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2014年11月08日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
2以上の整数m,nはm^3+1^3=n^3+10^3を満たす。m,nを求めよ。
コメント：この問題の背景になっているのが、ハーディ・ラマヌジャンのタクシー数です。
ラマヌジャンの逸話の一つでして、それをGoogleで検索すると
答えが解ってしまうのですが、どうやって解くべきか考えてみましょう。
(解法)
m^3+1^3=n^3+10^3
⇔m^3-n^3 = 10^3-1^3
⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = (10-1)(10^2+10*1+1^2) = 9*111
⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = 3^3*37…(1)
m-n=p …(2)
m^2+mn+n^2=q…(3)
(2)×(2)より、
(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=p^2⇔m^2+n^2=p^2+2mn…(4)
(4)を(3)に代入すると、下記の式が成り立つ。
mn=(q-p^2)/3…(5)
(5)よりmnは整数となることから、
任意の整数をkとして下記の(6)式を満たすkが存在する。
q-p^2=3k…(6)
また、mn≧4より下記の不等式が成り立つ。
q-p^2≧12⇔q≧12+p^2…(7)
p＞0、q＞0…(8)
が明らかに成り立っている。
条件(6)～(8)を用いて解を探索する。
単純に方程式(1)と条件(8)を満たすp,qの組み合わせは下記八つである。
(p,q)＝(37,27),(37*3,9),(37*9,3),(37*27,1),
(7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさないものを省くと、下記の4つが解となりえる。
(p,q)＝(1,27*37),(3,9*37),(9,3*37),(27,37)
このうち、(p,q)の両方が3の倍数でなければ、条件(6)を満たさないので、
解の組み合わせとして、下記二つが妥当だと考えられる。
(p,q)＝(3,9*37),(9,3*37)…(9)
以下二つの解の場合を考える。
(A)(p,q)＝(3,9*37)のとき、m-n=3, m^2+n^2+mn = 999 より
(n+3)^2+n^2+n(n+3) = 333
3n^2+9n+9=999
n^2+3n+3 = 111
n(n+3) = 108
n^2+3n-12*9 = 0
(n-9)(n+12)= 0
n≧2より、n=9,m=12
(B)(p,q)=(9,3*37)のとき、m-n=9,m^2+n^2+mn = 111より、
(n+9)^2+n^2+n(n+9) = 111
3n^2+27n+81 = 111
n^2+9n+27 = 37
n^2+9n-10 = 0
(n+10)(n-1)=0
n≧2より、解は存在しない。
(A),(B)よりn=9,m=12が解となる。
解き方としては基本的な倍数の問題であり、さほど難しくはないでしょう。
さて、この問題は解くことよりも背景が面白い。
実は、12^3+1^3=9^3+10^3＝1729であり、この1729のことをハーディ・ラマヌジャンのタクシー数という。
ラマヌジャンとはインドの生んだ天才数学者であり，イギリスに来て1918年2月ごろ療養所に入っていた．見舞いに来たハーディは「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった．さして特徴のない，つまらない数字だったよ．」と言った．これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った．「そんなことはありません．とても興味深い数字です．それは2つの立方数の和で2通りに表せる最小の数なのです．」
すなわち、1729が「A=B^3+C^3=D^3+E^3」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。
これは、ラマヌジャンの天才ぶりを表すエピソードの一つであるが、数学に詳しい人はニヤニヤしてこの問題を解いたのではないかと推察するよ。まさか、これが入試になるとは…
コメント：この問題の背景になっているのが、ハーディ・ラマヌジャンのタクシー数です。
ラマヌジャンの逸話の一つでして、それをGoogleで検索すると
答えが解ってしまうのですが、どうやって解くべきか考えてみましょう。
(解法)
m^3+1^3=n^3+10^3
⇔m^3-n^3 = 10^3-1^3
⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = (10-1)(10^2+10*1+1^2) = 9*111
⇔(m-n)(m^2+mn+n^2) = 3^3*37…(1)
m-n=p …(2)
m^2+mn+n^2=q…(3)
(2)×(2)より、
(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=p^2⇔m^2+n^2=p^2+2mn…(4)
(4)を(3)に代入すると、下記の式が成り立つ。
mn=(q-p^2)/3…(5)
(5)よりmnは整数となることから、
任意の整数をkとして下記の(6)式を満たすkが存在する。
q-p^2=3k…(6)
また、mn≧4より下記の不等式が成り立つ。
q-p^2≧12⇔q≧12+p^2…(7)
p＞0、q＞0…(8)
が明らかに成り立っている。
条件(6)～(8)を用いて解を探索する。
単純に方程式(1)と条件(8)を満たすp,qの組み合わせは下記八つである。
(p,q)＝(37,27),(37*3,9),(37*9,3),(37*27,1),
(7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさないものを省くと、下記の4つが解となりえる。
(p,q)＝(1,27*37),(3,9*37),(9,3*37),(27,37)
このうち、(p,q)の両方が3の倍数でなければ、条件(6)を満たさないので、
解の組み合わせとして、下記二つが妥当だと考えられる。
(p,q)＝(3,9*37),(9,3*37)…(9)
以下二つの解の場合を考える。
(A)(p,q)＝(3,9*37)のとき、m-n=3, m^2+n^2+mn = 999 より
(n+3)^2+n^2+n(n+3) = 333
3n^2+9n+9=999
n^2+3n+3 = 111
n(n+3) = 108
n^2+3n-12*9 = 0
(n-9)(n+12)= 0
n≧2より、n=9,m=12
(B)(p,q)=(9,3*37)のとき、m-n=9,m^2+n^2+mn = 111より、
(n+9)^2+n^2+n(n+9) = 111
3n^2+27n+81 = 111
n^2+9n+27 = 37
n^2+9n-10 = 0
(n+10)(n-1)=0
n≧2より、解は存在しない。
(A),(B)よりn=9,m=12が解となる。
解き方としては基本的な倍数の問題であり、さほど難しくはないでしょう。
さて、この問題は解くことよりも背景が面白い。
実は、12^3+1^3=9^3+10^3＝1729であり、この1729のことをハーディ・ラマヌジャンのタクシー数という。
ラマヌジャンとはインドの生んだ天才数学者であり，イギリスに来て1918年2月ごろ療養所に入っていた．見舞いに来たハーディは「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった．さして特徴のない，つまらない数字だったよ．」と言った．これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った．「そんなことはありません．とても興味深い数字です．それは2つの立方数の和で2通りに表せる最小の数なのです．」
すなわち、1729が「A=B^3+C^3=D^3+E^3」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。
これは、ラマヌジャンの天才ぶりを表すエピソードの一つであるが、数学に詳しい人はニヤニヤしてこの問題を解いたのではないかと推察するよ。まさか、これが入試になるとは…
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Re:2009 一橋大学 整数問題 ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数(11/08)
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