2022/02/13
テーマ： 数学(322)
カテゴリ： 数学と算数
またまた数学についての記事でございますよ
今回は調和数の値を46番目まで計算してみましたので
調和数についての記事を書いてみたいと思いますよ
まずは調和数は英語では
harmonic number
というようですな
wikipedia では Harmonic divisor number となっておりますな
オンライン整数列大辞典に"Harmonic divisor number"に完全一致する記事はないようでございますが・・・まぁどちらでもいいでしょう
調和数の意味でございますが
{(全ての正の約数)の調和平均}が、整数値になる数ですな
【こういう説明も括弧を使ったほうが明確かなと思いますな】
つまり6の場合ですと
6の約数は、1,2,3,6の4つですので調和平均の計算値は2となりまして
整数となり、つまり割り切れたので調和数ですな
1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=
2
上の長い式の計算ですが
windows10 の電卓アプリに式を張り付ければ計算されますよ
調和数かどうか確かめるには約数の調和平均を計算してみればよいのですが
計算には約数を網羅する必要があるのでなかなか面倒でございますな
また調和平均が割り切れた場合には具体的な値も観たいですな
1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=
4/(1/1+1/2+1/3+1/6)=
4/((6/1+6/2+6/3+6/6)/6)=
4/((6+3+2+1)/6)=
6*4/(6+3+2+1)=
調和数を計算するために約数を網羅するのは当然として
ここまで式変形しておくと計算自体もかなり簡単になりますな
この変形した式を用いて調和数を計算して表示するPythonプログラムは
以下となりますよ
python のライブラリーに整数論用の関数が提供されておりますので
こちらを使って簡単に計算することが出来ますな
ソースコードの中で使用されているdivisor_sigma は
約数関数でございますな
約数関数とは自然数 n の約数に関する関数でございまして
divisor_sigma(n, 0)は、自然数 n の約数の個数を返しますよ
数学では、自然数 n の約数の個数は、関数d(n) で表記されることがありますな
divisor_sigma(n, 1)は、自然数 n の約数の総和を返しますよ
数学では、自然数 n の約数の総和σ(n) と表記されることが多いですな
ちなみにdivisor_sigma(n, m)は、自然数 n の約数のm乗の総和を返しますよ
計算結果は以下となりますよ
以降の調和数は最後尾にあります
こちらの計算結果（調和数の列）は オンライン整数列大辞典にリストされている調和数 と相違なく一致しておりますよ
約数の調和平均の列はこちらと相違なく一致 しておりますよ
調和数の約数の個数と調和数の約数の総和がリストされているページはいまのところ見つけられませんでしたよ
調和数の記事をネットで検索してみたところではこちらのPDFに大きな調和数がリストされておりましたので紹介いたしますよ
調和数の素因子の個数について
こちらの記事は 第9回福岡数論研究集会 in 別府 の中で 秀明大学の後藤 丈志准教授 が発表したものでございますな
こちらの記事はタイトルの通り約数の個数ではなく素因子の重複を許した個数に着目した内容となっておりまして調和数の大きい順にはリストされておりませんな
中身はまだ読み切れておりませんが・・・（省略いたしますよ）
リストされている調和数の一番大きい値は
82550232450186200
の17桁の整数でございましたよ
私は7桁の整数までの範囲でPCで計算しましたが数時間かかっておりますので
上記のソースコードで17桁まで調べるのはちょっと無理でございますな
なおこの記事(PDF)のサーバー自体は愛知教育大学でございますな
愛知教育大学の岸 康弘教授が福岡数論研究集会の世話人 ということで
ファイルが格納されているということなのでしょうな
こちらのPDF記事 にリストされたいる大きな調和数について抜き出してみましたよ
私は46番目までしか計算することができておりませんのでありがたく利用させていただきますよ
44 6051500
45 8506400
46 8872200
47 11981970
48 14303520
49 15495480
50 16166592
51 17428320
52 18154500
53 23088800
54 23963940
55 27027000
56 29410290
57 33550336
58 37035180
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66 71253000
67 75038600
68 80832960
69 81695250
70 90409410
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256 899622357853800
257 935607252167952
258 1143129161483400
259 1291983233155520
260 1366639428870800
261 2138607058294980
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263 6385843950011400
264 61390229699943300
265 82550232450186200
今回は調和数の値を46番目まで計算してみましたので
調和数についての記事を書いてみたいと思いますよ
まずは調和数は英語では
harmonic number
というようですな
wikipedia では Harmonic divisor number となっておりますな
オンライン整数列大辞典に"Harmonic divisor number"に完全一致する記事はないようでございますが・・・まぁどちらでもいいでしょう
調和数の意味でございますが
{(全ての正の約数)の調和平均}が、整数値になる数ですな
【こういう説明も括弧を使ったほうが明確かなと思いますな】
つまり6の場合ですと
6の約数は、1,2,3,6の4つですので調和平均の計算値は2となりまして
整数となり、つまり割り切れたので調和数ですな
1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=
2
上の長い式の計算ですが
windows10 の電卓アプリに式を張り付ければ計算されますよ
調和数かどうか確かめるには約数の調和平均を計算してみればよいのですが
計算には約数を網羅する必要があるのでなかなか面倒でございますな
また調和平均が割り切れた場合には具体的な値も観たいですな
1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=
4/(1/1+1/2+1/3+1/6)=
4/((6/1+6/2+6/3+6/6)/6)=
4/((6+3+2+1)/6)=
6*4/(6+3+2+1)=
