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森のマック
算数の統一的な解法を研究している筆者が算数や数学に関する雑感や，ヒントをつづっていきます。算数が好きになれるきっかけをつかんでいただければ，幸いです。
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2005.07.22
テーマ： 小学生の勉強(1383)
カテゴリ： 剰余系のお話
☆夏になると汗をかくので、かなりの水分を
補給するようになります。
水というと、とても当たり前の存在ですが、
実は、この水というのは自然界では
とても特異な化合物なのです。
融点や沸点がとても高いのです。
このしくみは、電子レベルの「結合」
という考え方で説明できます。
それにしても、自然界に豊富にある水は、
なかま意識がとても強いのです。
このおかげで、水以外の分子は、水の中で
くっついていかざるを得なくなりました。
なかまはずれにされた者同士が、しかたないから
くっつくという感じです。
この分子が複雑になり、やがて生命が誕生します。
水のもつこの不思議な「なかま意識」があるから、
わたしたちの体もバランスを保っているのです。
ですから、水の質と人間の質は、無関係ではありません。
もしかしたら、水の質が悪くなると、
人間もおかしくなる？！
日本の水の質が悪くなったっていうことです。
そういえば、家の水道は浄水器つきが当たり前・・・
なにか変です(-_-;)
■■■ Ｒくん、剰余系を使う（６） □□□□
前回の宿題の答えからです。
４で割ると２あまり、
５で割ると３あまり、
７で割ると５あまる整数のうち、
１０００に一番近い数を求めましょう。
整数をＡとおきます。すると、
Ａ≡２ （ｍｏｄ４）
Ａ≡３ （ｍｏｄ５）
Ａ≡５ （ｍｏｄ７）
数を見比べて、Ａ＋２としてあげると、
割り切れることが分かります。
たとえば、かりにＡが６なら、
それに２をたして８にすれば
４で割り切れます。
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ４）
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ５）
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ７）
Ａ＋２は、１４０の倍数で
１４０×７，１４０×８
のどちらかです。
１４０×７＝９８０
１４０×８＝１１２０
Ａ＋２から２を引けば、もとのＡにもどります。
９８０－２＝９７８
１１２０－２＝１１１８
答えは ９７８でした。
☆あまりだけに注目すると、とてもシンプルになります。
人間の血液型がＡ、Ｂ、Ｏ、ＡＢのどれかに必ず入るように、
整数も、必ず「あまり」のどこかに入ります。
７月２１日「数の動きって？３５」の鳩ノ巣原理で考えれば、
兄弟が無限にいて、部屋の数が有限というケースです。
７で割ったあまり・・・これを部屋の数とすると、
０，１，２，３，４，５，６
の７部屋しかありません。それに対して、整数という兄弟の数は、
数え切れないくらいあります。数え切れないから、無限です。
☆わり算のかたちで、商とあまりを出してあげても
まったくかまいません。
Ａ≡２ （ｍｏｄ４）
Ａ≡３ （ｍｏｄ５）
Ａ≡５ （ｍｏｄ７）
は
Ａ＝４×Ｂ＋２
Ａ＝５×Ｃ＋３
Ａ＝７×Ｄ＋５
と表せます。
すると、左と右の辺に、２をそれぞれ加えて
Ａ＋２＝４×Ｂ＋２＋２＝４×Ｂ＋４＝４×（Ｂ＋１）
Ａ＋２＝５×Ｃ＋３＋２＝５×Ｃ＋５＝５×（Ｃ＋１）
Ａ＋２＝７×Ｄ＋５＋２＝７×Ｄ＋７＝７×（Ｄ＋１）
この形にすれば、
Ａ＋２ は ４、５、７のどれでも割り切れる、ということが
見えてきます。
どちらのやり方も、あと２だけふえれば、世界が変わる！
という「発見」の部分が、飛躍になります。
同じタイプの問題を、もう１題解いてみましょう。
