カスティール・アミスの雑記帳

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通りすがり@ Re:化学熱力学：状態量について。内部エネルギーは状態量か？(02/14) 「qもまた状態量なのです」？？？

jjk@ Re:2014 横浜市立大学医学部　4次方程式の解と係数の関係(11/04) 普通にt^4-zt^2+yt-x=0をt^3-At^2+Bt-C=0…

とある経済学部生@ Re:2009 一橋大学　整数問題　ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数(11/08) (7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさ…

細かい事ですが@ Re:慶應大学医学部　1993年解と係数の関係と極限(01/31) f(-1)=8*(-1)^3-6*(-1)+1 =(-8)+6+1 …

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2015年01月24日

我が国では、原発事故を経験しているからこそ、放射性物質がどのような挙動を経て減少していくのか、物理学的に正確に把握する必要があると言える。こういった課題に対し、微分方程式という数学手法は大変有意義なものだ。ここでは、微分方程式によって放射性物質がどのように減少するのか数式化したい。

さて、放射性物質Aの個数をNとする。Nが満たすべき方程式は一般的に下記の通りである。

dN/dt = -λN…(1)

ここでλは比例定数、tは時間を表している。これを解く場合、

dN/N = -λdtのように式変形し、同じ変数のものは同じ変数同士まとめてしまうのだ。

そして、それぞれの右辺と左辺をそのまま積分すればよい。すなわち、下記の式を得る。

∫dN/N = -∫λdt

LogN = -λt + C…(2)※Cは積分定数とする。

(2)式で注意してほしいが、積分定数を両辺で個別に書く意味はない。

二つの積分定数を定義する必要はないのだ。理由は、

LogN = -λt + D-Cのように式変形すると結局D-Cが一つの変数になるからである。

それはさておき、(2)のような形では具体的な数値を予測できない。

もう少し、条件を追加してみよう。(これを初期条件という。)

=====================================

(A)t = 0のとき、N=N0とする。※N0は定数。
(B)t = Tのとき、N=(1/2)N0とする。※このようなTを一般的に半減期という。

=====================================

上記の条件を追加することで、核崩壊現象を考えてみよう。

条件(A)を(2)に代入すると、LogN0 = C…(3)
条件(B)、(3)式を(2)に代入すると、Log(N0/2) = -λT + Log(N0)

従って、(3)、(4)式を(2)に代入すると下記の式が得られる。

LogN = Log(1/2)*(t/T) + LogN0
Log(N/N0) = Log(1/2)^(t/T)
N = N0*(1/2)^(t/T) …(5)

以上より、放射性物質はこのような式で予測できるといえる。

この公式は微分方程式によって導くことができるのである。

まずは、核崩壊現象の基本的な数理としてこの式を導けるようになってほしい。

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