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2022/01/29

異なる５つの素数の立方の和となる最小の素数は9551とな？

テーマ：数学(322)

カテゴリ：数学と算数

私は数学好きの理系な人間でございまして

数学的なことをプログラムすることが趣味でございますよ

IT業界で働いておりますので技術を維持するための勉強としての意味もありますな

で今回は異なる５つの素数の立方の和となる最小の素数を見つけてみようということで
記事をかいておりますよ

答えは9551 でありますよ
3^3+5^3+7^3+13^3+19^3=
9+27+125+343+2197+6869=
9551

9551 は素数となりますので必要条件の１つはまずは満たしておりますな

もう１つの必要条件は 最小の素数 かどうかという点でございますが・・・

まず異なる５つの素数の立方和の最小値は以下となりますな
2^3+3^3+5^3+7^3+11^3

しかしこれの式は偶数１つ＋奇数４つですから計算結果は必ず偶数になりますな
この点を考慮すると計算結果を奇数にするためには2^3 を含めてはいけないことが確定しますな

よって奇数素数になる可能性がある最小値の候補の式は以下となりますな
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3=4023

ですがこれは3が約数だとすぐにわかりますな
最小の候補の式を元にして、５つのどれかの項をいくつか抜いて代わりに17^3,19^3,23^3...に置換する操作によって最小の素数の次の候補を得ることができますな

先に答えとして挙げた9551 の式が最小値の候補の式に
既にかなり近いので沢山の計算をこの先する必要はありませんぞ
(計算といってもWindows10の電卓アプリに式をペーストしているだけですが・・)

実際に候補の式を網羅してみますと・・・

1つ抜き　17追加

3^3+7^3+11^3+13^3+17^3=8811(≠素数　11が約数)
3^3+5^3+11^3+13^3+17^3=8593(≠素数 13が約数　やや暗算は難しい？)
3^3+5^3+7^3+13^3+17^3=7605(≠素数　5が約数)

1つ抜き　19追加
5^3+7^3+11^3+13^3+19^3=10855(≠素数　5が約数)
3^3+7^3+11^3+13^3+19^3=10757(9551より大きいので無視)
3^3+5^3+11^3+13^3+19^3=10539(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+7^3+13^3+19^3=9551(素数)
3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8685(≠素数　5が約数)

2つ抜き(3といずれか）　
7^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15643(9551より大きいので無視)
5^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15425(〃)
5^3+7^3+13^3+17^3+19^3=14437(〃)
5^3+7^3+11^3+17^3+19^3=13571(〃)

2つ抜き(5といずれか）　
3^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15327
3^3+7^3+13^3+17^3+19^3=14339
3^3+7^3+11^3+17^3+19^3=13473
・・・・・・

というわけで・・・8909、8593、9951　の素因数計算が面倒なものではありましたけども
結構少ない計算回数で9951が最小の素数であることが確認できましたな

最小の値を求めるという場合には出来るだけ小さい数値を扱うことを目標にすれば
答えにたどり着ける可能性が高いと思いますが

異なる6つの素数の立方の和となる最小の素数はどうでしょうか？

この問題の答えは8693でございますよ
2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8693

異なる5つの素数の立方の和となる最小の素数は9551 でしたから
それよりも小さい数値が最小の素数となることは面白い現象ですな

8693が素数であることはこちらなどで確認できますな

この式は立方の和が最小値となる組である2～13 の6個の連続する素数の組から、13を抜いて代わりに19 を追加した式となりますな
最小値かどうか確認するには、まずは、どの1つを抜くを抜いてどの１つを追加するかということを考えることになりますがそのパターンには以下のようになりますな

17追加
2^3+17^3+5^3+7^3+11^3+13^3=8917(≠素数　37が約数)
2^3+3^3+17^3+7^3+11^3+13^3=8819(素数)
2^3+3^3+5^3+17^3+11^3+13^3=8601(≠素数　3が約数)
2^3+3^3+5^3+7^3+17^3+13^3=7613(≠素数　23が約数)
2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+17^3=6747(≠素数　3が約数)

19追加
2^3+19^3+5^3+7^3+11^3+13^3=10863(≠素数　3が約数)
2^3+3^3+19^3+7^3+11^3+13^3=10765(≠素数　5が約数)
2^3+3^3+5^3+19^3+11^3+13^3=10547(≠素数　53が約数)
2^3+3^3+5^3+7^3+19^3+13^3=9559(≠素数　11が約数)
2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8693(素数)

この場合も候補値の探索からすぐに答えがありますので
この程度であれば電卓計算だけで8693 が最小素数であることを確認できそうですな

ではではさらに異なる7つ素数の立方のの和となる最小の素数はどうでしょうか？
7つの場合は2^3 を含めてはいけませんので・・
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15795
が最小の候補ですので結構な大きな数字になりますな

ここから1つ抜いて23を追加する場合のパターンは・・・
5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,935(≠素数　5が約数)
3^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,837(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,619(≠素数　71が約数)
3^3+5^3+7^3+13^3+17^3+19^3+23^3=26,631(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+7^3+11^3+17^3+19^3+23^3=25,765(≠素数　5が約数)
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+19^3+23^3=23,049(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+23^3=21,103(≠素数　47が約数)

ここから1つ抜いて29を追加する場合のパターンは・・・5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=40333(≠素数　53が約数)
3^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=40059(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=39841(素数)
3^3+5^3+7^3+13^3+17^3+19^3+29^3=38853(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+7^3+11^3+17^3+19^3+29^3=37987(素数)
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+19^3+29^3=35271(≠素数　3が約数)
3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+29^3=33325(≠素数　5が約数)

となりますな。暗算で素数判定するのは難しい数字が候補になってきましたな
27,619、21,103　ともに素数でないですよ
実際の計算で確認するのは面倒な数の大きさになりましたが
37987が最小の素数となるようですな

この場合も候補値の探索からすぐに答えが見つかりましたな

この最小の素数を求めるプログラムをpython で書いてみましたよ
それを使った答えを追加しておきますよ

異なる8つの素数の立方の和となる最小の素数
15803
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 =

異なる9つの素数の立方の和となる最小の素数
81799
3 ^ 3 +5 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 =

10つの素数の立方の和となる最小の素数
77237
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 =

異なる11つの素数の立方の和となる最小の素数
200779
3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 =

異なる12つの素数の立方の和となる最小の素数
182519
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +37 ^ 3 +43 ^ 3 =

13つの素数の立方の和となる最小の素数
334393
3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 =

異なる14つの素数の立方の和となる最小の素数
316133
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +37 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 =

異なる15つの素数の立方の和となる最小の素数
731113
3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +37 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 +53 ^ 3 +61 ^ 3 =

異なる16つの素数の立方の和となる最小の素数
私のパソコンではこれの計算に結構時間がかかりました・・・
657089
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +37 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +53 ^ 3 +61 ^ 3 =

ちなみに2番目に小さい素数は
688657
2 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 +53 ^ 3 +59 ^ 3 =

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