剰余系でも、トンチでも、答えが見つかればＯＫです。
［宿題］
１を加えると２で割り切れ、
２を加えると３で割り切れ、
３を加えると４で割り切れ、
４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？
（つづく）
補給するようになります。
水というと、とても当たり前の存在ですが、
実は、この水というのは自然界では
とても特異な化合物なのです。
融点や沸点がとても高いのです。
このしくみは、電子レベルの「結合」
という考え方で説明できます。
それにしても、自然界に豊富にある水は、
なかま意識がとても強いのです。
このおかげで、水以外の分子は、水の中で
くっついていかざるを得なくなりました。
なかまはずれにされた者同士が、しかたないから
くっつくという感じです。
この分子が複雑になり、やがて生命が誕生します。
水のもつこの不思議な「なかま意識」があるから、
わたしたちの体もバランスを保っているのです。
ですから、水の質と人間の質は、無関係ではありません。
もしかしたら、水の質が悪くなると、
人間もおかしくなる？！
日本の水の質が悪くなったっていうことです。
そういえば、家の水道は浄水器つきが当たり前・・・
なにか変です(-_-;)
■■■ Ｒくん、剰余系を使う（６） □□□□
前回の宿題の答えからです。
４で割ると２あまり、
５で割ると３あまり、
７で割ると５あまる整数のうち、
１０００に一番近い数を求めましょう。
整数をＡとおきます。すると、
Ａ≡２ （ｍｏｄ４）
Ａ≡３ （ｍｏｄ５）
Ａ≡５ （ｍｏｄ７）
数を見比べて、Ａ＋２としてあげると、
割り切れることが分かります。
たとえば、かりにＡが６なら、
それに２をたして８にすれば
４で割り切れます。
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ４）
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ５）
Ａ＋２≡０ （ｍｏｄ７）
Ａ＋２は、１４０の倍数で
１４０×７，１４０×８
のどちらかです。
１４０×７＝９８０
１４０×８＝１１２０
Ａ＋２から２を引けば、もとのＡにもどります。
９８０－２＝９７８
１１２０－２＝１１１８
答えは ９７８でした。
☆あまりだけに注目すると、とてもシンプルになります。
人間の血液型がＡ、Ｂ、Ｏ、ＡＢのどれかに必ず入るように、
整数も、必ず「あまり」のどこかに入ります。
７月２１日「数の動きって？３５」の鳩ノ巣原理で考えれば、
兄弟が無限にいて、部屋の数が有限というケースです。
７で割ったあまり・・・これを部屋の数とすると、
０，１，２，３，４，５，６
の７部屋しかありません。それに対して、整数という兄弟の数は、
数え切れないくらいあります。数え切れないから、無限です。
☆わり算のかたちで、商とあまりを出してあげても
まったくかまいません。
Ａ≡２ （ｍｏｄ４）
Ａ≡３ （ｍｏｄ５）
Ａ≡５ （ｍｏｄ７）
は
Ａ＝４×Ｂ＋２
Ａ＝５×Ｃ＋３
Ａ＝７×Ｄ＋５
と表せます。
すると、左と右の辺に、２をそれぞれ加えて
Ａ＋２＝４×Ｂ＋２＋２＝４×Ｂ＋４＝４×（Ｂ＋１）
Ａ＋２＝５×Ｃ＋３＋２＝５×Ｃ＋５＝５×（Ｃ＋１）
Ａ＋２＝７×Ｄ＋５＋２＝７×Ｄ＋７＝７×（Ｄ＋１）
この形にすれば、
Ａ＋２ は ４、５、７のどれでも割り切れる、ということが
見えてきます。
どちらのやり方も、あと２だけふえれば、世界が変わる！
という「発見」の部分が、飛躍になります。
同じタイプの問題を、もう１題解いてみましょう。
剰余系でも、トンチでも、答えが見つかればＯＫです。
［宿題］
１を加えると２で割り切れ、
２を加えると３で割り切れ、
３を加えると４で割り切れ、
４を加えると５で割り切れる２けたの整数は、いくつ？
（つづく）
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