調和数を計算するために約数を網羅するのは当然として
ここまで式変形しておくと計算自体もかなり簡単になりますな
この変形した式を用いて調和数を計算して表示するPythonプログラムは
以下となりますよ
def main():
counter=0
for n in range(1, 10**7):
ds0=divisor_sigma(n, 0)
ds1=divisor_sigma(n, 1)
if (n * ds0 ) % ds1 == 0:
counter+=1
print(counter,n,ds0,ds1,(n * ds0 ) / ds1)
main()
quit()
python のライブラリーに整数論用の関数が提供されておりますので
こちらを使って簡単に計算することが出来ますな
ソースコードの中で使用されているdivisor_sigma は
約数関数でございますな
約数関数とは自然数 n の約数に関する関数でございまして
divisor_sigma(n, 0)は、自然数 n の約数の個数を返しますよ
数学では、自然数 n の約数の個数は、関数d(n) で表記されることがありますな
divisor_sigma(n, 1)は、自然数 n の約数の総和を返しますよ
数学では、自然数 n の約数の総和σ(n) と表記されることが多いですな
ちなみにdivisor_sigma(n, m)は、自然数 n の約数のm乗の総和を返しますよ
計算結果は以下となりますよ
1
1
1
1
1
2
6
4
12
2
3
28
6
56
3
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720
6
6
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5
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2016
8
8
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24
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9
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2970
32
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11
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24
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16256
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12
8190
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48
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26
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1451520
44
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2903040
46
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39
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192
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37
41
4713984
160
15713280
48
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4754880
168
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144
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50
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8506400
144
24998400
49
46
8872200
192
32140800
53
以降の調和数は最後尾にあります
こちらの計算結果（調和数の列）は オンライン整数列大辞典にリストされている調和数 と相違なく一致しておりますよ
約数の調和平均の列はこちらと相違なく一致 しておりますよ
調和数の約数の個数と調和数の約数の総和がリストされているページはいまのところ見つけられませんでしたよ
調和数の記事をネットで検索してみたところではこちらのPDFに大きな調和数がリストされておりましたので紹介いたしますよ
調和数の素因子の個数について
こちらの記事は 第9回福岡数論研究集会 in 別府 の中で 秀明大学の後藤 丈志准教授 が発表したものでございますな
こちらの記事はタイトルの通り約数の個数ではなく素因子の重複を許した個数に着目した内容となっておりまして調和数の大きい順にはリストされておりませんな
中身はまだ読み切れておりませんが・・・（省略いたしますよ）
リストされている調和数の一番大きい値は
82550232450186200
の17桁の整数でございましたよ
私は7桁の整数までの範囲でPCで計算しましたが数時間かかっておりますので
上記のソースコードで17桁まで調べるのはちょっと無理でございますな
なおこの記事(PDF)のサーバー自体は愛知教育大学でございますな
愛知教育大学の岸 康弘教授が福岡数論研究集会の世話人 ということで
ファイルが格納されているということなのでしょうな
こちらのPDF記事 にリストされたいる大きな調和数について抜き出してみましたよ
私は46番目までしか計算することができておりませんのでありがたく利用させていただきますよ
44 6051500
45 8506400
46 8872200
47 11981970
48 14303520
49 15495480
50 16166592
51 17428320
52 18154500
53 23088800
54 23963940
55 27027000
56 29410290
57 33550336
58 37035180
59 44660070
60 45532800
61 46683000
62 50401728
63 52141320
64 56511000
65 69266400
66 71253000
67 75038600
68 80832960
69 81695250
70 90409410
71 110583200
72 115048440
73 115462620
74 137891520
75 144963000
76 163390500
77 191711520
78 233103780
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