空腹ラッコの雑記帳

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2013/03/31

原論の謎、ユークリッドの罠？(18)

カテゴリ：ただいま学習中

８．その他の謎（つづき）

　極め付きは直線の定義でしょうか。「原論」の定義には直線の何たるかを示した１項があります（定義４）。しかし、その「定義」は「その上の点について一様に横たわる」という、意味がとりにくい表現です。私にとってもこれまでは「意味不明」でしたが、今回直角が定義できる要件として考えた前提の

(0) 二等辺三角形と底辺を共有し、その二等辺三角形の頂点と底辺の中点を結ぶ直線上にを頂点を持つ三角形は二等辺三角形である。また二等辺三角形と頂点を共有し、底辺を両側に等しい長さだけ延長 （４月20日加筆） して得られる三角形も二等辺三角形である。

(1) ある線分を底辺とする二等辺三角形の頂点は線分の中点を通る同一直線上にある。

が、実は「その上にある点について一様に横たわる」の一つの表現であり、直線の特徴づけについて一つの候補を与えるのではないかと考え始めています。

　ある線の外の１点に対し、もう１点が存在し、その２点との関係により線を特徴づけることができる場合があります。
・　線上の点から両点への距離が常に一定の比を保っていれば円になります（アポロニウスの円）
・　線上の点から両点への距離が常に一定の差

そして、２つの距離が常に等しければ、つまり比でいえば「１対１」、差でいえば「なし」の場合、直線となります。この「距離が常に等しい」と「その上の点について一様」との関係を(一様を均等と読み替えて)意識しつつ、このようなことを考えています。

（注）ただしこの「特徴付け」は長さの概念を用いており、長さは直線の一部で　あるところの線分（有限直線）についてのみ考えていますので、　直線の概念を必要としています。ですから、直線を定義する箇所に上のような表現のまま書き込んでは、トートロジーになってしまいます。厳密な論理構成を考えれば、「原論」の定義の位置に (0) (1) のような表現は置くことができません。ここに書いたのは、あくまでも「原論」の定義に書かれた特徴付けのイメージについての考えです。

更新履歴
2013/04/20 (0)の記述に「ないし短縮」を追加

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