シュタイナーから読み解く神秘学入門

　前回は、２次元の展開図から、３次元立方体を構築し、その類比から、３次元展開図から、４次元立方体の構築をイメ－ジした。このような類比の例が、４次元への準備に役立つという。

　というのも、空間に関する通常の観点では、慣れ親しんだ３次元に、ただ闇雲に他の次元をつけ加える必要はないからで、ヒントンの例に従って、ここで、色を使うのがよい。

　対応する色が一致するように立方体を組み立てることを考察する。そのような類比を用いなければ、４次元図形について考察する方法は、ほとんど指針を与えることができない。

　では、実際に何が問題になるのか、更に理解を容易にするために、ヒントンの色を用いた方法に行く前に、３次元空間のなかで４次元物体を表現する別の方法について述べる。

　正八面体を考察すると、その８つの三角形の面はお互いに鈍角で合わさっていることがわかる。




　この図形を想像し、そして、次のような一連の思考を追いかけてみる。正八面体の辺は２つの平面が交わるところに存在する。例えば２つの正三角形が辺ＡＢで交わり、２つの正三角形が辺ＥＢで交わる。

　八面体と立方体の間の唯一の相違は、平面が交わる角度で、立方体のなかでは、平面が直角に交わり、いつでも直角で形成される図形は立方体である。しかし、それらが鈍角で交わるときには、八面体が形成される。

　表面が異なった角度で交わるようにすることによって、異なった幾何学図形を構成することができる。

　次に、八面体の表面を交わらせる別の方法を考察する。正三角形ＡＥＢの面をあらゆる方向に平面的に広げ、拡張する。下側の正三角形の面ＢＣＦと、後側にあるＡＤＦとＥＤＣも同様に広げる。これらの広げられた面は交わる（正四面体ができる）。

　この四面体の対称軸に関しては２重（左右）の（鏡像）対称性が存在するが、それは「半鏡像対称性」とも呼ばれる。

　これらの面が拡張され、正四面体になるとき、最初にあった八面体の４つの面、ＡＢＦ、ＥＢＣ、ＥＡＤ、ＤＣＦは消える。最初にあった八つの面から４つが残り、これらの４つは４面体を形成するが、それは半分の八面体と呼ぶこともできる。

　何故なら、それは八面体の面数の半分を交差させたからで、それは八面体を真ん中から（体積を）半分に切るという意味の半分の八面体ではない。八面体のなかで消された４つの面を交わるまで拡張しても４面体ができる。元の八面体はこれら２つの４面体が交差したものである。

　立体幾何学あるいは幾何結晶学においては、半分の図形と呼ばれるものは元の図形（の体積を）を２つに分けたというよりは、面の数を半分にした結果のことをいう。

　八面体の場合、これを視覚化するのは非常に簡単で、同様に、１つの面を別の面と交わらせることにより、（面数を）半分にした立方体（正四面体）を想像するなら、得られるのは常に立方体（正四面体）であるという。立方体（正八面体）の半分は常に、もう１つの立方体（正四面体）であることがわかる。

　この現象から重要な結論を引き出すことができるが、とりあえずもう１つの例を示す。

　菱形十二面体を考察する。その面は特定の角度で交わる。この菱形十二面体の内側に、中心から異なる方向に走る４本の直線のワイヤー（軸ワイヤーと呼ぶ）をひくことができるが、これらはつまり、菱形十二面体のなかで反対側にある特定の角を結ぶ対角線になる。これらの直線（軸）ワイヤーは菱形十二面体の軸システム（座標系）を表すが、これは立方体のなかに考えることができる軸システム（座標系）と同様のものとなる。

　異なった角度で軸を交差させると、その結果異なる幾何立体が生じる。例えば、菱形十二面体の軸が交わる角度は直角ではない。立方体を半分にすると立方体が得られる。これは立方体に関してだけ成り立ち。菱形十二面体の面数を半分にすると、全く異なる幾何図形が生じる。