枚・・・〇、△の２通り ２枚・・・〇〇、〇△、△〇の３通り ３枚・・・５通り ４枚・・・〇〇〇〇、〇〇〇△、〇〇△〇、〇△〇〇、△〇〇〇、△〇△〇、△〇〇△、〇△〇△の８通りここで、何か思うことはあるか尋ねると、２＋３＝５、３＋５＝８という規則性に気付いて、（３）も解けていました。低学年の場合、このように手を動かして解くということが非常に大切です。また、書き出して解く場合に、いきなり４枚とか５枚とかを考えるのではなく、小さい例から考えることが大切になります。だからこそ、まず１枚の場合から考えてみようかとヒントを出しているわけです。もっとも、受験生なら、この程度の問題はもっと理論的にさっと解けないといけませんが・・・詳しくは、下記ページで。 慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問（問題） 慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年03月22日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（北海道大学２０２５年前期理系数学第５問）
nを３以上の整数とする。（１）kを整数とする。k＜a＜b＜c≦k＋nを満たす整数a、b、cの選び方の総数をnの式で表せ。（２）１≦a＜b＜c≦２nを満たす整数a、b、cのうち、a＋b＞cとなるa、b、cの選び方の総数をＬとする。このとき、Ｌ＞nＣ3であることを示せ。（注）２n→２×nnＣ3→異なるｎ個のものから重複を許さず３個のものをとる総数（この記号を知っている小学生もいるでしょうね）にほんブログ村条件が文字で表現されているので難しそうな感じがしますが、（２）はともかく、（１）は小学生でも簡単に解けるでしょうね。（１）を小学生向けの表現にすると、１以上ｎ以下の整数から、異なる３つの整数を選ぶとき、選び方は何通りありますかという問題にすぎませんからね。（２）は（１）の誘導をどう利用するか考えれば解決策が見つけられるでしょう。Ｌを直接求めることも可能ですが、（１）の答えを問題文に出してまで誘導してくれているので、Ｌを直接求めようとしてはいけません。詳しくは、下記ページで。 北海道大学２０２５年前期理系数学第５問（問題） 北海道大学２０２５年前期理系数学第５問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月21日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４））
大、中、小の３つのさいいころを投げて出た目をそれぞれa、b、cとする。このとき、積abcが５の倍数となる確率は[ ]である。また、a＋b＋c≧１５となる確率は[ ]である。（注）abc→a×b×c確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。にほんブログ村高校入試数学の場合の数・確率の問題は、最難関高校の問題であっても、強引な融合問題（大学入試問題などでもありがちですが、方程式が解を持つ条件と絡めるような意味のない融合問題など）でない限り、小学生でも解ける問題が結構あります。今回取り上げる大阪星光学院高校の問題は先日取り上げた今年の灘高のさいころの問題（灘高等学校２０２５年数学第１問（３））と同レベルで、最難関中学校の受験生なら当然解けるはずの問題です。前半の問題は、先日取り上げた東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問の前半の問題を簡単にしたもので、小学生でも秒殺できるでしょう。後半の問題は、３つのさいころの出た目がほぼ６という感じなので、書き出して解いています。別解として、重複組合せの処理（しきりの考え方）をしています。この重複組合せの考え方は、最難関中学校の受験生ならマスターしておくでしょう。この後半の問題は２０年ぐらい前の京大の後期の問題（さいころをｎ個振ったときの出た目の和がｎ＋３となる確率を求める問題）をアレンジしたものでしょうね。余裕のある人は京大の問題を解いてみるとよいでしょう。大阪星光学院の問題はさいころの出た目がほぼ６という感じですが、京大の問題はさいころの出た目がほぼ１という感じです。解法としては同じです。因みに、京大の問題は、理系はｎ＋３でしたが、文系はｎ＋２でした。文系の問題になると、選び出した後並べ替える解法と重複組合せを考える解法との差がほぼなくなってしまうので、解けた人の中で差がつきにくかったと思います。文理共通で、ｎ＋４、ｎ＋５あたりでよかったでしょう（安易に重複組合せを考える人にトラップを仕掛けるのなら、ｎ＋６にすればいいでしょうね）。詳しくは、下記ページで。 大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４）（問題） 大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４）（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年03月18日
