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とある経済学部生@ Re:2009 一橋大学　整数問題　ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数(11/08) (7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさ…

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2015年01月25日

早稲田2008年　教育学部　整数問題(ルジャンドルの定理1)

テーマ：数学(327)

カテゴリ：高校数学

問い自然数をnとする。219!は2^nで割り切れるが2^(n+1)で割り切れない。このとき、n=()である。

コメント：これは有名問題。ルジャンドルの定理と呼ばれる整数問題の一種。
ルジャンドルの定理は、ガウス記号を知らないと理解出来ないでしょうから、
過去のガウス記号の問題も読んでください。
このルジャンドルの定理ですが、大学受験では何故か有名問題として
毎年どこかで使われる問題でもあるので、良く勉強し、覚えていただきたい。
いきなり、219!で考えるのは難しいので簡単な例で考えよう。

例：9！だとどうだろうか。

　割り算の原則より9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1=2^n*Qとあらわせるよね。
　これをよくみてみよう。
　このうち、偶数の個数は2,4,6,8であり、2で割り切れる数の個数は
　[9/2]=4個。だから9！は2で4回割れるのだから、最低でも9!=2^4*Q
とあらわせるよね。だが、それだけでは少ない。
　例えば、4はどうだろうか。実は2でもう一回割れるものがある。
　先ほどの条件だと2の因数を一つもつものしか数えていない。
　2の因数を2個持つものがあるのだ。
　2の素因数を2個もつものは、4と8がそれにあたるし、
　[9/2^2]=2個あるといえるだろう。
　更に、2の因数を3個もつものはどうだろうか

　p=[9/2]+[9/2^2]+[9/2^3]=1+2+4=7となり、nの最大値はn=p=7だとわかる
　これがルジャンドルの定理の基本だ。詳しくはリンク先の解説も読んでほしい。

解法：
219!が2^nで割れるが、2^(n+1)で割れない場合、
219!が素因数2で割ることのできる最大回数をpとすると、

ここで、1から219までの数が2で割れる回数は、[219/2]回である。

更に2*2を因数に含んでいるものは、2で割った後も2でもう一度割ることができ、
その回は、[219/2^2]回である。

同様に2*2*2、2*2*2*2と数えていくと、

p=[219/2]+[219/4]+[219/8]+[219/16]+[219/32]+[219/64]+[219/128]
p=109+54+27+13+6+3+1=213となる。

従ってn = 213となる。

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