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2020.02.28
カテゴリ： カテゴリ未分類
今年の一橋大の入試の数学の問題。
『(1) 10 10 を2020で割った余りを求めよ。
(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が2となるもののうち、
2020で割り切れるものの個数を求めよ。』
出ました、2020年らしい問題！
(1)は、実際に試してみると
10 4 ＝2020×4＋1920
10 5 ＝2020×49＋1020
10 6 ＝2020×495＋100
7 ＝2020×4950＋1000
10 8 ＝2020×49504＋1920
…どうやら4ごとに規則性がありそうだ。
10 N+4 － 10 N ＝9999× 10 N 10 N-2 ＝2020×495× 10 N-2 ＝2020の倍数
よって、 10 N （N≧4の自然数。Ｎ=1～3では余り2020）を2020で割った余りは
N＝4で割って0余る数のとき1920（－100）
N＝4で割って1余る数のとき1020（－1000）
N＝4で割って2余る数のとき100
N＝4で割って3余る数のとき1000
10は4で割って2余る数なので、答は100。
(2)は、 100桁の正の整数で各位の数の和が2となるものは
・100桁目が2で他の桁は0
のいずれかで、まとめて表すと 10 99 ＋ 10 N 。
10 99 を2020で割った余りは1000なので、
10 N を2020で割った余りが1020（－1000）になればよい。
２０１６年の京大の入試 を思い出した。
文系大学でありながらこういう面白い整数問題を出してくる一橋大、いいなぁ。
『(1) 10 10 を2020で割った余りを求めよ。
(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が2となるもののうち、
2020で割り切れるものの個数を求めよ。』
出ました、2020年らしい問題！
(1)は、実際に試してみると
10 4 ＝2020×4＋1920
10 5 ＝2020×49＋1020
10 6 ＝2020×495＋100
7 ＝2020×4950＋1000
10 8 ＝2020×49504＋1920
…どうやら4ごとに規則性がありそうだ。
10 N+4 － 10 N ＝9999× 10 N 10 N-2 ＝2020×495× 10 N-2 ＝2020の倍数
よって、 10 N （N≧4の自然数。Ｎ=1～3では余り2020）を2020で割った余りは
N＝4で割って0余る数のとき1920（－100）
N＝4で割って1余る数のとき1020（－1000）
N＝4で割って2余る数のとき100
N＝4で割って3余る数のとき1000
10は4で割って2余る数なので、答は100。
(2)は、 100桁の正の整数で各位の数の和が2となるものは
・100桁目が2で他の桁は0
のいずれかで、まとめて表すと 10 99 ＋ 10 N 。
10 99 を2020で割った余りは1000なので、
10 N を2020で割った余りが1020（－1000）になればよい。
２０１６年の京大の入試 を思い出した。
文系大学でありながらこういう面白い整数問題を出してくる一橋大、いいなぁ。
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