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中学入試算数の計算問題（桜蔭中学校２０２５年算数第１問（１））
次の□にあてはまる数を答えなさい。 （１５/７＋０．６）×□＋６・７/１３－１９/９１＝９ （６・７/１３は帯分数（６と７/１３）のことです。）にほんブログ村最難関中学校の受験生であれば、９１＝７×１３となることは覚えているでしょう。解説では、そのことに着目し、式全体を７倍して処理しています。答えの数値が汚いですが、大した計算をしていないので、間違えていないという確信が持てるはずです。もしぐちゃぐちゃと面倒な計算をして汚い数値が出てくると、間違えたかなと不安になるでしょう。安心して２問目以降を解くのと不安になりながら２問目以降を解くのとでは、精神面で大きな差が生じたでしょうね。この消去算的手法は最難関中学校の計算問題を解くうえでぜひマスターしておくべきものです。下の問題もぜひ解いてみましょう。 灘中学校２０２２年算数１日目第１問 桜蔭中学校２０２３年算数第１問（１） 開成中学校２０１８年算数第１問（１） 開成中学校２０２２年算数第１問（１）詳しくは、桜蔭中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月17日
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特殊算の問題（東海中学校２０２５年算数第３問）
Ｔさんが昨年、商品Ａと商品Ｂを合わせて１０個買ったところ、全部の代金は２０４００円でした。今年になって、商品Ａの値段が１．１倍に、商品Ｂの値段が１．５倍に値上がりしたため、商品Ａを昨年の２倍の個数、商品Ｂを昨年の１/３倍の個数だけ買ったところ、商品Ａと商品Ｂを合わせた個数も、全部の代金も昨年と同じになりました。（１）今年は商品Ａを何個買いましたか。（２）今年の商品Ｂは１個いくらですか。にほんブログ村基本的な文章題（特殊算の問題）です。消去算で解くこともできますし、割合のつるかめ算として解くこともできます（三田学園中学校１９９７年算数第２問（問題）の解答・解説を参照）が、解説では、（１）も（２）もてんびん算で処理しています。なお、（１）は整数条件（倍数条件）に着目しても簡単に解けます。詳しくは、下記ページで。 東海中学校２０２５年算数第３問（問題） 東海中学校２０２５年算数第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月16日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（九州大学２０２５年前期文理共通数学第３問）
以下の問いに答えよ。（１）ｎを整数とするとき、ｎ2を８で割った余りは０、１、４のいずれかであることを示せ。（２）２m＝ｎ2＋３をみたす０以上の整数の組（ｍ,ｎ）をすべて求めよ。（注）ｎ2→ｎ×ｎ２m→２をｍ個かけあわせた数にほんブログ村灘中などでよく出されるタイプの問題です（灘中学校２０１９年算数１日目第４問、灘中学校２０２１年算数１日目第５問など）。ご丁寧に８の平方剰余・非剰余を考えなさいというヒントまでついているので、差がつかないような気がします。中学受験をしていない中学生でも、文字式の利用を習っていれば（１）を機械的に解くことができますし、（１）があれば、（２）は落としようがない感じですしね。 〇は整数です。〇×〇を８で割った余りは０か１か４です。 このとき、２×・・・×２（２を□個かけた数）＝〇×〇＋３となる□と〇を求めなさい。こういう問題（表現を小学生向けにしただけで、九大の（２）の問題と同じですね）にして、小４の教え子に解いてもらったら、すぐに□＝２、〇＝１という答えを求められましたからね。□がもっと大きくなることはないのとこちらが言うと、ちょっと（３０秒ぐらいかな）考えて、８で割り切れちゃうからと答えてくれました。まぁ、そうだよねという感じでした。なお、問題文に「すべて」と書いてあるのははったりで、むしろ答えが１つかもしれないと警戒すべきでしょうね。数学では何も書いていなくもすべて求めるのが当たり前で、わざわざ「すべて」と書くのは、答えが複数あるから気を付けてねという親切な出題者か・・・（あえて言いません）。詳しくは、下記ページで。 九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（問題） 九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月14日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問）
