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2019/05/04

マイナスかけるマイナスがプラスになることの証明

テーマ：数学(322)

カテゴリ：数学と算数

ＧＷ中に前からずっと手を付けようと思っていた数学の勉強し直しに
やっとここ数日時間をかけて取り組むことが出来ましたよ

大学の講義のテキストとして購入した数学の専門書を久しぶりに開いてますよ
マイナスかけるマイナスがプラスになることの証明について

脳内イメージではすんなりと受け入れていることで

それを数直線上で具体的に視覚化して説明することもできますが・・・

数学が得意でない方にはチンプンカンプンな内容でも
意味ねーと思われてもいいので

私個人の大学数学の勉強し直しとして

数の集合Ｚをする。
集合Ｚの要素のことを元と呼ぶ。

2つの元 a,b に対して
「和」という演算を以下のように定義する。
a+b という計算式で表現し、その値はＺの元となる。

同様に
「積」という演算を以下のように定義する。
ab という計算式で表現し、その値はＺの元となる。
a*b という計算式も同じく「積」の表現であるとする。

さらにＺは以下の性質を持っていると定義する。

R1.演算「和」について、常に、a+b=b+a　が成立する。

R2.演算「和」について、常に、(a+b)+c=a+(b+c)　が成立する。
これを、「和の結合律」という。

R3.演算「和」について、全ての元a に対して、
a+0=a　を満たす元「０」が存在する。

R4.演算「和」について、全ての元a に対して、

R5.演算「積」について、常に、ab=ba　が成立する。
これを、「積の交換律」という。

R6.演算「積」について、常に、(ab)c=a(bc)　が成立する。
これを、「積の結合律」という。

R7.演算「和」「積」について、常に、a(b+c)=ab+ac　が成立する。
これを、「分配律」という。

R8.全ての元a に対して、
a1=a　を満たす元「1」が存在する。

以上のように、数の集合Ｚの性質を数学的に再定義したが
現実の数の性質と相違がなく
Ｒ１～Ｒ８の定義内容は全て自明である（参考）。

この時、以下の2つの式が成立する。
(i)　a0=0
(ii)　(-1)(-1)=1

証明：

(i)各定義を適用して式変形していく。
a0
=a*0
=a*(0+0) 「元0」
=a0+a0 「分配律」
よって
a0=a0+a0
となり、「元0」の定義　から、a0=0 である。（証明終わり）

(ii)各定義、及び、前問（i）を適用して式変形していく。
(-1)(-1)
=(-1)(-1)+0 「元0」
=(-1)(-1)+(1+(-1)) 「元-a」
=(-1)(-1)+((-1)+1) 「和の交換」
=((-1)+1)+(-1)(-1)「和の交換」
=(1+(-1))+(-1)(-1)　「和の交換」
=1+((-1)+(-1)(-1))　　「和の結合律」
=1+((-1)*1+(-1)(-1))　　「元1」
=1+((-1)*(1+(-1))　　「分配律」
=1+((-1)*0)　　「元-a」
=1+0　　「(i)」
=1　　　「元0」
（証明終わり）

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