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a>0、b>0のとき、b/a+a/b≧2を証明せよ↓↓↓解答1 左辺ー右辺=b/a+a/b-2=(a^2-2ab+b^2)/ab =(a-b)^2≧0 (等号はa=bのとき成立)解答2(相加平均≧相乗平均を利用) a>0、b>0だから、相加平均≧相乗平均より 1/2(b/a+a/b)≧√(b/a・a/b) ∴b/a+a/b≧2 (等号はa=bのとき成立)‥●相加平均≧相乗平均の関係を利用した大学入試の過去問 問2.次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ (a) 少なくとも2つの内角は90°である。 (b) 半径1の円が内接する。ただし、円が四角形に内接するとは、円が四角形の 4つの辺すべてに接することをいう。 (2015年京都大学・数学・第2問)↓↓↓解答(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2を証明せよ(シュワルツの不等式)↓↓↓左辺ー右辺=(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)ー(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)=a^2y^2-2ay・bx+b^2y^2=(ay-bx)^2≧0 (等号はay=bxのとき成立)よって、(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2 ※相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc ※京大入試数学過去問一覧1978-2021‥
December 24, 2021
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京大入試数学過去問一覧1978-2021調べてみたらけっこうあります。まぁ、ぼちぼちと‥はい。参考サイト ・京都大学 数学入試問題過去問 61年分 (一部解答例付き) ・京都大学 数学入試問題解答一覧 ・青春マスマティック2021年 1.a.ベクトルと空間座標 b.確率 2.接戦の方程式と極小値の計算(微分) 3.無限級数の和 (1/2)^n・cos(nπ/2) 4.log関数の特定部分の長さ 5.ベクトルと軌跡 6.証明、微分2020年 1.3次関数(3つの解が正三角形の頂点) 2.2次関数と極限 3.空間とベクトル(球面) 4.3次関数と最大値 5.組み合わせ(4×4のマス目) 6.回転体の面積と体積2019年 1.(i)三角関数 (ii)三角関数の定積分 2.3次関数と素数 3.ベクトルと面積 4.確率 5.四角錘の体積(最大値) 6.n次関数(複素関数)2018年 1.2次関数と接線 2. 3. 4. 5. 6.2017年 1. 2. 3. 4. 5. 6.2016年 1. 2. 3. 4. 5. 6.2015年 1.三角関数と体積の計算 2.四角形の面積(相加相乗平均の利用) 相加平均≧相乗平均の関係を利用した大学入試の過去問 3.指数関数と接線 4.正四面体と三角関数 5.2次関数 6.関数と確率2014年 1. 2. 3. 4. 5. 6.‥1978年 1.相加相乗平均の証明 相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc 2.重心のベクトル(積分による面積計算) 3.2次関数と面積 4.行列(回転) 5.3次関数の実数解 6.三角関数の加法定理と積分1977年 1. 2. 3. 4. 5. 6.相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc1978年京大の入試問題 (a+b+c)/3>3√abc 相加相乗平均‥京都大学(理系) 総合人間〈理系〉・教育〈理系〉・経済〈理系〉・理・医・薬・工・農学部;No.100 (2022年版 大学入試シリーズ) [ 教学社編集部 ]価格:2310円(税込、送料無料) (2021/11/8時点)楽天で購入志望校攻略に欠かせない大学入試過去問題集「赤本」。7カ年分収載。大学情報 在学生メッセージ 合格体験記傾向と対策‥
November 8, 2021
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相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc世の中には美しい数学というものがあるようだ自然とは、複雑ではなくて、単純なのだそんな単純で美しい数学‥たとえば、相加相乗平均(a+b)/2>√ab ①だれがこのような定理を発見したのかわからないが、とても美しい定理である。この定理は、3つの場合でも成立する(a+b+c)/3>3√abc ②4個、5個でも成立するわけであるが、いえることは、相加平均はつねに、相乗平均以上であること。等号はa=bのときに成り立つ。で、ここで、①、②式を書き直すと(a+b)/2ー√ab>0 ③(a+b+c)/3ー3√abc>0 ④③、④式となるわけだが、ここで、③式と④式の大小関係を調べた人がいたのだろうおそらく。すると、以下の⑤式が成り立つことを見出したようだ3((a+b+c)/3ー3√abc)>2((a+b)/2ー√ab) ⑤で、この⑤式を証明せよという数学の問題へ展開されてしまった。どうやって解くのか??これを美しく解くのが数学なのだ⑤式を展開するとc+2√ab>3×3√abc ⑥ここで、左辺に注目する。左辺を分解すると、c+2√ab=c+√ab+√abさらに、ここで3個の場合の相加相乗平均を利用するとc+√ab+√ab>3×3√(c・√ab・√ab)=3×3√abcとなり、⑥式が証明できた。等号は、c=√ab=√ab、つまり、c^2=abのときに成り立つもっと複雑に解く方法が一般的だが相加相乗平均の定理を利用することでこんなに美しく解くことができるのだこれこそが相加相乗平均の美しい使い方なのだ。これが美しい数学ちなみにこの問題は、1978年の京大の入試問題である。オンライン家庭教師・ワオティーチャーの口コミ・評判とは‥
October 6, 2021
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