コイン①、…、⑥が下図のようにマス目の中に置かれている。 （図はホームページにあります。） これらのコインから無作為にひとつを選び、選んだコインはそのままにし、そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える。例えば、①を選べば、②、④を裏返し、②を選べば、①、③、⑤を裏返す。最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする。正の整数ｎに対し、ｎ回目のの操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率をpnとするとき、以下の問に答えよ。（１）p2を求めよ。（２）コイン①、…、⑥をグループＡ、Ｂに分けることによって、ｎ回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる。 ｎ回目の操作終了時点までにＡに属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ、Ｂに属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる。 どのようにグループ分けすればよいか答えよ。（３）p4を求めよ。（注）確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。正の→０より大きい（２）の問題文が小学生にはわかりにくいですが、要するに、コイン①、…、⑥をそれぞれ選んだ回数は奇数回か偶数回か答えなさいということです。（３）を解くためのヒントに過ぎないので、小学生の場合無視してもよいでしょう。（３）を解こうとすれば、このことを考えることになりますからね。にほんブログ村メインの（３）の問題は、確率の問題を場合の数の問題にすれば、中学入試にそのまま出せそうな問題です。実際、同じような考え方で解ける問題が中学入試で出されていますからね（ラ・サール中学校１９９４年算数２日目第３問、慶應義塾中等部２０１６年算数第７問など）。名大の問題はこれらの問題と本質的には何も変わりません。（１）は簡単すぎますね。文理共通問題なので、文系の人が大問を丸々落としたらかわいそうという出題者の配慮かもしれませんね。（２）は、（３）を解こうとしたら当然考えることで、名大の理系に合格するようなレベルの受験生ならこのヒントがなくても解けるでしょうね。（３）は、上で紹介した慶應中等部の解説のように、式を作って消去算に持ち込むこともできますが、慶應中等部の問題ほど設定が複雑ではないので、わざわざ式を作るまでもないということで、式を作らずに解いています。詳しくは、下記ページで。 名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（問題） 名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月13日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問）
次の[ ]にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。 １個のさいころを３回続けて投げるとき、ｋ回目に出る目をＸk（ｋ＝１、２、３）とする。このとき、 ・積Ｘ1Ｘ2Ｘ3が１０の倍数になる確率は[ア]、 ・和Ｘ1＋Ｘ2、Ｘ2＋Ｘ3、Ｘ3＋Ｘ1が、いずれも６の倍数にならない確率は[イ]である。（注）確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。にほんブログ村いずれの問題も小学生でも解ける問題です。前半の問題は東京工業大学（現在は、東京科学大学）の過去問（東京工業大学２０１２年数学第１問（２））と同じ問題です。解説では、余事象を考えて解いています。余事象を考えずに、６×６の表をかいて解くと、｛６×６＋３×５＋１×（６×６－４－５－６）｝/（６×６×６）＝１/３となります。解くのに１分もかからないので、やってみるとよいでしょう。後半の問題は前半の問題と比べるとかなり面倒そうなので、６×６の表をかいてねじ伏せています。さいころを３個振る問題で６×６の表をかいて処理する方法をマスターしていれば、２、３分でできますよ。詳しくは、下記ページで。 東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問（問題） 東京慈恵会医科大学２０２５年数学第１問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月11日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（名古屋大学２０２５年文理共通数学第２問）
