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2014年11月08日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。
コメント：東大入試にしては簡単な類かもね。こういう問題で得点しないと東大合格は厳しいかも。
基本的には、整数の基本的な性質を意識するだけで解ける問題です。頑張って解いてみてください。
(解法)aは3以上の奇数なので、a=2k+1とおく。(1≦k≦4999)
10000で割り切れるので、任意の自然数pを用いて下記の式が成り立つ。
a^2-a = a(a-1) = 2k*(2k+1) = 10000p⇔ k(2k+1)= 5000p…(1)
ここで、5000=50*100=5*5*2*5*5*4=8*5^4…(2)であり、
2k+1が奇数であることから、kは8の倍数だとわかる。
k=8qとおいて(1)式に代入すると、下記三式が成り立つ。
このような条件を満たす、(q,16q+1)の値の組を考える。
(A)qがpの倍数であるとき、
(q,16q+1) = (p,5^4),(5p,5^3),(5^2*p,5^2),(5^3*p,5),(5^4*p,1)
が解として考えられるが、これを満たすqは、
q=p,16q+1=16p+1=625⇔p=q=624/16=39の場合に限られる。
このとき、k=8q=312,a=2*312+1=624+1=625となる。
(B)qがpの倍数でないとき、
(q,16q+1) = (1,5^4*p),(5,5^3*p),(5^2,5^2*p),(5^3,5*p),(5^4,p)
が解として考えられるが、q≧5^n(3≧n≧1)に対して16qは10の倍数になるので、
16q+1は5で割って必ず1余る数となる。すなわち、q≧5^n(3≧n≧1)に対して
pは必ず分数となる。よって、q≧5^n(3≧n≧1)は解とならない。
q=1では16q+1が5の倍数にならず、明らかに成立しない。
q=5^4=625のとき、pは整数値となり条件を満たしている。ところが、
k=8*625=5000となり、a=10001となるがaが9999を超えてしまうので不適。
以上より、このようなaは625のみ。
ところで、色々な解法を見てもa=2k+1とおかず、aのまま処理しているんだけど、
より簡単な関係式に直したいです。そうやってより簡単な式を考察していくやり方が好きです。
むしろ、そういう思考をしないと落ち着かない悲しい人間なのです。
だから、文字式aのままで処理している人の処理能力の高さに感心しますね(笑)
おっさんにはない才能だ。
コメント：東大入試にしては簡単な類かもね。こういう問題で得点しないと東大合格は厳しいかも。
基本的には、整数の基本的な性質を意識するだけで解ける問題です。頑張って解いてみてください。
(解法)aは3以上の奇数なので、a=2k+1とおく。(1≦k≦4999)
10000で割り切れるので、任意の自然数pを用いて下記の式が成り立つ。
a^2-a = a(a-1) = 2k*(2k+1) = 10000p⇔ k(2k+1)= 5000p…(1)
ここで、5000=50*100=5*5*2*5*5*4=8*5^4…(2)であり、
2k+1が奇数であることから、kは8の倍数だとわかる。
k=8qとおいて(1)式に代入すると、下記三式が成り立つ。
このような条件を満たす、(q,16q+1)の値の組を考える。
(A)qがpの倍数であるとき、
(q,16q+1) = (p,5^4),(5p,5^3),(5^2*p,5^2),(5^3*p,5),(5^4*p,1)
が解として考えられるが、これを満たすqは、
q=p,16q+1=16p+1=625⇔p=q=624/16=39の場合に限られる。
このとき、k=8q=312,a=2*312+1=624+1=625となる。
(B)qがpの倍数でないとき、
(q,16q+1) = (1,5^4*p),(5,5^3*p),(5^2,5^2*p),(5^3,5*p),(5^4,p)
が解として考えられるが、q≧5^n(3≧n≧1)に対して16qは10の倍数になるので、
16q+1は5で割って必ず1余る数となる。すなわち、q≧5^n(3≧n≧1)に対して
pは必ず分数となる。よって、q≧5^n(3≧n≧1)は解とならない。
q=1では16q+1が5の倍数にならず、明らかに成立しない。
q=5^4=625のとき、pは整数値となり条件を満たしている。ところが、
k=8*625=5000となり、a=10001となるがaが9999を超えてしまうので不適。
以上より、このようなaは625のみ。
ところで、色々な解法を見てもa=2k+1とおかず、aのまま処理しているんだけど、
より簡単な関係式に直したいです。そうやってより簡単な式を考察していくやり方が好きです。
むしろ、そういう思考をしないと落ち着かない悲しい人間なのです。
だから、文字式aのままで処理している人の処理能力の高さに感心しますね(笑)
おっさんにはない才能だ。
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