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2015年02月02日
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： 数学自由研究
e = lim(x→0)(1+x)^(1/x)と定義する。この時下記の問いに答えよ。
(1)lim(x→0){log[e](1+x)}/x を計算せよ。※[]の数は底を表す。
(2)f(x) = e^xとして、f'(x) = e^xとなることを証明せよ。
コメント：こんな入試問題でてもいいんじゃないかと思い、出題してみた。
公式を暗記している人から見たらぎょっとする問題かもしれないが、
ちゃんと一つ一つの公式を理解している人からみれば、さほど難しい問題ではありませんね。
(1) log[e]e = 1 = lim(x→0)log[e](1+x)^(1/x) = lim(x→0){log[e](1+x)}/x
となるので、lim(x→0){log[e](1+x)}/x = 1
(2)微分の定義よりf'(x) = lim(h→0) {e^(x+h)-e^x}/h = e^x * lim(h→0) {e^(h)-1}/hと表せる。
f'(x) = e^x * lim(t→0) t/{log[e](t+1)}
f'(x) = e^x * 1/[lim(t→0){log[e](1+t)}/t]
(1)の結果を使うと、
f'(x) = e^x*1 = e^x
(1)lim(x→0){log[e](1+x)}/x を計算せよ。※[]の数は底を表す。
(2)f(x) = e^xとして、f'(x) = e^xとなることを証明せよ。
コメント：こんな入試問題でてもいいんじゃないかと思い、出題してみた。
公式を暗記している人から見たらぎょっとする問題かもしれないが、
ちゃんと一つ一つの公式を理解している人からみれば、さほど難しい問題ではありませんね。
(1) log[e]e = 1 = lim(x→0)log[e](1+x)^(1/x) = lim(x→0){log[e](1+x)}/x
となるので、lim(x→0){log[e](1+x)}/x = 1
(2)微分の定義よりf'(x) = lim(h→0) {e^(x+h)-e^x}/h = e^x * lim(h→0) {e^(h)-1}/hと表せる。
f'(x) = e^x * lim(t→0) t/{log[e](t+1)}
f'(x) = e^x * 1/[lim(t→0){log[e](1+t)}/t]
(1)の結果を使うと、
f'(x) = e^x*1 = e^x
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