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2014年11月04日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
=======================================
実数a,bに対して関数f(x)を次のように定める。
f(x) = (x^2+ax+2)^2-(x^2+ax+2)+b
次の問いに答えよ。
(1)関数f(x)のグラフが直線x = -a/2に関して対称であることを示せ。
(2)方程式f(x) = 0 がただ一つの実数解をもつとき、aの範囲を求め、bをaの式であらわせ。
=======================================
(コメント)
(2)は個人的に良問だと思う。(x^2+ax+2) = tとおく定石問題という見方もあるけれども、
なるべく応用していくにはグラフの形を具体的に考える方法がいいと思いました。
今回は形から解を導く方法をとっています。
(解法)
(1)f(x)は、f(x)＝(x^2+ax+2){(x^2+ax+2)-1}+b = (x^2+ax+2)(x^2+ax+1)+b…(1-1)
と変形できる。今、任意の実数をpとして、
f(x)がx = -a/2で対称⇔f(p-a/2) = f(-p-a/2)…(1-2)であり、
(1-2)を証明すればよい。
(1-1)より、
f(p-a/2) = {(p-a/2)^2+a(p-a/2)+2}{(p-a/2)^2+a(p-a/2)+1}+b
f(p-a/2) = (p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+2)(p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+1)+b
f(p-a/2) = (p^2-a^2/4+2)(p^2-a^2/4+1)+b…(1-3)
f(∸p-a/2) = {(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+2}{(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+1}+b
f(-p-a/2) = (p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+2)(p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+1)+b
(1-3)、(1-4)より、任意の実数pに対して(1-2)は成り立つので
f(x)は、x=-a/2で対称となっている。
(2)導関数f'(x)は下記のように求められる。
f'(x) = (x^2+ax+2)'(x^2+ax+1)+(x^2+ax+2)(x^2+ax+1)’
f'(x) = (2x+a)(x^2+ax+1)+(2x+a)(x^2+ax+2)
ここで、f'(x)=0を考えると下記三つの解をもつ。
x = -a/2, {-a±√(a^2-6)}/2…(2-2)
※p = √(a^2-6)/2
このことから、f(x)はx = -a/2で対称となり、かつx = -a/2で極値をもつことがわかる。
(2-A) a^2-6＞0の時を考える。
p= √(a^2-6)/2とおくと、
解はx＝±p-a/2とあらわすことができ、これもまた異なる二つの実数である。
この時、f(p-a/2)とf(-p-a/2)は問い1より等しくなり、
このような条件を満たすグラフは、図(A)のようになる。
しかし、 f(x)=0が実数解をもつとき、図(A)のグラフは
必ずx軸と二点以上交わるためf(x)=0の実数解は一つに定まらない。
よって、 a^2-6＞0を満たさない。
(2-B) a^2-6≦0の時を考える。
a^2-6=0の時、f'(x)=(2x+a)^3であり、a^2-6<0の時、(2x^2+2ax+3)>0となるので、
f'(x)の正負は(2x+a)の正負と一致する。 よって
x＜-a/2のとき、f'(x)＜０…(2－4)
x＝-a/2のとき、f'(x)＝０…(2－5)
x＞-a/2のとき、f'(x)＞０…(2－6)
となり、4次関数のグラフの形は図（B)のようになる。
図Bが実数解を一つ持つ場合は、f(-a/2）=0の時に限られる。
f(-a/2）=0 ⇔(-a^2/4+2)(-a^2/4+1)+b = 0
b = a^4/16 - 3a^2/4 + 2 …(2-7)
以上より、-√6≦a≦√6かつb = a^4/16 - 3a^2/4 + 2が解。
実数a,bに対して関数f(x)を次のように定める。
f(x) = (x^2+ax+2)^2-(x^2+ax+2)+b
次の問いに答えよ。
(1)関数f(x)のグラフが直線x = -a/2に関して対称であることを示せ。
(2)方程式f(x) = 0 がただ一つの実数解をもつとき、aの範囲を求め、bをaの式であらわせ。
=======================================
(コメント)
(2)は個人的に良問だと思う。(x^2+ax+2) = tとおく定石問題という見方もあるけれども、
なるべく応用していくにはグラフの形を具体的に考える方法がいいと思いました。
今回は形から解を導く方法をとっています。
(解法)
(1)f(x)は、f(x)＝(x^2+ax+2){(x^2+ax+2)-1}+b = (x^2+ax+2)(x^2+ax+1)+b…(1-1)
と変形できる。今、任意の実数をpとして、
f(x)がx = -a/2で対称⇔f(p-a/2) = f(-p-a/2)…(1-2)であり、
(1-2)を証明すればよい。
(1-1)より、
f(p-a/2) = {(p-a/2)^2+a(p-a/2)+2}{(p-a/2)^2+a(p-a/2)+1}+b
f(p-a/2) = (p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+2)(p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+1)+b
f(p-a/2) = (p^2-a^2/4+2)(p^2-a^2/4+1)+b…(1-3)
f(∸p-a/2) = {(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+2}{(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+1}+b
f(-p-a/2) = (p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+2)(p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+1)+b
(1-3)、(1-4)より、任意の実数pに対して(1-2)は成り立つので
f(x)は、x=-a/2で対称となっている。
(2)導関数f'(x)は下記のように求められる。
f'(x) = (x^2+ax+2)'(x^2+ax+1)+(x^2+ax+2)(x^2+ax+1)’
f'(x) = (2x+a)(x^2+ax+1)+(2x+a)(x^2+ax+2)
ここで、f'(x)=0を考えると下記三つの解をもつ。
x = -a/2, {-a±√(a^2-6)}/2…(2-2)
※p = √(a^2-6)/2
このことから、f(x)はx = -a/2で対称となり、かつx = -a/2で極値をもつことがわかる。
(2-A) a^2-6＞0の時を考える。
p= √(a^2-6)/2とおくと、
解はx＝±p-a/2とあらわすことができ、これもまた異なる二つの実数である。
この時、f(p-a/2)とf(-p-a/2)は問い1より等しくなり、
このような条件を満たすグラフは、図(A)のようになる。
しかし、 f(x)=0が実数解をもつとき、図(A)のグラフは
必ずx軸と二点以上交わるためf(x)=0の実数解は一つに定まらない。
よって、 a^2-6＞0を満たさない。
(2-B) a^2-6≦0の時を考える。
a^2-6=0の時、f'(x)=(2x+a)^3であり、a^2-6<0の時、(2x^2+2ax+3)>0となるので、
f'(x)の正負は(2x+a)の正負と一致する。 よって
x＜-a/2のとき、f'(x)＜０…(2－4)
x＝-a/2のとき、f'(x)＝０…(2－5)
x＞-a/2のとき、f'(x)＞０…(2－6)
となり、4次関数のグラフの形は図（B)のようになる。
図Bが実数解を一つ持つ場合は、f(-a/2）=0の時に限られる。
f(-a/2）=0 ⇔(-a^2/4+2)(-a^2/4+1)+b = 0
b = a^4/16 - 3a^2/4 + 2 …(2-7)
以上より、-√6≦a≦√6かつb = a^4/16 - 3a^2/4 + 2が解。
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