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2015年01月31日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
問い：pを素数,nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。
コメント：再びルジャンドルの定理の問題です。
類題として、 早稲田2008年度教育 の問題が挙げられます。
ルジャンドルの定理自体は入試のパターン問題として、
毎年どこかで出題されています。
初めて見ると度肝を抜かされる問題ですが、なれると点取り問題です。
京大の問題だからってびっくりせず確実に覚えておきましょう。
解法
pを素因数にもつものの数、p^2を素因数に持つものの数、
…p^nを素因数に持つものの数の総和と一致する。
そこで、1～p^nまでの数のうち、素因数p^kを持つものの個数は、
p^n/p^k=p^(n-k)…(1)
となる。従って、pで割れる回数をXとすると、下記(2)式であらわせる。
X = Σ(k=1～n)p^(n-k) = p^(n-1)+p^(n-2)+…p^2+p+1
X = Σ(k=0～n-1)p^k…(2)
等比数列の公式より、
X = (p^n - 1) / (p - 1)…(3)
となる。従って、(p^n)!は(p^n - 1) / (p - 1)回割ることができる。
コメント：再びルジャンドルの定理の問題です。
類題として、 早稲田2008年度教育 の問題が挙げられます。
ルジャンドルの定理自体は入試のパターン問題として、
毎年どこかで出題されています。
初めて見ると度肝を抜かされる問題ですが、なれると点取り問題です。
京大の問題だからってびっくりせず確実に覚えておきましょう。
解法
pを素因数にもつものの数、p^2を素因数に持つものの数、
…p^nを素因数に持つものの数の総和と一致する。
そこで、1～p^nまでの数のうち、素因数p^kを持つものの個数は、
p^n/p^k=p^(n-k)…(1)
となる。従って、pで割れる回数をXとすると、下記(2)式であらわせる。
X = Σ(k=1～n)p^(n-k) = p^(n-1)+p^(n-2)+…p^2+p+1
X = Σ(k=0～n-1)p^k…(2)
等比数列の公式より、
X = (p^n - 1) / (p - 1)…(3)
となる。従って、(p^n)!は(p^n - 1) / (p - 1)回割ることができる。
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