整数a、b、cに対し次の条件を考える。 （＊）a≧b≧０かつa^2－b^2＝c（１）c＝２４、２５、２６それぞれの場合に条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。（２）pは３以上の素数、ｎは正の整数、c＝４p^(2n)とする。このとき、条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。（注）a^2→a×ab^2→b×b正の→０より大きい２ｎ→２×ｎ４p^(2n)→４と「pを２ｎ個掛け合わせた数」の積にほんブログ村和と差の積が２乗の差となること（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用すると、約数のペアを考えるだけの問題になります。その際、偶奇性を利用すると簡単に処理できます。偶奇性を利用する問題は中学入試でも昔からよく出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第２問、南山中学校女子部２０２５年算数第７問など）。（１）の３問と（２）で同じことを繰り返し問うているだけで、簡単な問題です。小学生の場合、（２）の指数の処理が若干難しいかもしれませんが。名大の受験生のレベルを考慮すると、pを単に素数とし、２とそれ以外の素数の場合分けをせずに解いたら減点するような問題でもよかったような気がします。素数の問題では、２（唯一の偶数）と３（唯一の３の倍数）に常に注意を払うべきであって、中学入試でもそういうことが問われていますからね（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２））。南女の好きそうな論点がちりばめられた問題なので、南女の受験生は、少なくとも（１）ぐらいはさっと解けるようにしておいた方がいいでしょうね。因みに、a2－b2＝２０２６を満たす(a,b)はありません。詳しくは、下記ページで。 名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（問題） 名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月10日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問）
右の図１のような２ｎ個のマスのそれぞれに〇、×のいずれかの記号を入れる入れ方を考える。ただし、１８０°回転して同じになるものは１通りと考えることにする。たとえばｎ＝１のとき、記号の入れ方は図２のように３通りある。（１）ｎ＝２のとき、記号の入れ方は[ ]通りある。（２）ｎ＝３のとき、記号の入れ方は[ ]通りある。（３）ｎが自然数のとき、２ｎ個のマスに記号を入れる入れ方はｎを用いて[ ]通りと表せる。（注）２ｎ→２×ｎ自然数→１以上の整数（小学生は無視して考えればよいでしょう。（図はホームページにあります。）にほんブログ村「１８０°回転して同じになるものは１通りと考える」という条件があるので、ダブりに注意する必要があります。解説では、あえてダブらせて後で調整するという方針で解いています。この方針は非常に大切なので、最難関中学校の受験生はしっかりマスターしておく必要があります。ｎ＝１のとき（問題の例）とｎ＝２のとき（（１））を理論的にきっちり分析することができれば、メインの（３）の問題も同様にしてすぐに解けます。（１）と（２）だけを解くのであれば、書き出して解くという方針でも解けないこともないですが、その方針では、（３）は厳しいでしょう。何も考えずに書き出しても意味はないですが、ｎ＝２の場合を書き出したときに、はじかれたものがどういうものであるかということと問題文の例ではじかれたものがどういうものであるかということを考えれば、解説の方針にたどり着ける可能性は十分あるでしょう。ところで、解説では、ｎ＝１のときとｎ＝２のときにぎりぎりまで計算していませんが、これは非常に大切なことです。計算してしまうと見えなくなってしまうことがあるからです。例えば、次のような問題を低学年の子に解いてもらうことがあります。 最初の数が３で、２ずつ増えていく数を左から順に並べます。左から２０番目の数は何ですか。初めて教えた子は、たいてい３、３＋２＝５、５＋２＝７、・・・というようなことをして答えを出そうとします。これで答えを出せること自体はいいことですが、計算はしなくてもいいから、番号と式だけ書いてくれればいいよと言うと、 ① ３ ② ３＋２ ③ ３＋２＋２ ④ ３＋２＋２＋２ ⑤ ３＋２＋２＋２＋２というように書いてくれるので、⑤は数字が何個並んでいるか問うと、５個とすぐに答えてくれ、２は何個並んでいるか問うと、４個とすぐに答えてくれます。これをいくつかの番号でやった後、⑳はどうかなと問うと、数字は全部で２０個で、２は１９個だと答えてくれ、３＋１９×２＝４１が答えだと言ってくれます。最初が２だったら楽だったよねと言うと、２×２０＋１＝４１としたほうが楽だとたいていの子が気付いてくれます。低学年のうちはこういう勉強法が非常に大切で、等差数列の□番目の公式を覚えせてそれを当てはめて解くなどという学習法では、高学年で破綻することがあります（公式を忘れたと言って手が（思考も）止まってしまうような状態です）。もちろん、等差数列の□番目の公式を自分で導き出せるのであれば問題ありません。詳しくは、下記ページで。 大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問（問題） 大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）
