空腹ラッコの雑記帳

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2014/09/21

線分からの距離

テーマ：数学(327)

カテゴリ：ただいま学習中

　内心の求め方を少し変えると重心が得られることを昨日確認しました。鍵は「直線からの距離」を「線分からの距離に変更することでした。

ところで、「線分からの距離」を考えることにすると直線の場合には意識しなかったことが気になってきます。図でABとGHが平行であれば２つの三角形ABGとABHの面積は同じです。従って、昨日の定義に従えば、ＧとＨは線分ABから等距離にあります。ところが、図で線分ABとの位置関係をみると、Ｈの方がＧより離れています。そのような場合にＧとの距離よりＨとの距離の方が大きくなるような実感に合うような距離の定め方はないだろうか。
　こうした発想にかなう方法として、線分の中点からの距離を線分からの距離とみなすことが考えられます。しかし、例えば点Ａとの距離は線分の長さの２分の１となりますが、Ａは線分の上にある点、すなわち離れていない点で、距離が発生するのはおかしいという疑問がでてきます。かといって、線分上の点との距離をすべて０とみなすのも、距離の大小関係を損なってしまいます。
　いっそ、両端（と中点）との距離を引いてしまってはどうだろうか。中点に近づくとマイナスになってしまうのでもはや距離とは呼べなくなりますが、隔たりの指標としての大小関係は成立します。この引き算は、２乗した上で行っても、大小関係は損なわれません。

　こうして、中点からの距離の２乗から[線分の長さの２分の１]の２乗を減じた数値を、線分からの隔たりとみなす考え方が生まれます。これは例えばＧとの隔たりをベクトルGA とベクトルGBの内積
として定義していることになります。ABを直径とする円の内部にある場合、この数値は負となり、円周上にある場合が隔たりが０となる時です。

　この評価法によって三辺からの隔たりが等しくなる点が、実は垂心です。

　こうして「辺からの距離」の定義を見直すことによって、内心、重心、垂心という３つの「心」が得られました、「心」が何通りも考えられる理由の一つには、「辺からの距離」「線分との隔たり」の定め方を複数考え得ることもあったわけです。

【未定稿】

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