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2015年02月01日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 高校数学
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものをα，小さいものをβ とする。
n=1,2,3…に対し、s_n=α^n+β^nとおく。
(1) s_1，s_2，s_3を求めよ。また、n≧3に対し、s_nをs_n-1とs_n-2で表せ。
(2) β^2003以下の最大の整数を求めよ。
(3) α^2003以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
コメント：
(1)、(2)は簡単。(3)で答えを導けるかが得点の分かれ目といえるでしょう。
1の位の問題と言えば、中学入試で有名な3^100の1の位の数を求めよという問題がある。
この時の解法は、3→9→24→81→243…と規則性があって、 1の位は3,9,4,1と繰り返している。
(3)も解けるだろう。解らない問題は実験するのだ。
(1)解と係数の関係より、下記(A),(B)が成り立つ。
α+β=4…（A)
αβ =-1…（B)
従って、s_1～s_3は下記の通りになる。
s_1 = α+β = 4
s_2 = α^2+β^2 = (α+β)^2 -2αβ = 16 + 2 = 18
s_3 = α^3+β^3 = (α+β)*(α^2+β^2-αβ) = 4*(18+1) = 76
また、
x^2-4x-1=0⇔x^2=4x+1より、両辺にx^nをかけると下記(c)式が成り立つ。
x^(n+2) = 4x^(n+1)+x^n…(c)
α^(n+2) = 4α^(n+1)+α^n…（D)
β^(n+2) = 4β^(n+1)+β^n…（E)
（D)+(E)⇔ α^(n+2)+β^(n+2) = 4{α^(n+1)+β^(n+1)}+α^n+β^n…(F)
以上より、s_n = 4*s_n-1 + s_n-2となる。
(2)二次方程式の解は下記のとおりである。
従って、β＜αより、β=2-√5,α=2+√5である。
－1＜β＜0より、
(-1)^2003＜β^2003＜0^2003
∴-1＜β^2003＜0
従って、β^2003を超えない最大の整数は-1である。
(3)α^2003 + β^2003 = s_2003 ⇔ α^2003 = s_2003 - β^2003より、
s_2003＜α^2003＜s_2003+1…（A) が成り立つ。
従って、α^2003を超えない最大の整数は、s_2003を超えない最大の整数と等しい。
そして、s_nは、s_1,s_2,s_3が整数であるので、帰納的にs_nは整数となる。
従って、s_nを超えない最大の整数はs_nと一致する。
今、ある整数xの1の位の数をf(x)と表すことにする。また、
P_n = f(s_n)であらわされる数列P_nを定義する。
そして、s_nは整数であり、n≧3に対して、
s_n-1 = 10X+p, f(s_n-1) = p (X,pは任意の整数)
s_n-2 = 10Y+q, f(s_n-2) = q (Y,qは任意の整数)
と表せる。このとき、下記(B)式が成り立つ。
f(s_n) = f(4*(10X+p)+(10Y+q)) = f(10(4X+Y)+4p+q) = f(4p+q)
P_n = f(4f(s_n-1)+f(s_n-2)) = f(4*P_n-1 + P_n-2)…（B)
この(B)式を用いて1の位を計算する
n=4のとき、P_n-3、P_n-2,P_n-1,P_n,は下記のとおりである。
P_(4-3) = f(s_1) = 4
P_(4-2) = f(s_2) = 8
P_(4-1) = f(s_3) = 6
P_(4-0) = f(s_4) = 2
この時、この次のn+1,n+2,n+3,n+4番目の数列もまた、
P_5 = f(s_5) = f(4*2+6) = 4
P_6 = f(s_6) = f(4*4+2) = 8
P_7 = f(s_7) = f(4*8+4) = 6
P_8 = f(s_8) = f(4*6+8) = 2…(C)
となる。※ここで規則が見えてきますよね。
またn=mのとき、
P_m-3=4,P_m-2=8,P_m-1=6,P_m=2が成り立つとして、
この次のm+1,m+2,m+3,m+4番目の数列もまた。
P_(m+4-3) = P_(m+1) = f(4*2+6) = 4
P_(m+4-2) = P_(m+2) = f(4*4+2) = 8
P_(m+4-1) = P_(m+3) = f(4*8+4) = 6
P_(m+4-0) = P_(m+4) = f(4*6+8) = 2…(D)