2025年03月09日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（京都大学２０２５年理系数学第２問）
正の整数ｘ、ｙ、ｚを用いて Ｎ＝９ｚ＾2＝ｘ＾6＋ｙ＾4と表される正の整数Ｎの最小値を求めよ。（注）正の→０より大きい９ｚ＾2→９×ｚ×ｚｘ＾6→ｘを６個掛け合わせた数ｙ＾4→ｙを４個掛け合わせた数にほんブログ村昨年の東大入試と京大入試では小学生でも解ける問題が結構出されました（東大の文科で２問、京大の文系で２問、京大の理系で１問）。東大の文科などは、４問中１問しか取れなくても受かる人がそれなりにいるのが現実なので、２問も出されたことにはさすがに驚かされました。今年の東大、京大の入試で小学生が解ける問題は今回取り上げた京大の理系の問題ぐらいです。知識が必要な分野を出されると厳しくなりますからね。京大の文系の確率の問題（第３問）のｎが具体的な値であれば、小学生でも解ける問題です。実際、私が作成した灘中対策演習問題などに同じような問題が入っていますから。ｎが具体的な値であっても、きっちりとした解き方をすれば、京大の問題でも通用します。最後に漸化式を解くという高校で習うルーティンワーク的な作業をするだけですからね。さて、今回取り上げた京大の理系の問題ですが、Ｎ＝９ｚ＾2を見た瞬間に答えが２０２５かなと感じた受験生が結構いたでしょうね。実際、今年京医を受験した教え子も答えがすぐにわかったので、それを示すだけだったと言っていました。２０２５は平方数で９の倍数ですからね。ｘ、ｙを３で割った余りを考えれば、ｘ、ｙがともに３で割り切れることが分かるので簡単に解決します。詳しくは、下記ページで。 京都大学２０２５年理系数学第２問（問題） 京都大学２０２５年理系数学第２問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ～学コンの発展問題に挑戦～ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ～学コンに挑戦～ 学コンに挑戦 （大学への数学） [ 東京出版編集部 ]
2025年03月07日
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平面図形（面積）の問題（東海中学校２０２５年算数第４問）
図の三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦは正三角形で、ＡＦとＢＤの交点をＧとします。ＢＥとＥＣの長さの比は１：２で、ＥＣとＣＦの長さの比は４：５です。三角形ＡＢＧと三角形ＤＦＧの面積の差は２２cm^2です。（１）三角形ＡＢＦの面積を求めなさい。（２）三角形ＡＢＧの面積を求めなさい。（図はホームページにあります。）にほんブログ村算数オリンピックレベルの平面図形の問題（東海中学校２０２３年算数第７問、東海中学校２０２４年算数第８問など）が出されることもある東海中学校ですが、この問題は簡単な問題です。入学後のことを考えずに、算数は５割ぐらいで理科と社会で稼ぐというような方針で東海を受験しようとする子が結構多くて驚かされますが、そういう方針で受験する子にとっても合否を分ける問題でしょう。因みに、小６で算数ができないのであれば、一時的な妥協として算数５割ぐらいという上記の方針でとりあえず中学受験をクリアしようというのはありだと思います（合格後は、医学部などの理系を目指すのであれば、周りの子の２倍努力するぐらいの気持ちで数学を勉強しないといけないでしょう）が、小５からそういう方針で東海を受験しようとするのはやめておいた方がいいでしょうね。仮に合格したとしても、入学後に苦労しますからね。さて、今回取り上げた問題について考えてみましょう。（１）は、面積の差の標準問題で、典型的手法であるつけたしを考えておしまいです。面積の差の問題で、単につけ足しを考えるだけではうまくいかない問題（麻布中学校２０２４年算数第２問など）もあります。東海の受験生なら、しっかりマスターしておくべきでしょう。（２）は、相似（ピラミッド相似とちょうちょ相似）といわゆる等高図形の面積比と等底図形の面積比を駆使して、（１）の面積の利用に持ち込みます。相似、面積比の分野の基本的な解法がマスターできているか確認するのにちょうどいい問題だと思います。詳しくは、下記ページで。 東海中学校２０２５年算数第４問（問題） 東海中学校２０２５年算数第４問（解答・解説） 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2025年03月06日
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