空腹ラッコの雑記帳

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2014/09/22

４つ存在する場合（三角形の五心）

テーマ：数学(327)

カテゴリ：ただいま学習中

　昨日まで、三角形の色々な「心」を考えてきました。ところが、求め方によっては１つに定まらない場合があります。

　垂心の場合も同様です。垂心を求める辺からの隔たりは昨日考えたとおりですが、線分AB、BCからの（この意味での）隔たりが等しくなる点の軌跡はＡからBCに下ろした垂線であり、これら頂点からの垂線が一通りであることから垂心も１つに定まります。

では内心の場合はどうでしょうか。直線AB、直線ACから等距離にある点の軌跡、まず思い浮かぶのは角BACの二等分線ですが、これだけではありません。図における角BAC'の二等分線上の点も両直線から等距離にあります。軌跡は２本の直線からなるわけです。
　他の辺の組、例えばABとBCでも同様に２本の線が直線から等距離となる点の軌跡となります。従って交点は４通り得られます。この中で三角形ABCの内部に存在するのは１つでこれを内心と呼んでいます。そして、他の３点が傍心と呼ばれる５番目の「心」です。真中にもないくせに「心」と呼ばれるのは等距離性を満たすという条件を一応は満たしているためかもしれません。
　実は重心についても同じことが発生します。線分を底辺とする三角形の面積で距離を定めていましたが。これが等しくなる点の軌跡も２通りです。図には書き込んでいませんが、AB、ACで考えると、まず思いつくBCの中点とＡを結ぶ中線とともに、Ａを通りBCと平行な直線も、この意味で両線分から「等距離」にあることが容易に確認できます。ただし、重心については外部にできる「心(もとの三角形をそれぞれの辺を共有するように並べたときの残る頂点)
」を特定の名前で呼ぶことはありません。あまり発展性がないからでしょうか。

　３つの傍心が作る三角形の垂心は、もとの三角形の内心となります。また重心の場合に作られる類似の３「心」が作る三角形については、外心がもとの三角形の垂心になります（これは垂心の存在を証明するときによく使われる性質です）」

【未定稿】

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