となり、帰納的に、P_n={4,8,6,2,4,8,6,2…4,8,6,2}と繰り返す数列だとわかる。
よってα^2003の1の位は、P_2003 = 6である。
n=1,2,3…に対し、s_n=α^n+β^nとおく。
(1) s_1，s_2，s_3を求めよ。また、n≧3に対し、s_nをs_n-1とs_n-2で表せ。
(2) β^2003以下の最大の整数を求めよ。
(3) α^2003以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
コメント：
(1)、(2)は簡単。(3)で答えを導けるかが得点の分かれ目といえるでしょう。
1の位の問題と言えば、中学入試で有名な3^100の1の位の数を求めよという問題がある。
この時の解法は、3→9→24→81→243…と規則性があって、 1の位は3,9,4,1と繰り返している。
(3)も解けるだろう。解らない問題は実験するのだ。
(1)解と係数の関係より、下記(A),(B)が成り立つ。
α+β=4…（A)
αβ =-1…（B)
従って、s_1～s_3は下記の通りになる。
s_1 = α+β = 4
s_2 = α^2+β^2 = (α+β)^2 -2αβ = 16 + 2 = 18
s_3 = α^3+β^3 = (α+β)*(α^2+β^2-αβ) = 4*(18+1) = 76
また、
x^2-4x-1=0⇔x^2=4x+1より、両辺にx^nをかけると下記(c)式が成り立つ。
x^(n+2) = 4x^(n+1)+x^n…(c)
α^(n+2) = 4α^(n+1)+α^n…（D)
β^(n+2) = 4β^(n+1)+β^n…（E)
（D)+(E)⇔ α^(n+2)+β^(n+2) = 4{α^(n+1)+β^(n+1)}+α^n+β^n…(F)
以上より、s_n = 4*s_n-1 + s_n-2となる。
(2)二次方程式の解は下記のとおりである。
従って、β＜αより、β=2-√5,α=2+√5である。
－1＜β＜0より、
(-1)^2003＜β^2003＜0^2003
∴-1＜β^2003＜0
従って、β^2003を超えない最大の整数は-1である。
(3)α^2003 + β^2003 = s_2003 ⇔ α^2003 = s_2003 - β^2003より、
s_2003＜α^2003＜s_2003+1…（A) が成り立つ。
従って、α^2003を超えない最大の整数は、s_2003を超えない最大の整数と等しい。
そして、s_nは、s_1,s_2,s_3が整数であるので、帰納的にs_nは整数となる。
従って、s_nを超えない最大の整数はs_nと一致する。
今、ある整数xの1の位の数をf(x)と表すことにする。また、
P_n = f(s_n)であらわされる数列P_nを定義する。
そして、s_nは整数であり、n≧3に対して、
s_n-1 = 10X+p, f(s_n-1) = p (X,pは任意の整数)
s_n-2 = 10Y+q, f(s_n-2) = q (Y,qは任意の整数)
と表せる。このとき、下記(B)式が成り立つ。
f(s_n) = f(4*(10X+p)+(10Y+q)) = f(10(4X+Y)+4p+q) = f(4p+q)
P_n = f(4f(s_n-1)+f(s_n-2)) = f(4*P_n-1 + P_n-2)…（B)
この(B)式を用いて1の位を計算する
n=4のとき、P_n-3、P_n-2,P_n-1,P_n,は下記のとおりである。
P_(4-3) = f(s_1) = 4
P_(4-2) = f(s_2) = 8
P_(4-1) = f(s_3) = 6
P_(4-0) = f(s_4) = 2
この時、この次のn+1,n+2,n+3,n+4番目の数列もまた、
P_5 = f(s_5) = f(4*2+6) = 4
P_6 = f(s_6) = f(4*4+2) = 8
P_7 = f(s_7) = f(4*8+4) = 6
P_8 = f(s_8) = f(4*6+8) = 2…(C)
となる。※ここで規則が見えてきますよね。
またn=mのとき、
P_m-3=4,P_m-2=8,P_m-1=6,P_m=2が成り立つとして、
この次のm+1,m+2,m+3,m+4番目の数列もまた。
P_(m+4-3) = P_(m+1) = f(4*2+6) = 4
P_(m+4-2) = P_(m+2) = f(4*4+2) = 8
P_(m+4-1) = P_(m+3) = f(4*8+4) = 6
P_(m+4-0) = P_(m+4) = f(4*6+8) = 2…(D)
となり、帰納的に、P_n={4,8,6,2,4,8,6,2…4,8,6,2}と繰り返す数列だとわかる。
よってα^2003の1の位は、P_2003 = 6である。
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